双层欧拉梁声子晶体弯曲振动带隙特性研究

涂静，史治宇

(南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏 南京 210016)

0 引言

减振降噪问题一直是学术界和工程界研究重点之一,特别是飞机机翼等很多梁式工业产品均存在不同程度的振动问题，因此对梁结构进行减振研究很有必要。声子晶体概念的提出为结构减振设计和研究指出了新的研究方向。人们发现某些频段内的弹性波在周期弹性复合介质中传播时衰减十分明显，由此提出了声子晶体的概念。Bragg散射机理和局域共振机理是其带隙产生的两种主要机理，而后者更易通过小尺寸设计实现低频下的减振，因此，研究局域共振型声子晶体梁结构的带隙特性将为低频减振设计和优化提供理论指导。

关于局域共振型声子晶体梁材料性能参数，宿星亮[1]等人应用平面波展开法研究了功能梯度材料周期分布的声子晶体梁结构的带隙特性以及功能梯度材料性能对带隙的影响。左曙光等人[2]基于三参数Maxwell模型研究了材料粘弹性对单振子声子晶体梁能带结构的影响，发现粘弹性会影响带隙位置和带宽，并减弱振动衰减幅度。

对于声子晶体新型结构的研究最为广泛。张法[3]和高恩武[4]研究了角杆、T型杆等组合型声子晶体结构的带隙特性；王兴国[5]研究了一维柱壳结构的径向、扭转及轴向剪切振动带隙；蒋娟娜[6]等人结合有限元法设计并研究了一种新型多重开孔式局域共振声子晶体结构的带隙形成机理和振动特性。对于振子式结构，朱学治等人[7]提出一种含转动振子的声子晶体梁简化模型，基于传递矩阵法研究其能带结构后指出转动振子可以使得声子晶体梁产生窄频带局域共振带隙和宽频带Bragg带隙。文岐华[8]等人通过传递矩阵法得到双振子欧拉梁的弯曲振动能带结构，并基于ANSYS得到的铝-橡胶-铜有限周期梁结构振型图来推测起始、截止频率；李锁斌等人[9]建立并研究了互置型双振子三组元声子晶体板结构的带隙特性。此外，舒海生等人[10]在树脂圆柱体上周期布置橡胶和铅同心环构成局域共振型梁结构，并指出声子禁带截止频率由铅块和梁结构的反相弯曲振动决定，而起始频率由铅块无规则振动决定。鉴于纵/横向振动带隙频率范围往往不同步且衰减强度不同，其后来提出角式声子晶体梁[11]并指出通过弹性波纵/横波的转换，该结构可以使得3个方向上的纵向和弯曲振动都得到明显抑制。

以上文献提出并研究了多种新型声子晶体梁结构，但全部基于单层梁或者组合杆、柱壳结构，尚未有人对双层梁结构及其带隙特性展开深入研究。本文在双梁之间周期布置弹簧和质量块构造出局域共振型声子晶体双层欧拉梁结构，采用平面波展开法对带隙的形成机制和调节规律进行详细研究，给出带隙起始、截止频率的估算公式并给出理论解释，最后与相同参数下的单层梁结构的带隙特性进行了对比。

1 双层欧拉梁模型

双层梁晶胞单元周期排列时，设相邻振子之间的距离(即晶格常数)为a，上、下梁的横截面积均为A,弹簧刚度系数分别为k1、k2,质量块质量为m，如图1所示。

图1 双层欧拉梁模型示意图

设双层欧拉梁上、下梁的位移场函数分别为y1(x,t)、y2(x,t),质量块m的位移场函数为z(x,t)，那么双层欧拉梁的振动方程为：

(1)

其中ρ、A、EI分别代表梁的密度、横截面积、抗弯刚度。

f1(x，t)=-k1[y1(x,t)-z(x,t)]δ(x-a)

(2)

f2(x，t)=-k2[y2(x,t)-z(x,t)]δ(x-a)

(3)

设y1(x,t)=Y1(x)e-iωt,y2(x,t)=Y2(x)e-iωt，z(x,t)=Z(x)e-iωt,根据bloch定理可分解为：

(4)

将式(2)-式(4)代入式(1)得到

(5)

将式(5)写成矩阵形式为：

(6)

