新形势下近世代数的教学研究

王丽

[摘           要]  探讨如何加强学生对抽象的代数概念和定理的理解，激发学生的学习兴趣，增强学生的自主学习能力以及提高课堂的教学效率等，从教学内容、教学方法和教学手段三个方面提出几点改进意见。

[关    键   词]  近世代数;现代手段;效率;兴趣

[中图分类号]  G642             [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2020）44-0036-02

教学是高等教育最基本也是最重要的任务。各大高校为了提高教学质量，不仅对教学理念和教学模式进行不断改革，还对教学学时、教学结构和教学内容进行改进，并随着科技的发展和进步对教学手段不断創新。近世代数是高等院校数学专业的基础课之一，其内容是高等代数的延伸。高等代数对许多学生来说已经比较抽象了，而近世代数以研究代数系统和代数结构为主，更是抽象。同时，抽象代数中的一些运算颠覆了学生将近二十年对运算的理解（比如运算的交换性、零因子等），这些都将使学生对抽象代数的理解感到困惑。而抽象代数的学习有利于学生对代数思想形成和代数方法的掌握，也对今后从事数学科研有很大帮助。对这一门抽象的课程如何提升教学质量，提高学生学习的积极性，帮助学生建立严密的逻辑思维和高度抽象的能力，是我们每一位从事代数课程的老师需要思考和探究的问题。下面从教学内容、教学方法以及教学手段三个方面来改进。

一、教学内容和教学方法的改进

（一）类比法和探索法引出新概念

近世代数是高等代数的后续课程，很多内容都是相关的。可以通过结合高等代数中已熟知的内容推演抽象代数的概念。比如抽象代数中第一个关键的名词是“群”。刚开始接触群的概念肯定会不知所以然。我们可以结合高等代数中线性空间的概念。线性空间对加法的部分，就是一个加法群。从这些我们熟知的概念中，慢慢延伸到群的概念。另外，子群与子空间、正规子群与核空间的概念，以及生成子群与生成子空间的问题两两类比引出新概念。在类比过程中，让学生自己去摸索和探索，慢慢体会代数的“味道”，让学生在不知不觉中掌握新的知识。这样既遵循了学生的认知规律，让学生不再感觉到数学的“难”，而是一种水到渠成的自然，同时增强了学生学习的主动性和积极性。

（二）通过补充练习和学生的讨论，加深理解

近世代数之所以抽象，就是因为里面的内容基本上都是很精炼的概念和定理，以及逻辑严密的定理证明。这些抽象的概念和定理的表述已经被数学家凝练到最精简了，学生对这些数学词汇的理解往往比较肤浅，看不到其中的本质。总感觉这些概念和定理是虚无缥缈的，是摸不着的。学生也常说“对概念和定理没感觉”，而且书本上的例题相对其他的课程是比较少的。这就需要教师在课堂上适当添加例子和练习帮助学生理解关键词汇。另外，还可以增加一些讨论题，让学生形成学习小组，通过激烈的讨论和想法的碰撞，以达到通过各种典型例题对概念更深入的理解，对结论的应用更灵活。比如学生对陪集以及商群的概念总是理解不好，主要是集合作为元素不太容易接受，针对这个概念我们就需要增加例子，学生见得多了自然就可以接受。而且从这些例子中结合性质来观察和探索商群的单位元、逆元以及陪集代表元的选取问题。在讨论中学习，增强理解和记忆。

（三）自主学习和讲授相结合的背景介绍

学生总会问，“我们学这些有什么用”。那我们反过来想，这些概念为什么会产生，之前的数学家们是因为研究什么问题才会给出这些概念，是想解决什么问题，才会引入这些数学定理的。在授课过程上，教师适当增加这些内容的介绍，不仅解了学生的疑惑，还让学生了解数学发展的进程，感受数学的漫长的发展过程。一个概念的诞生并不是突兀的，而是顺应学科发展规律的。这样大大提高了学生学习的兴趣，更能在枯燥的课堂上增加一些乐趣。同时，增加一些数学家的介绍，让学生更多地感受数学家们的科研精神，展示榜样的力量，更好地激励学生的钻研精神，也自然实现了课程思政。授课中，教师还可尝试将这些背景和相关资料布置给学生，指导学生课下查阅文献，课间组织学生利用各种形式介绍给大家，这样不仅锻炼学生的自主学习能力，还培养了学生的团队意识。

二、现代教学手段的改进

数学已经让学生望而生畏，而近世代数是数学王国里的抽象王子。之前传统的教学方式是一本教科书，一支粉笔，一个黑板，靠的是教师不停解释和分析。学生坐在下面，似乎看到的一直都是静止的画面，耳朵听到的似乎是另一个世界的语言，很容易走神，很难有代入感。教师在讲台上使出全身气力一遍遍地讲解，学生依然不知所以然，课堂效率不高，学生也听得乏味，积极性大打折扣，致使教师累，学生也累，关键是课堂教学质量不显著。而这些问题利用现代教学手段都可以得到很大程度的缓解。

