一类含参导数问题的解决策略探究

薛彦旭

【摘要】在近几年高考导数与函数试题中出现了幂函数和指数函数或幂函数和对数函数的复合函数题型，是高考试题中的难点、热点，更是亮点.这种题型通常以压轴题的形式呈现，尤其第二問是拉开学生层次的关键，此类问题通常涉及恒成立和能成立问题，考查函数性质、导数和最值的综合应用.在求解中重视参数变量分离和分类讨论两种思维，合理变形转化是解决问题的突破口.每年大部分考生对此类问题很困惑，也没有解题策略，为了解决这类问题，本文给出了一种解决方案，供各位读者参考和借鉴.

【关键词】参变分离;分类讨论;合理变形转化

定理 洛必达法则

（1）若a=0，求f（x）的单调区间;

（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.

解题思路回顾：上述三道题目中通性的解法是参变分离，转化为函数的最值问题.求解函数的最值问题往往是通过求其二阶导函数，并确定其符号，然后逆向思考，确定一阶导函数的符号，直到确定原函数的增减性为止.若原函数的最值存在，求出最值，若原函数的最值不存在，则用洛比达法则求其极限值，从而确定参值的范围，但前提必须能使参数和变量分离.

总之，高考试题中的一类含参导数问题中通常以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数的应用，是近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.运用导数确定含参函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围.解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过分离参数、分类讨论等思维方法进行求解.而求解策略的恰当选择，取决于求解视角是否准确.另外，当参变分离有困难时，通过对函数的参数分类讨论，不需求出函数的最值，也能解决此类问题，在此就不再叙述了.希望本文对此类问题的求解能为大家提供一些参考和借鉴.不妥之处恳请批评指正.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.