10%+10%为什么等于0.11*——谈小学阶段百分数的意义和教学

□章勤琼 郭 盼

百分数的教学是小学数学教学中的一个重要内容，百分数在生活中的应用十分广泛。理解百分数的意义是学生学习百分数相关知识以及运用百分数解决有关实际问题的必备前提条件。[1]对于百分数参与运算的结果，存在不同意见。如10%+10%，大多数人认为可以转化成小数0.1+0.1，结果为0.2；也有人认为，百分数表示的是两个数的关系，不可以将其放在算式中进行运算，所以10%+10%没法计算。除这两种观点之外，利用手机计算器计算“10%+10%”，会出现不同的计算结果0.11。那么，10%+10%不同的计算结果指向小学阶段百分数的哪些意义？在教学中需要注意什么？我们应该对相关概念进行梳理，进而对教学有进一步的思考。

一、10%+10%为什么等于0.11

一般情况下，在进行有关百分数内容的计算时，需要先将百分数转化为分数或小数，再按照分数与小数的计算规则计算结果。如10%+10%=0.1+0.1=0.2，这样的计算并不存在什么难度，似乎也不应该有争议。然而，在用手机上的计算器对10%+10%进行计算时，却显示10%+10%=0.11。这样的结果显然是令人惊讶的。对于这个结果，该如何解释？

我们在计算时，按照小学数学四则运算的逻辑顺序，将10%看成也就是0.1，再做加减，结果为0.2。用计算器计算百分数的加法，之所以出现不同的结果，是因为百分号是个特殊的符号。百分数也叫百分率，这里的百分率是以哪个数为基数，也就是我们通常所说的单位“1”，即加上10%需要考虑的是加上哪个量的10%。计算出0.2 的结果时，我们是将10%的单位“1”就当作数字1。然而，如果这里对10%的基数作不同的思考，就能得到10%+10%=0.11。如果继续加上10%，可以得到这样的结果：10%+10%+10%=0.121，10%+10%+10%+10%=0.1331；10%+10%+10%+10%+10%=0.14641……我们可以看出，后面所加的10%，都不是按照0.1 的值来计算，每次加的10%的值分别是0.01，0.011，0.0121，0.01331，如果将增加的值与前面的和进行比较，可以得到如表1所示的结果。

表1 用手机计算器计算10%相加的结果

通过对表1 的观察，容易发现，每个算式与上一算式结果的差正好等于上一算式和的10%，即所加上的10%是以原来的加数作为基准量，即将原来的加数看作单位“1”，再加上这个数的10%。如

10%+10%=10%×（1+10%）=0.11，10%+10%+10%=

（10%+10%）×（1+10%）=0.11×1.1=0.121……如果计算减法，也会得到类似的结果，如10%-10%=0.09，这是10%×（1-10%）的结果。而10%-10%-10%=（10%-10%）×（1-10%）=0.081。事实上，加上或减去一个百分数，可以这样计算：a±b=a⋅(1±b%)，这里的a是指±b%之前所有的数的和。事实上，想利用手机计算器计算两个10%的数值的和，也是可以实现的。只需在10%外面分别加上括号就行，用手机计算器计算（10%）+（10%）的结果即为0.2，括号里面作为整体，自然不会以括号外面的结果作为基准进行百分率的计算。

因此，手机计算器的这种行为是对算法逻辑的不同选择，而不是计算错误。那为什么在手机计算器中一般要采用10%+10%=0.11 这样的算法呢？最早的电子计算器并没有百分号“%”，后来加入之后，在一定程度上解决了计算场景中常有的难点。人们在日常生活中经常遇到计算小费、利息、折扣等场景，这样的计算逻辑会变得非常实用，而且更贴近人们的日常语言。例如，早餐8 元，需要额外支付小费10%，利用计算器只需要输入“8+10%”，即可得到8.8元，而不需要输入“8+8×10%”或者“8×(1+10%)”，后面这两种输入，显然要烦琐得多，而且解释起来也更加复杂。这样的例子在生活中还有很多，如存入5000元，利息5%，到期所得只需输入“5000+5%”，就可算出5250 元。减法也是如此，如某件商品500 元，打八折销售，只需输入“500-20%”，就能得到400元。而让计算器计算500-20%=499.8这样的算式，反倒没有什么实际意义。

如果用计算器来计算乘法和除法，跟我们习惯的运算结果没有差别，如10%×10%=0.01,10%÷10%=1。这是因为在乘除计算中，不需要涉及加上或减去哪个量的10%的问题，在生活中也不需要处理这样的场景。因此，如果了解百分数作为“百分率”的意义，并联系在生活中实际场景的实用价值，就能理解用手机计算器计算10%+10%为什么等于

0.11。

二、小学阶段百分数的意义

百分数的英语为percentage，词根为“cent”，来自拉丁语centum（一百），percentage的意思为“每一百中的部分”。西方在15 世纪就已经开始使用百分数的形式“perco”，在17 世纪中叶的一本著作中，已经出现了用的符号表示百分号，后来把前面的“per”也去掉了，而“%”这个符号的使用，则是现代的事了。[2]在数学辞海中，将“百分数”定义为一种特殊的分数，指分母是100 的分数，或表示一个数是另一个数的百分之几的数。[3]之所以说百分数是特殊的分数，是因为百分数是分母为100的繁分数。当N是一个数时，繁分数通常读作百分之N，也写作N%。[4]这里的N 可以是整数，也可以是小数和分数。跟平常一般需要将分数化简为分子分母为互质整数的最简分数不同，在百分数中，需要保证分母为100，至于分子是什么形式，并不重要。