（一）多媒体的应用

多媒体对文字、图像、声音、视频，尤其是数学关系都可以形象、直观的方式展示出来。

1.直观

教师在讲解概念时，需要逐字逐句的分析和解释，而且需要辅以例子、图片等资料帮助学生理解和记忆。比如二面体群的概念就是由正多面体的正交变换得来的。传统教学就显得捉襟见肘了，多媒体可以将这些直观地表现出来，这样有助于学生理解，比单纯用文字讲效果显著。

2.课堂效率提高

近世代数的概念不仅抽象还联系紧密，前后贯通。在讲授新知识和结论的证明中，经常会对前面知识进行复习和回忆，教师或者单纯提一下，学生没印象;或者把之前的知识在黑板上写出来，或者让学生翻书，对新讲的思路很容易被打断，学生依然很难被带入代数的思考。运用多媒体的方式，直接在屏幕上出现，可以省下很多时间，课堂效率一下子就提高很多，这不仅对课时有限的现代教学是很有益的，原本解决问题的思路还不易被打断。

3.趣味性提高

兴趣是最好的老师，让学生感到有趣也是教师在教学中最重要的教学目标。多媒体的屏幕可以播放图形、声音、视频等，这针对枯燥课堂，大大提高了学生的兴趣。

（二）数学软件的应用

从数学的发展历史中，不难发现数学是离不开计算的，很多结论都是从大量的计算结果中产生的，从而推进学科发展。而近世代数中概念之所以抽象，是因为没有太多可操作性的计算。事实上，近世代数中不仅有很多计算，还有相关的软件，比如：GAP，Magma软件，见文献[6]，都是代数的专业软件，实现了代数的计算机化，这些软件也增加了代数应用的一些操作，比如代数在图论上的應用。学生通过对这些专业软件的认识，简单操作以及深入探索，不仅加强了对近世代数中群、环、域相关概念的理解，还可以从这些操作的计算中找到规律，提高学生自我探索的能力，同时能体会到数学研究的快乐，并且也可以慢慢接触代数的应用，大大开阔了视野。

（三）辅助软件的应用

现今已经进入5G时代，网络已经给我们带来很大的便捷。比如交流软件：手机、QQ、微信;直播软件：钉钉在线直播，腾讯课堂;课堂互动软件：云班课、课堂派;课下学习网站：慕课、微课等。当今我们接收知识的途径不再是单一的，而是多种多样的。我们在授课过程中，也要与时俱进并借助这些软件在课堂上运用，比如云班课可以发布签到、练习以及课下资料，这样省去上课的时间，而且可以通过数据及时掌握学生的学习情况。传统课堂因为时间的限制，很难达到每一个学生有回答问题和讨论问题的机会，我们通过运用软件，让大家都可以参与到问题的讨论，这样既增强了学生的参与感和学习的积极性，又加深了教师对每个学生学习状况的掌握。

（四）学习资料的分享

网络的发达，软件丰富，让我们的学习更加便捷。比如利用学习软件，我们可以将知识点的背景介绍、重难点知识点、章节小结、典型例题等相关内容分享给学生。传统课堂是在规定的时间和地点学习特定的知识，而我们现在可以利用现代教学手段，打破时间和空间的束缚，随时随地学习。学生可以将碎片化的时间利用起来，学习一个甚至更多的知识点，练习更多的习题，以及获取与书本知识相关的资料，拓宽了知识面，丰富了学生的课下学习生活。

抽象的数学概念和定理如何让学生真正地理解，以及能够更好地应用，一直都是数学教师研究的一个课题。教师随着科技的发展社会的变化，以及学生的变换，及时调整教学内容的讲授方式，运用最新的科技，合理增加教学手段，以期达到在有限课时的情况下，提升教学效率和质量，提高学生的学习积极性，锻炼学生的自主学习和独立思考的能力，从而培养学生严密的逻辑思维和抽象能力。

参考文献：

[1]李世群.关于实行“近代”与“高代”整合教学的思考[J].数学理论与应用，2003，23（4）：28-30.

[2]李平.新型教学模式在近世代数教学中的交互运用[J].教育教学论坛，2016（46）：154-155.

[3]门博，于瑾.近世代数教学中的思考[J].科学与财富，2017（3）：86.

[4]黄影.浅谈如何提高近世代数的教学质量[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2010，28（4）：568-570.

[5]古勤勤，赵良.浅谈近世代数课程教学方法[J].汉江师范学院学报，2019，39（6）：115-119.

[6]W.Bosma，C.Cannon，C.Playoust，The MAGMA algebra system I：The user language[J].Journal of Symbolic Computation，1997（24）：235-265.

◎编辑 武生智