陈梅香, 谢溪庄
(华侨大学 数学科学学院, 福建 泉州 362021)
在Lotka-Volterra竞争模型的基础上,Gilpin等[1-2]通过对果蝇的系列实验,得到Gilpin-Ayala竞争模型为
(1)
式(1)中:(x1(0),x2(0))=x0∈R2+.
对于该模型,有下面4种竞争结果(详见文献[3],取τ1=τ2=0时):
此外,文献[4]考虑了具有阶段结构和非局部空间效应影响的Gilpin-Ayala竞争模型的全局稳定性;文献[5]讨论了带有正反馈作用下的Gilpin-Ayala模型的动力学性态;文献[6-9]则研究了该模型的随机情形.特别地,Liao等[10]研究了带有反应扩散项的Gilpin-Ayala模型,并通过构造李雅普诺夫函数,得到正平衡态的全局渐近稳定性.受文献[11-12]关于单调半流存在双稳定性的启发,本文考虑带有反应扩散项和Neumann边值的Gilpin-Ayala竞争系统,即
(2)
式(2)中:Ω⊂Rm(m≥1)是一个有界的,开凸区域;∂Ω是一个C2+α(α∈(0,1))流形;v是∂Ω的单位外法向量;ui(x,t),i=1,2是种群i在t时刻x位置的密度;di是种群i的扩散系数;bi是种群i的内禀增长率;aii是种群i的密度制约参数,a12和a21是两种群竞争系数,且假设θi≥1,i=1,2或θi<1,i=1,2.
Jiang等[11]给出单调半流和抽象竞争系统的双稳定性(也称为“鞍点结构”)理论.假设X1和X2是分别具有正锥X+1和X+2的两个有序的Banach空间,序关系记为“≤”.令X+=X+1×X+2,则intX+=intX+1×intX+2.记K=X+1×(-X+2),那么,X=X1×X2也是具有正锥K的有序的Banach空间,其中,≤K( A1) 存在τ>0,使得算子φτ是严格α-contraction,即存在0 A3) ∀t>0,φt(Cj)⊂Cj,j=0,1,2,半流φt在X+上是严格K-monotone,在C0上是严格K-order,且在Ci,i=1,2上是强序保持半流; 引理1(文献[11]的定理2.4) 假设C1-半流φt满足A1)~A4),且φt在intX+上是严格K-monotone,则Γ=X+(B1∪B2)⊂C0∪{E0}关于K-order是无序的,且是余维1的正不变流形,其中,B1,B2分别是E1,E2的吸引域. 引理2(文献[13]的定理2.3.22) 令(μi,φi(x)),i=0,1,2,…,是在Ω上具有齐次Neumann边界条件的算子-Δ的特征值和特征函数,则0=μ0<μ1<μ2<…. 证明:对系统(2)在平衡解做线性化,可得该系统在平衡解的特征方程为 当(u,v)=E0=(0,0)时,系统在E0处的特征方程为(λ+μid1-b1)(λ+μid2-b2)=0.取i=0时,可以看出该方程有两个实的正根,E0=(0,0)是线性不稳定的.3 双稳定性结构及其证明