定点问题有妙法,贵在得法

2020-05-11 06:10黎志荣
数学学习与研究 2020年7期
关键词:二次曲线化简斜率

黎志荣

【摘要】圆锥曲线中的定点问题是历年高考常考的内容.可是无论使用先特殊探路再证明的方法,还是传统的方法都存在着计算量非常大的问题,学生望而止步.因此,笔者认为有必要归纳整理几种有效方法,优化计算过程.

【关键词】圆锥曲线;定点

圆锥曲线中的定点问题是解析几何中的重要内容,也是历年高考的高频考点.笔者觉得有必要将定点问题进行分类整理,介绍几种有效方法,优化计算过程.

一、参数分离法

一般将已知条件通过变形、转化、化简得到的方程与参数没有关系,从而得到定点的值.一般常见定点问题有直线过定点与圆过定点两种类型的题目.

例1 已知:椭圆C:x216+y24=1,左顶点为A,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点(M,N不为椭圆的左右顶点),直线AM,AN分别与y轴交于P,Q两点,求证:以PQ为直径圆E过定点,并求出定点的坐标.

证明 易知M,N关于原点对称,故设M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(0,y2),Q(0,y3),以PQ为直径的圆E过定点T(x,y),所以PT·QT=0,得x2+y2-(y2+y3)y+y2y3=0 ①.由KAM=KAP得y1x1-4=y2-4,即y2=-4y1x1-4,同理由KAN=KAQ得y3=4y1-x1-4,所以y2y3=-16y2116-x21 ②.因为点M在椭圆上,所以x2116+y214=1,变形得y21=41-x2116 ,代入②化简得y2y3=-4,将y2y3=-4代入①得x2+y2-(y2+y3)y-4=0,由于圆E的圆心0,y2+y32是运动的,所以y2+y3是变量,故令y=0,得x=2或x=-2,所以以PQ为直径的圆E过两个定点分别为(-2,0,)和(2,0).

二、对偶法

我们遇到直线过定点的题目,很多时候利用条件构造含有x1+x2,x1x2的式子,然后利用韦达定理转化成含有k的式子,得到y-y0=k(x-x0),从而确定定点坐标.但是对偶法是利用椭圆上两个动点对偶原理,构造出x1y2-x2y2,代入直线方程y=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1,从而得到定点的坐标.这种方法看似复杂,其实在实际运用过程中,可以大大减少运算量,可谓是独树一帜.

例2 已知:椭圆C:x216+y29=1,直线l与椭圆C相交于M,N两点(M,N不为椭圆的左右顶点),且以MN为直径的圆E经过点P(4,0),求证:直线l过定点.

证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),由kPM·kPN=-1得y1x1-4·y2x2-4=-1 ①.因为点M在椭圆C上,所以x2116+y219=1,变形得y1x1-4=-9(x1+4)16y1 ②.将②代入①整理得9x1y2-16x2y1=-64y1-36y2,又因为点N也在椭圆上,得9x2y1-16x1y2=-64y2-36y1,以上两式相减化简得x1y2-x2y1=2825(y2-y1),把上式代入y=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1得到y=y2-y1x2-x1x-2825,所以直线l过定点2825,0.

三、齐二次方程法

此法主要针对题目条件中明显可以转化“两条动直线的斜率之和或者两动直线的斜率之积为定值”的题目.具体的做法是先利用条件转化成含有y-sx-t的齐二次方程,再利用韦达定理转化成直线的斜率m与截距n的关系,从而得到直线恒过的定点.

例3 已知:坐标原点为O,椭圆E:x24+y2=1,不过A(-2,0)的直线l与椭圆E相交于点B,C两点,直线AB与直线AC的斜率之和为-2,求证:直线l过定点.

证明 设B(x1,y1),C(x2,y2),直线l为x=my+n(n≠-2),因为kAB+kAC=-2,所以y1x1+2+y2x2+2=-2,将直线l的方程变形为x+2-myn+2=1 ①,将椭圆的方程x24+y2=1变形为[(x+2)-2]24+y2=1,展开得(x+2)2-4(x+2)×1+4y2=0,将①代入上式整理得到一个关于yx+2的齐二次方程4yx+22+4mn+2·yx+2+n-2n+2=0,由韦达定理可知-4m4(n+2)=-2,所以n=m-42,所以直线l方程为x+2=my+12,所以直线l过定点-2,-12.

四、二次曲线系法

如果直线l1的方程为f(x,y)=0,直线l2的方程为g(x,y)=0,直线l1,l2与椭圆C:x2a2+y2b2=1相交于A,B,C,D四点,则这四点的二次曲线系为f(x,y)g(x,y)+(b2x2+a2y2-a2b2)=0.此法主要是两次构造这样的二次曲线系,然后对比相关的系数,得到直线的斜率k与截距m的关系,从而求得定点.这种方法比较适合以“极点”“极线”为背景的题目.

例4 已知:以A,B为左右顶点的椭圆C:x24+y2=1的外部有一动点P,点P的横坐标为4,PA,PB分别交椭圆异于A,B两点E,F,求证:直线EF过定点.

证明 易知A(-2,0),B(2,0),设P为(4,t),则直线AB的方程为y=0,直线EF为y=kx+m,所以A,B,E,F的二次曲线为y(kx-y-m)+λ(x2+4y2-4)=0 ①.又因为直线PA为y-0=t-06(x+2),即是tx-6y+2t=0,直线PB为y-0=t-02(x-2),即tx-2y-2t=0,所以(tx-6y+2t)(tx-2y-2t)=0 ②.通过对比①②中xy,y的系数得-6t=k,6t=m, 即m=-k,所以直線EF的方程为y=kx-k,即y=k(x-1),所以直线EF恒过点(1,0).

笔者建议在平时的教学中,多使用一题多解,多题一解的方式教学,为学生提供多样化的解题方案,拓展学生的解题思路,提高学生的解题能力.

【参考文献】

[1]袁芹芹.“特殊值法”解决圆锥曲线中的定值定点问题[J].中学数学教学参考,2016(6):53-56.

[2]杨其武.例谈解析几何定值问题的探究与证明[J].中学数学研究,2014(9):14-17.

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