高中数学之数列核心概念教学策略初探

邓宏江

摘要：数列是高中数学重要内容之一，每年高考与三角函数、平面向量板块轮换以解答题形式考试，难度一般较易或中等，当然也有以压轴题的难度考查的情况。在平时的教学中，教材上数列内容无法满足高考的需要，教师需额外补充的内容较多。数列中核心概念教学一直以来不被教师重视，很多时候按教学大纲既定内容安排教学，或根据自己对高考研究作适当的补充，笔者认为补充教学内容不是对教材内容的延续，而是对教材内容的深入应用，希望本文能对大家以后的教学有一些启发和帮助。

关键词：数列;核心概念;教学策略

中图分类号：G623.2  文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）24-085

教育部《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》的文件提出，注重学生的核心素养、以及学科核心素养的培养，落实到高中数学学科教育的终极目标：会用数学的眼光观察世界;会用数学的思维思考世界;会用数学语言表达世界，具体到教学上来就是培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六大核心素养与能力。数列作为培养学生逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养的重要内容，教师应该怎样把握核心概念？怎样突破核心能力？最终达到培养学生的核心素养。

一、数列中的核心概念

关于数列中的核心概念，它包括数列通项公式、推导公式、等差等比数列以及前n项和等知识的理解。它是高中学生需要清楚的核心概念，在数列知识推导过程中，涉及到各类转化以及运算。关于等差数列知识理解的核心观念，在通项公式方面，其数列地推公式可以表示为：an=an-1+an-2。

前n项和：一般地，我们称a1+a2+a3+...+an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+a3+...an。

二、核心概念的突破策略

1.追尋、遵循数学问题提出的内在逻辑

数学问题是从数的方面或形的方面提出的，它的提出既是自然的、合理的，也是有意义，弄清楚数学问题产生的背景与内在逻辑既有助于学生更好地理解知识的本质，有助于学生学会用数学眼光发现和解决问题。

2.将数学文化与核心概念教学完美结合

数学文化如同中国文化一样博大精深，它不仅在数学研究方面有重要影响，而且在人类的生存发展和社会文明方面也有重要的指导作用，它与人类的进步，发展密不可分。笔者作为一线数学教师，教师有义务在数学知识教授过程中将数学文化融入其中。

3.注重知识的内涵，提升综合运用能力

高中数学的魅力在于随着对知识的深度研究，越来越体会到数学知识给人们带来无穷的奥妙。在数学教学中，教师需要将核心概念进行深挖，理解核心概念，认识核心思想，把握知识的内涵，传递核心价值。使学生通过知识内涵的深入学习，提升综合运用能力。

4.利用生活实例，培养应用能力

数学中大部分内容就是人们在生产生活实践中总结与发展而来，运用生活实例服务于教学，回归数学本质，真正实现用数学的思维思考生活，最终培养学生的应用能力。

三、数列核心概念教学具体实施

1.数列定义

数列定义是众多核心概念中最简单，最基础的。在数列概念认知过程中，学生能够将数学文化与数学知识进行总结，它突破了学生的学习思维，如在《九章算术》、《孙子算经》等名著中都有着很多与数列有关的一些趣味知识。运用这些有趣的数学文化作为课堂导入，既能弘扬中华五千年文化，还能在数学知识教学过程中，将数学内容进行分析，使得课堂教学效果变得更加高效。

2.通项公式与递推公式

通项公式与递推公式是给出数列的重要方式，通项公式能更具表达式直接求任意项，而递推公式需要根据给出的一项逐项求解，有一定难度，因此高考命题热衷于给出递推公式求通项公式的考查。在教学中，多数教师将递推公式求通项作为专题补充，认为这样更为系统，但是学生在学习这一部分内容时感觉内容较多，记不住这么多的类型，即使记住又不能很好地运用。笔者认为将这些题型分散学习更有利于学生的掌握，将相应题型放置于等差等比数列的综合运用教学，一是让学生不至于感觉内容太多，二是可以进一步提升对等差等比数列的综合运用能力。