认识分数是学习百分数的基础，分数具有份数、商、测量、运算子、比这五种意义。[5]百分数可以有和分数一样的意义。分数在表示“份数”时，其核心在于平均分以及部分与整体的关系，百分数显然也有这样的意义；当计算20÷100 时，得数可以为

然而，对百分数的意义的关注，又与分数有较大的不同，需要突出其表示“关系”的意义，这是百分数这个内容的重要价值，也是百分数之所以产生的最大原因。早在1984年，就有研究者指出，在实际的生产、生活及研究中，百分数多是用来表示两个数量之间的倍比关系，而不是表示一个具体量，所以在教学时应该着重强调百分数表示“关系”这一意义。[6]在实际应用中，统一用100作为分母，并且记作%的好处是显而易见的。比如在一场篮球比赛中，某队上下半场进球数和总投球数的比分别是若想知道哪个半场的命中率更高，如果直接比较这两个分数的大小显然不是特别方便。此时将分数化为百分数呈现，即52.4%和58.6%，结果一目了然。

在现行的小学数学教材中对百分数的定义如表2所示。

表2 教材中对于百分数的定义

在三个版本的教材中，都提到了“百分数也叫百分率或百分比”这样的表述，着重强调了百分数表示两个数的“比率关系”的意义。百分数在表示两数关系时，主要有两层含义。一是表示部分和整体的关系，这时百分数的范围只能在100%以内，如手机电量20%，代表的意义是将剩余电量和总电量相比较而得；二是表示两个独立数量的关系，这时百分数的值可以超过100%，如某工厂这个月的产量是上个月产量的120%。此外，百分数的分母虽为100，但不表示分母的数量刚好是100。如“一种商品的好评率是95.7%”，这里的100与95.7显然不是具体给出评价的人数，95.7%真正的含义是“每100 个人里有95.7 个人给了好评”，其中的“每”字表示这是一种给好评的人数与总人数的比率关系。

因此，百分数一般用来表示两个量之间的比率关系，不能表示一个具体量，因此百分数后面不可以出现单位，不能以名数的形式出现。如一瓶1千克的牛奶，喝了80%，不能说喝了80%千克的牛奶，只能说喝了0.8 千克或者千克的牛奶，如果要用百分数来表示，需要说成“喝了1千克的80%”。

由于百分数具有不同的意义，有时会产生一些歧义，例如“100 增加50%是多少？”如果将50%看作单纯的一个数，算式应为100+50%=100+0.5=100.5，但如果将50%理解为与100 的关系，也就是增加的比率，那算式应为100+100×50%=150。因此，在遇到增加百分之几的问题时，需要关注百分数所代表的意义，也要特别注意是增加了哪个量的百分之几。

三、两点教学建议

第一，在教学中，加强对百分数意义的理解，认识百分数和分数意义的异同。在表示“率”的意义时，百分数和分数在本质上是一样的，都是表示两个数的倍数关系。[10]但是，分数既可以表示分率，也可以表示具体的量，后面能带单位；百分数虽然在理论上也具有跟分数同样的意义，但百分数的产生是有其实际背景的，在意义上应该更加强调表示两个量之间的关系，不用来表示一个具体量，后面不带单位。此外，百分数可以和分数一样在算式中进行计算，但在实际情境中，需依照具体情况来确定百分数所代表的真正含义，很多时候百分数代表的都是百分率的意义。但需要指出的是，对于百分数的意义，不宜通过规定的方式直接告知学生，建议在具体的情境中让学生加强对百分数表示两个数之间关系的特殊意义的理解，体会其在实际应用中的价值。

第二，在教学中，可将百分数的相关内容作为拓展资源，发展学生多方面的数学能力。譬如，可以提供像10%=0.1，10%+10%=0.11，10%+10%+10%=0.121这样的资源，让学生观察它们的特点与变化规律，在此基础上探究10%+10%+10%+10%等于多少，并进一步思考这里的“%”可能是怎样的运算方式，帮助学生更好地理解百分数的不同意义，激发学生的学习兴趣，尝试发现并定义新的运算方式，发展学生的符号意识和代数思维。此外，如果将表1中各算式的和的小数部分写下来，可以得到图1 这样的数字排列，每一行的数字，按照图中箭头方向加上10%就可以得到下一行的数。对图1 稍作调整就能得到杨辉三角（图2），将杨辉三角的每一行与几个10%相加进行对应的关联，就能让学生更好地理解不同的运算方式，并为建立不同数学内容之间的联结打下良好的基础。在此基础上，如果利用图2 让学生继续思考6 个10%相加的结果。学生容易写出杨辉三角的第6 行应为1，5，10，10，5，1。但在写出计算结果的时候会发现，在某些位置上已经出现了数字10，不可以作为某个数位上的数字。学生需要思考在数字10的地方要写0并进1，进行相应的调整之后可知，按照上面的运算方式，6 个10%相加的结果为0.161051。这样的思考对于学生更深入地理解位值制以及提升数学的整体联系能力是有益处的。

图1

图2