遇等腰 多思考

陈丽萍

等腰三焦形是特殊的三角形，在三角形的知识体系中显得尤其重要。三角形的边、角等一些知识点在等腰三角形中得到了升华。而正因为它的特殊性，在处理具体问题时又往往会出现错误，其中主要的错误之一就是在运用分类讨论的思想方法时因为分类不全而產生的错误。

一、边长、角度的角色不明确

例1 （1）已知等腰三角形两边长分别是7cm和9cm，求这个等腰三角形的周长。

（2）已知等腰三角形的一个外角等于140°，求这个等腰三角形各个角的度数。

【分析】在第（1）题中，长7cm边和长9cm边哪条边是腰，哪条边是底不明确，所以要进行分类，而且还要考虑三条线段能不能构成三角形。

在第（2）题中，等腰三角形的一个外角不确定是顶角的外角还是底角的外角，所以也要分类讨论，而且如果底角不是锐角的话，也不能构成三角形。

解：（1）因为7+7> 9，9+9>7，所以这两种情况下都能构成三角形。

当腰长为7cm的时候，周长为7+7+9=23（cm）;

当腰长为9cm的时候，周长为9+9+7=25（cm）。

所以，这个等腰三角形的周长是23cm或25cm。

（2）因为这个外角是140°，所以与它相邻的内角是40°，是一个锐角，所以可以作底角也可以作顶角。

当顶角的外角等于140°时，顶角就为180°-140°=40°，此时两个底角都为180°-40°/2=70°;

当底角的外角等于140°时，两个底角都为180°-140°=40°，此时顶角就为180°-40°×2=100°。

所以，这个等腰三角形的三个内角分别为40°，70°，70°或者是100°，40°，40°。

二、线段、角的位置或者关系不明确

例2 等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，求这个等腰三角形的顶角的度数。

【分析】一边上的高位置不明确，是腰上的高还是底边上的高？另一边是腰还是底？如果是腰上的高，那么这条高是在三角形的内部，还是在三角形的外部？所以要分多种情况来讨论。

解：第一种情况，如图1。

第二种情况，如图2。

第三种情况，如图3。

第四种情况，如图4。

综合上述：顶角的度数是120°或30°或150°。

分类讨论思想是数学中一种常见又非常重要的思想。我们在解决这类问题时，首先要确定分类的标准，做到标准统一，不重不漏，再逐类进行，分级进行;最后归纳小结得出结论。

（作者单位：江苏省常州市金坛区朱林中学）