3.等差数列、等比数列

等差、等比数列是两大基本数列，在教学中一是可以通过数学文化的引入增加趣味性，二是深刻理解定义，把握核心实质，三是注重对两种数列的对比、联系，四是注重联系生活。两种数列在教学模式上是一致的，主要对定义等差等比中项、通项公式进行研究，在此基础上，可以增加与证明等差等比数列有关的递推公式求通项问题，加深对等差等比数列的理解，也能够由此总结递推公式求通项公式的解决方法。

4.前n项和

在数学知识教学过程中，一定要对等差数列等比数列求和、错位相减、裂项相消、并项求和等等知识做出类比，在公式推导过程中，注重问题设置的难度。由浅入深，帮助学生挖掘数学问题内在规律，教师利用问题串的形式引导学生自主推导探究、自主总结，尤其是多种方法推导对比更能加深学生的理解掌握。

四、核心概念教学案例初探

课题：等差数列

例：已知哈雷彗星每隔一段时间就会从地球经过，最近人们看到哈雷彗星的年份分别为：1761年，1936年，1911年和1986年，请同学们根据已有的数列知识，预测下一次的哈雷彗星出现年份。

实际上，1761，1836，1911，1986，2061是一类特殊的数列，这类数列我们称为等差数列。什么样的数列是等差数列，它有哪些特殊的性质？带着这些问题进入今天的学习。

【问题1】观察下列数列，发现它们有什么共同的变化规律？

（1）已知有一列数，从0开始，每隔3数一次，我们可以得到的数列为____？

（2）在某项运动比赛中，已知跳远运动员的体重为一个特定数值，他们组成了一项数列：45，50，55，60，65;

（3）已知为了保护某地的生态环境，水库人员每天都会认真监测水库内的水位，并定期做好放水。在水库放水进行工作清理过程中，在几天之内，其水位组成了一个数列，它的数值为：7，16，25，34……

（4）常值数列：2，2，2，2，2，…;

可以看到：

对于数列（1），很明显能够发现，从第二项开始，它与前一项的差值就是3;

对于数列（2），每个数字与前一个数字的差值为5;

对于数列（3），从第2项起，每一个数字与前一个数字的差值为9;

对于数列（4），整个数列的数值都为2，但是其差值却为0;

【归纳定义】

对于等差数列的求取过程而言，如果某一个数列从第二项开始，它的前一项与其差为一个常数，这个数列就可以被称作为等差数列。常数则被称作是公差，用d表示。

【问题2】你能举几个等差数列的例子吗？

【问题3】数列（1）（2）（3）（4）的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

（1）an=3n-3;

（2）an=5n+43;

（3）an=-2.5n+20.5;

（4）an=2。

【问题4】这些通项公式有什么共同的特点？

【问题5】在某一条件下，若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则an=？

法一：根据等差数列的定义：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…

所以，a2=a1+d，

a3=a2+d=a1+2d，

a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……

猜想：an=a1+（n-1）d。

法二：可将an分解为n个式子相加，即：

an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+...+（an-an-1）

【公式解读】

（1）公式中含有a1，n，d，an共4个变量，要求其中任意一个量须知其余3个量;

（2）an=dn+（a1-d）说明an是关于n的一次函数;

（3）公式可变形为an-a1n-1=d。

【思考】已知在同一坐标系内画出通项公式an=3n-5的数列的图像与函数y=3x-5的图像。两者之间的规律是怎样的？通过自己已探讨的规律，自主探索an=pn+q的图像与y=px+q的图像之间的关系。

五、核心概念教学反思

数学是一门有规律的学科，只有不断地潜心钻研才能揭开它神秘的面纱，发现它的核心规律，延续它精彩的生命。核心概念教学的重点在于教师对课堂教学内容的把握，教师必须从核心概念内容出发，考究核心概念教学中心，数列核心概念虽然相对于其他板块来说较少，但通过完整的学习数列知识，却能够构建学生全面分析思维，符合高考考查的要求，体现数学的魅力。

参考文献：

[1]狄理磊.起始课中培养数学核心素养的实践与反思[J].数学教学通讯，2018（15）：13—14+18.

[2]李昌官.寻找数学内在的力量（修改版）[M].宁波：寧波出版社，2016.

（作者单位：四川省广元外国语学校，四川 广元 628000）