T-凸空间中Fan Ky点与Nash平衡点存在定理

陈治友

(贵阳学院数学与信息科学学院,贵州贵阳550005)

§1 引 言

1972年,Fan Ky在文献[1]中给出了下面重要结果,通常称之为Fan Ky不等式定理.

定理1.1(Fan Ky不等式)设X是Hausdor ff线性拓扑空间E中的非空的紧凸子集,若泛函λ:X×X−→R满足

1) 对每一y∈X,有λ(y,y)≤0;

2) 对每一x∈X,有y→λ(x,y)是拟凹;

3) 对每一y∈X,有x→λ(x,y)是下半连续.

注1.1据文献[2],将满足定理1.1的点称为泛函λ的Fan Ky点.

由于上述定理在变分不等式理论,非线性分析,凸分析,数理经济学以及博弈论等诸多领域都有非常成功的重要应用(参见[3-6]),因此一些学者围绕该定理的紧性,连续性及凸性条件进行了改进,也已取得了许多令人瞩目的丰硕成果.对于紧性条件改进,产生了一系列针对非紧集合的结果(参见[4,7-10]);而对于连续性条件的改进,近年来已涌现出一些新的结果(参见[5,8-10]);另外在Fan Ky不等式解的存在性问题中,针对凸性条件的改进,一些学者致力于用其他的拓扑凸结构,序凸结构,抽象凸结构以及一些广义凸性结构分别来代替线性空间的线性结构,建立了一系列相应的重要结果(参见[4,10-12]).借助文献[11-15]的思想,文献[16]利用连续映射的延拓性质构造了具有T-凸结构的T-凸空间,该空间的T-凸性是H-空间的H-凸性的推广,并且还证明了T-凸空间满足H0-条件.文献[17-21]在不具有线性结构的广义凸空间中对非线性分析中的一些问题进行了研究.本文在这些研究工作的基础上,利用不具有线性结构的T-凸结构代替定理1.1中的线性结构,将定理1.1中X的紧性条件减弱为局部紧,并取消定理1.1中的下半连续性,充分利用KKM方法和经典的集值分析方法,在不具有线性结构的T-凸空间中,获得了定理1.1的几种不同的推广形式;最后作为对定理1.1的推广后的结果的应用,在T-凸策略空间中建立并证明了n人非合作博弈的一个Nash平衡点存在定理.

§2 预备知识

§3 主要结果

§4 Nash平衡点存在定理