等来惊喜 等出敬畏

冉旭忠

空出点闲暇，回想一下近十年课堂教学改革之路，真可谓是五味杂陈，惊喜、遗憾夹杂其中，桩桩往事，历历在目。异常清晰的印记是那几次学生精彩展示后给我带来的警醒。

镜头一：

人教版数学八年级下册18.2.2菱形。在菱形性质探究完成以后，得出结论“菱形两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，这是它与一般平行四边形不同之处” 。进而以一个云图的方式提出问题：“由菱形的两条对角线长，你能求出它的面积吗？”

为了让学生能对这一知识点建立起一个特殊的印象，激发学生追求一题多解玩味几何问题的情趣，我把这一任务设置为课上的一个探究点。

具体做法是：

在明确菱形被两条对角线分成四个全等直角三角形以后，直接提出问题：“如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=8，BD=6，试求菱形ABCD的面积。”附带问题是：“比一比我们谁的解法最多，谁的解法最巧！”限时三分钟，独立完成。

学生经过思考有了结果以后开始汇报，汇报情况如下：

方法一：先求出1个小三角形面积再乘以4。

方法二：先求出1个大三角形的面积再乘以2，学生补充说明：先求△ABD和△ABC的面积都可以。

方法三：在方法二的启发下，有一个学生站起来说：“三角形的底乘高得到的是两个三角形的面积，底AC乘以高OB如果不除以2，得到的不就是菱形ABCD的面积吗？”

很大一部分同学恍然大悟，都表示赞成，这种方法简便。我也很满意，正想再引导学生对方法三进一步归纳，从而得到菱形面积特有的公式（菱形的面积=两条对角线长度乘积的一半，即 ）时，有一名同学站起来说：老师，我还有一种更为简单的求法。我先是一愣，还有更简单的方法吗？但“新式课堂”的把控原则告诉我，还是让学生把自己的观点说出来，怎么能剥夺“主人”的权利呢？于是我耐着性子说：“好！既然你有更好的方法，那就把你的发现和同学们分享一下吧。”

生：直接6×8÷2 = 24就可以了，也就是两条对角线乘积的一半。

听了这名同学的回答后，我判断他一定是对方法二或方法三做了进一步的整理，根本算不上什么新的方法，如果直接解释这个式子是无法解释的。

师：很好！你是对方法三进行了归纳，其实与方法三是同一种方法。

生：不对！我和他的方法不一样！

师：（有些不耐烦，因为课堂时间已经很紧了）行！那说说你的想法吧！

生：老师，您把菱形框上！

师：没听懂你的方法。（看着学生着急的样子，索性先别考虑后面的例题了）请你到黑板上来自己画吧！

学生跑到讲台上，在原来菱形的外面画了四条线。（如图2）

看到学生画完的图，我真的很羞愧，二十多年的数学教龄，不知多少次给学生讲解利用填补变换的方法解决图形问题，可教材中这么重要的一个公式推导，我怎么就从没有想到有这样一种简洁的方法呢？这种面积求法不仅简洁，而且更容易推广，适合于所有对角线互相垂直的四边形。看着这名学生条理清晰地解读着自己的想法时，我真庆幸，庆幸我等了一等。

镜头二：

人教版九年级下册，第27章相似的章末复习题，第11题：如图3，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120cm，高AD=80cm，把它加工成正方形的零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

这道题目在这出现，考查的知识点当然是相似三角形的性质——相似三角形对应高的比等于相似比。

本题是拓展题目，对于刚刚学完相似三角形性质的学生来说，有一定的难度。为了让学生有充分的思考时间，头一天把这道题布置为作业。第二天处理作业时，我不能放过这么好的练兵机会，越有挑战性的题目，越能激发起学生的展示欲望。我让学生以自愿的方式到前面讲解。做出来的同学积极性很高，个个跃跃欲试。抢到机会的同學走到黑板前，分析透彻，讲解清晰，顺利完成任务。没能完成的同学也都听清楚了。用的方法是：

当我在学生讲解的基础上简单归纳本题解题技巧以后，有一名学生怯怯地举起了手。

生：老师，我还有一种做法，不知道对不对。

师：说说看。

生：我利用面积建立的方程。设正方形的边长为x，三个三角形面积加上一个正方形面积等于整个大三角形的面积。

接下来这名学生开始叙述自己所列的方程，挺啰嗦。同时我在想，△BGE和△CHF的底都是未知的，怎么可能列出方程呢？其他同学也都是处于茫然状态，我考虑到本节课原本安排的任务还有很多，真想直接打断。但最后还是咬咬牙，请这位同学走到前面，指着图形解释，即使错了，好歹让他知道错在哪里，也许会是一个好的反面教材呢！

这名学生走到黑板前，指着图形慢条斯理地解释起来：

生：我是把△BHE和△CGF拼起来算的（如图4）。

听他这么一说，我猛然一醒，同时也暗自庆幸，幸亏当时没有武断地把这么精彩的一个思路扼杀掉。拼凑重新组合图形，巧妙地利用已知条件;用不同的式子表示同一个量来建立方程，利用代数的方程思想解决几何问题。这两点不都是自己经常强调的解题技巧吗？让孩子自己想出这种方法该有多么不容易，他对方程建模思想和技巧领悟得该有多么深刻，是多好的一个榜样，险些“毁”在我手里。

当学生说到把△BHE和△CGF拼起来时，我赶紧叫停，你先等一等，然后组织全班同学思考、研讨，判断他的方法是否可行。经过一番交流，真的有好多同学想通了，并把由衷敬佩的眼光投向了这位“创新者”。

师：接下来让我们一起欣赏一下这位“创新者”的解答过程吧！

这样的一幕幕还有很多，每当回想起这些场景，我都在自问：是我给了学生一个展示才华的舞台，还是给我自己创造了一个学习、自省的机会？自己从事初中数学教学近三十载，对每一个知识点都感觉已经非常熟悉了，怎么就从没有想到这些题目还有这样的解法呢？是不是因为我已经“会”了，所以就不再去寻求其他方法了？我“会”的那种方法最初的来源又是什么呢？是不是从我的老师那里得来的，我现在已经记不清楚了。

《义务教育数学课程标准》中明确指出：数学教学活动应激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生积极思考，鼓励学生的创造性思维;学生的学习过程应当是一个生动活泼的、主动和富有个性化的过程。

这一组织学生学习方式的指向已经非常明确了，可在实际教学中却始终很难找到感觉，在埋怨孩子没有学习兴趣、缺少创新性的同时，我们是否考虑过其根源，问题都在孩子身上吗？为了追求“高效”，为了达成自己预设的教学目标，或搭建梯子降低难度，或自己直接包办分析讲解，讲得头头是道、津津有味，可是留给学生的究竟是什么呢？

三角形面积的求法、梯形面积的求法，等差数列求和的计算技巧等，渗透的不都是借用、添补的方法吗？听懂容易，但能拿出来恰当地用是何等的难？在限定时间内能恰当的拿来解决菱形面积问题，岂止是这一名同学的一时成功，这种另辟蹊径的独创性对其他同学的引领意义又将何其深远？

第二名同学能打破原图，重新拼凑，巧妙地利用已知条件来解决问题，不正是解决数学问题的一大突破吗？三角形内角和定理的证明、勾股定理的证明、解决代数问题中的换元法等，不都有拼凑的影子吗？

看来在课堂上缺少的绝不是孩子们的智慧，而是留给他们的时间和空间。我庆幸，我及早地发现了这一问题。我没有及早地提供“帮助”，我没有越俎代庖地直接给出“我的”答案，我等了，等来的是惊喜，更等来了敬畏！