借助几何直观，理解概念本质

邱莲

【教学目标】

1. 经历从“想象”图形拼摆到“算式”多元表征，初步认识因数和倍数含义。

2. 通过讨论、交流、比较等探索一个数因数或倍数的求法，进一步体会数学知识之间的内在联系，感受数学的有序性和一一对应的数学思想方法。

3. 进一步培养学生对数和运算的学习兴趣，发展数学思维。

【教学重点】理解因数和倍数的含义，掌握有序列举一个数的因数及倍数的方法，了解一个数的因数和倍数的特点。

【教学难点】能有序列举出一个数的所有因数。

一、 想象操作，初识概念

1. 寻求模型

师：用12个大小相同的小正方形拼成一个长方形，可以怎么拼？

学生独立思考、记录，教师巡视并收集典型作业，组织学生进行有序反馈。

2. 建构模型

课件呈现三种摆法：每排摆3个，摆4排；每排摆2个，摆6排；每排摆12个，摆1排。

3. 揭示概念

师：用12个大小相同的小正方形拼一个长方形，每排摆4个，正好摆3排，我们就说3是12的因数，4也是12的因数；反过来，12是3的倍数，12也是4的倍数。

揭题：今天这节课，我们就一起学习“因数和倍数”。（板书课题：因数和倍数）

【设计意图】用12个同样大小的正方形拼成一个长方形，学生经历了“由形到数，再由数到形”的过程，初步感知因数和倍数的关系，为因数和倍数概念的建立和理解提供形象的支撑。

二、 交流辨析，意义建构

1. 交流中理解

师：根据算式2×6=12、1×12=12，你能说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数吗？

生：1是12的因数，12是12的因数，12是1的倍数，12是12的倍数。

设疑：想一想，我们可以直接说“1是因数，12是倍数”吗？

明确：因数和倍数是指两个数之间的关系。在表达时一定要说清“哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数”。

2. 辨析中明确

师：5是12的因数吗？

生：12个小正方形摆长方形，每排摆5个，摆2排，余2个，所以5不是12的因数。

小结：回顾一下，刚才我们是怎样认识“因数和倍数”的？明确，12的因數有1、2、3、4、6、12。

【设计意图】教师从直观图上揭示因数和倍数的概念，使概念的揭示直观化，突破从抽象到抽象的固有模式，让学生真正理解因数和倍数这对概念的内涵。

三、 应用概念，探索方法

（一） 寻找因数，归纳特征

1. 出示要求

提问：找出36的所有因数，并说说自己是怎样找到的？

2. 提炼方法

提问：找36的因数时，怎样才能做到不重复、不遗漏地找出所有因数？

小结：利用乘法或除法算式，一对一对地找，重复的因数只写一个。

3. 观察比较，归纳特征

师：观察12、36、20三数的因数，你有什么发现？

生：每个数最小的因数都是1，最大的因数是它本身。

师：这些数的因数有没有可能是0？还有不同的发现吗？

生：每个非0自然数都等于1和它本身相乘，所以它的因数中，最小的一定是1，最大的一定是它本身，而且因数的个数是有限的。

【设计意图】在找36的因数时，教师给予学生充足的自主探究时间，引导学生比较不同的方法，体会一一对应的数学思想。

（二） 寻找倍数，归纳特征

1. 出示小组学习要求

（1） 小组交流：尝试用列举的方法找出3的倍数。能找出多少个？是怎样找的？在找的过程中遇到什么困惑？通过交流，进一步调整、优化方法。（2） 全班交流：再用列举的方法找出2和5的倍数。思考：一个数的倍数有什么共同特点？

发现：一个数的倍数中最小的是它本身；一个数的倍数没有最大的，因为一个数的倍数有无数个。

2. 对比提升

思考：找一个数的因数和倍数有什么相同点和不同点？

全班交流：相同之处是因数和倍数都是从算式中有序地找；因数、倍数都有它本身；不同之处是一个数的因数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。

呈现数轴：以6为例，6的因数有1、2、3、6（边说边圈），6的倍数有6、12、18……（边说边圈），仔细观察，你有什么发现？

预设：6的最大因数、最小倍数都是它本身；6的因数从它的本身向内找，倍数从它的本身向外找，一个数的最大因数和最小倍数都是它本身……

小结：从数轴上我们看到一个数的因数是有限的，一个数倍数是无限的。

【设计意图】在找一个数的因数和倍数的相同与不同点时，数轴很好地实现数形结合，帮助学生厘清知识背后的数学本质。

四、 拓宽视野，思维延伸

介绍寻求完美数的艰苦历程。设疑：究竟还有没有其他的完美数呢？

【设计意图】提出问题，激发学生探索的兴趣，让思维向深处延伸。

（作者单位：睢宁县实验小学）