式(6)为广义特征值问题，其中k为第一Brillouin区Bloch波矢，而G′遍历该结构倒格矢空间。通过选取N个倒格矢进行计算，那么式(6)变为(2N+1)×(2N+1)阶矩阵特征值求解问题。对于Brillouin区内的每个波矢k,均可以求出与其对应的特征频率ω，从而画出能带结构图。若求出的ω存在非零虚部，则说明ω处于带隙范围内，即频率为ω的弹性波无法在该结构中稳定传播，必然存在衰减。

2 算例

选择铝作为欧拉梁的材料，材料密度等参数如表1所示,双层欧拉梁晶胞长度(即晶格常数)a、梁宽b、梁厚h等参数如表2所示，则梁的横截面积为A=bh,晶胞中梁的质量均为m梁=ρAa=0.0364kg。结构中弹簧刚度系数均为k。

表1 梁单元材料属性

表2 声子晶体欧拉梁几何参数

双层欧拉梁能带结构图如图2所示。基于matlab计算并得到满足表1和表2参数的双层欧拉梁结构的能带结构，如图2(a)所示。从图2(a)可以发现：在201Hz～530Hz附近存在一条完全带隙。

利用MSC.Patran建立双层梁晶胞单元的有限元模型，并求得其特征频率及其对应的固有模态，可以发现截止频率附近存在的两阶固有频率及模态如图3所示。

图2 双层欧拉梁能带结构图

图3 双层欧拉梁晶胞单元固有振型图

根据图3所示截止频率附近的固有模态振型，可以将截止频率附近存在对称弯曲振动和反对称弯曲振动两种模态。因此通过matlab编程将能带结构图分成对称弯曲振动能带和反对称弯曲振动能带，如图2(b)所示。

图2(b)表明带隙的形成是由反对称弯曲振动能带和对称弯曲振动能带共同决定的，带隙起始频率由反对称振动模态决定，截止频率由对称振动模态决定。

下面结合图4所示弹簧振子示意图给出带隙起始、截止频率计算公式及推导过程。

图4 弹簧振子模型示意图

下边界f1对应反对称弯曲振动模态，振动形式为梁静止而振子上下振动，相当于两个相互独立均以梁为基础的弹簧振子模型，因此起始频率就是单弹簧振子系统共振频率，即

(7)

截止频率f2为对称弯曲振动模式，振动模态显示为质量块静止而梁发生弯曲振动，因此可以看成质量块作为基础而梁作为振动单元的模型，故截止频率

(8)

f3对应反对称弯曲振动模式能带，这里假设在弹簧的某个中间点固定不动，那么

(9)

弹簧总刚度满足

(10)

设m梁/m块=γ，由式(9)和式(10)可得

(11)

将式(11)代回式(9)即可得

(12)

对于双层欧拉梁而言，图2(a)能带结构图显示其带隙起始频率f1=201Hz,截止频率f2=530Hz，f3=565Hz，而通过式(7)、式(8)以及式(12)计算得到的起始、截止频率分别为f1=201.3Hz，f2=527.6Hz,f3=564.7Hz。可以发现这与能带结构图中带隙边界处的频率几乎一致，因此说明式(7)、式(8)以及式(12) 估算带隙是准确的。

3 带隙影响规律

为了研究带隙特性的影响因素，下面研究双层欧拉梁各参数对能带特性的影响，主要参数包括：晶格常数a,一侧梁厚度h,一侧梁宽度b，质量块质量m以及弹簧刚度k，影响规律分别如图5所示。

图5 带隙随梁截面、弹簧、质量块变化图

图5(a)-图5(c)显示：晶格常数增大，带隙起始频率f1几乎不变，截止频率f2逐渐减小，因而带隙逐渐变窄；改变一侧梁的厚度或者宽度，发现带隙起始频率f1几乎不变，截止频率f2逐渐降低，导致带隙逐渐变窄；这是由于梁尺寸的变化引起梁质量m梁增加，但并未影响质量块质量，因此起始频率f1=0.5/π·(k/m块)0.5保持不变，而f2=0.5/π·(k/m梁)0.5减小。

图5(d)显示：随着质量块质量m的增加，带隙起始频率f1逐渐下降，截止频率f2保持不变，f3逐渐降低并与f2接近。引起该变化的原因为：质量块质量增加，但梁质量并未改变，故起始频率f1=0.5/π·(k/m块)0.5逐渐减小，而截止频率f2=0.5/π·(k/m梁)0.5不变。

通过图5(e)发现：弹簧刚度k增加引起带隙起始频率f1逐渐增大，而截止频率f2先增大后保持不变，f3先不变后逐渐增大，导致带隙先增加后缓慢减小。k的增加导致起始频率f1=0.5/π·(k/m块)0.5增大容易理解，而截止频率f2=0.5/π·(k/m梁)0.5先增大后不变的原因在于：双层欧拉梁一共有两条梁和两根弹簧，所以根据式(8)截止频率应该也有两个，最后由两侧计算得到的截止频率结果较小的作为带隙截止频率，当只改变一侧的弹簧刚度或者梁的厚度宽度，引起其中一侧截止频率的变化，而另外一条频带并未发生改变，只是在作图过程中是按照较低的频率称为f2，高的频率比称为f3。因此再次做出同时改变两侧弹簧刚度大小引起的带隙变化如图5(f)所示，可以发现弹簧刚度引起起始频率增大，而截止频率增加更多(这是由于梁质量比质量块小的缘故)，带宽增大。

利用MSC/PATRAN建立12个晶胞结构的有限长梁模型，划分网格后并在梁的左端施加垂直于梁平面的单位位移激励作为初始条件，如图6所示。图中小竖线代表弹簧，三角形代表集中质量块，参数分别如表1和表2所示。

图6 双层梁有限元仿真模型示意图

分别选择双层欧拉梁的同侧和异侧另一端作为响应点绘制弯曲振动传输曲线，并与图2中双层欧拉梁能带结构图进行比较，如图7所示。

图7 双层欧拉梁弯曲振动传输曲线图

通过比较图7(a)和图7(b)发现，不管响应拾取点位于激励点同侧还是异侧， 200Hz～560Hz频率范围内的弯曲振动在双层欧拉梁中传播时均存在很强的衰减，最大衰减幅值可以达到120dB，且该频率区间正好与图2能带结构图中带隙频率范围重合。

同时图7(a)与图7(b)存在一条非常明显的差别：当激励点和响应点位于异侧梁上时，在带隙范围外仍然可能存在较大衰减，而激励点和响应点位于同侧时，振动衰减几乎只存在于带隙范围内。其实，造成这种现象的原因在于：能带结构图中在526Hz和563Hz处存在对称弯曲振动模态和反对称弯曲振动模态对应的能带，两条能带耦合后相互抵消，从而引起图7(a)异侧梁弯曲振动传输曲线图中弯曲振动在非频带范围内仍有较大衰减的情况。

为了对比单/双层欧拉梁声子晶体的带隙特性，建立相同参数的单/双层梁声子晶体模型并得到振动传输曲线图，如图8所示。

图8 单/双层欧拉梁振动传输曲线对比图

通过图8可知，双层梁相对于单层声子晶体欧拉梁而言，单层梁的衰减幅值约为60dB,而双层梁的平均衰减幅值约为70dB,二者衰减幅度相近。但是通过对比可以很直观地看到，双层欧拉梁在带隙之外的部分频率范围内仍存在明显的衰减现象，如图8(b)中750Hz以及1000Hz附近存在的强衰减现象，这是单层梁所不具有的特性。因此双层梁相对于单层梁在衰减振动方面具有特有的优势。

4 结语

本文构造出局域共振型声子晶体双层欧拉梁结构，基于平面波展开法计算其能带结构，并利用有限元法仿真得到相应有限结构的弯曲振动传输曲线，对该结构的带隙特性展开了详细研究。得到以下主要结论：

1) 声子晶体双层欧拉梁能带结构存在对称与反对称弯曲振动模式，带隙的打开可以认为是共振单元的振动模态和梁的振动模态相互耦合作用的结果。带隙起始频率f1=0.5/π·(k/m块)0.5由反对称弯曲振动模态决定，截止频率f2=0.5/π·(k/m梁)0.5由对称弯曲振动模态决定。

2) 通过减小梁单元截面尺寸、晶格常数，可以降低带隙截止频率从而增大带隙宽度；增加质量块质量，带隙起始频率下降，带隙宽度增大；通过增加弹簧刚度，可以同时增大起始和截止频率且截止频率增加更多，从而带隙宽度增加。所有上述影响规律均可借助于“基底-弹簧-质量块”简化模型得到解释。

3) 双层欧拉梁在非带隙范围内某些频率段仍存在较强的衰减振动的作用，这是由于双层梁存在的两种弯曲振动模态(对称弯曲振动模态和反对称弯曲振动模态)相互叠加抵消的结果，这是单层梁所不具备的，因此双层梁结构在减振方面具有特有的优势。