深度探究问题优化思维结构

郝四柱 袁华

[摘要]学科发展需要教师进行数学学科的深层次研究，从知识的前世今生內涵中，找出问题的思想方法和內在规律，从而提高思维的广阔性、简洁性，实现思维的灵活性，避免简单思维的局限性，让学生在纷繁的數学现象中找到种子，提升个体发展的数学的核心素养。

[关键词]思维结构，深度探究，思想方法，学科素养

数学学习是一个严密推理，简化思维的过程;是寻找问题本质属性的一个过程，这两个特质也恰是数学学科素养中逻辑推理能力和数学抽象能力的核心体现，

初中正是学生逻辑思维和抽象能力形成、完善、提升的重要阶段，在此阶段。如果不能在学习过程中培养学生建立深度探究的意识、形成探究事物规律的策略、提炼解决问题的核心方法，那么这样的数学学习必是低效、碎片化、表面化的，鉴于以上思考。结合笔者在常态教学中的几个案例。对数学的课堂教学做了如下思考，

1从知识的思想方法出发，形成章统领课的体系建构

数学的统领课。作为目前教学领域中热门的研讨课型，被越来越多的一线教师积极采用，但是，究竟是知识层面的统领还是思想方法的统领？经过反复思考和权衡，觉得：从深层次进行建构，进行思想方法的引领更为关键，在相似判定的统领课中，全等和相似几个判定简单类比的统领比较粗糙：本人设置了基于“利用平行线，构造相似形”思想方法的统领课，并贯穿到每个判定中，

案例1相似尽在“平行”中，

在学生已经明确相似图形的概念和平行线分线段成比例定理之后，学会了第一个判定相似的方法：A字型相似，它是以平行为基础，然后进行相似判定证明的统领课的教学，

设问1给你一个三角形，你能得出相似三角形吗？

生：能通过画出任意一边的平行线，“形成A型图”得出相似，

在这里，学生通过对图形的直观感受获得相似三角形判定的上位方法——平行。接下来即可把平行作为统领的起点。开启学生研究图形相似的探究之路，

设问2如图1的两个三角形两个角相等。它们是否相似？

生：多数学生一片茫然，如何找到突破口？

提示：能否通过构造平行的方法证明？两个独立三角形，从相等的角人手，尝试构造平行，把两个三角形联系起来，

通过思考，有学生提出把两个图形组合到一起：就是在AB上截取AD=A'B'。在AC上截取AE=A'C'。这里的重合不仅实现了“合二为一”。最关键的是构造了特殊的位置关系：平行，进而得到图形的相似，

设问3如图2的两个三角形两边对应成比例。且夹角相等，它们是否相似？请证明，

有了解决上一问的经验。学生很容易联想到通过图形组合，构造平行来解决问题，完成这个问题后，学生对平行的重要性有了新的认识。对从特殊位置人手思考图形之间的关系有了更深入的理解，

设问4如图3的两个三角形是否相似？请证明，

三种方法的探究。按照构造平行由易到难的顺序进行依次设问，层层递进，但是围绕的始终是“平行”这个特殊的位置关系，所以在相似图形中，平行是相似的关键方法。是贯穿图形相似始终的关键纽带，这样的设计不仅给了学生一条不同于全等的新的学习路径。也帮助学生形成了一个解决相似问题的有效策略——构造平行，

相似作为初中阶段平面几何知识的最高形式，往往汇集着初中阶段几何的大部分知识。条件多而复杂，因此，教学过程中如何更好的分析条件，帮助学生形成有效的解题策略，达到一览众山小的思维高度，是老师必须予以解决的问题，老师只有通过有效的设问，不断引导学生对知识的内涵进行思考，培养学生进行深度思考的能力。才能实现提升学生的数学学科素养。实现教学大目标，

2 从方法的本质入手，形成解决问题的最优策略

解题教学作为数学学科教学中的一部分。解题教学的重要性是不言而喻的，那么如何进行解题教学？笔者基于多年的解题教学经验发现。引导学生分析理解问题，比较一题多解的优劣特征，是解决问题的关键所在，

案例2等腰三角形、直角三角形哪个更贴近本源？

分析：要证相切，必须证明∠OAD=90°学生惯有的解题经验是连接半径OA，OB，通过构造等腰三角形解决问题，需要用到的知识点包括了圆周角定理、等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理等三个重要定理，而在具体的书写过程中，角之间的转换也是比较复杂容易出错的，对于一般学生来说难度较大，

但是换个解题策略，构造如图5的直径之后，由同弧所对圆周角相等和直径所对的圆周角是90°由于少了角的运算和等角之间的代换。证明过程就显得简洁明了了许多，

不难看出这里用等腰三角形解题比较困难。而直角三角形却非常简洁，为什么直角三角形更容易解决问题？巧合？经过思考发现，直角三角形除了具有直角的优势外，用相同的直角三角形可以轻松构造等腰三角形，而用相同的等腰三角形（等腰直角三角形除外）却无法构造直角三角形，那么我们就可以把直角三角形看作是等腰三角形的关键图形，因此笔者认为：直角三角形相较于等腰三角形。解题中处于更加基础的本源地位，

基于这个认知。在基于平面直角坐标系的一系列问题中再次得到了验证，

如图6。在平面直角坐标系中，点A（4.0）、B（0.3），△ABC是等边三角形，求点C的坐标，

在这个问题中。直接求点C坐标涉及到∠OAB度数的问题。对于初中学生而言求解显然比较困难，但是如果延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则∠BAD=90°这样的构图即可把等边三角形转化为直角三角形，由△ABO～△DAE求出点D的坐标，再由中点求解点C的坐标，

由此可见，构造直角三角形，可以把角度一般化的等腰三角形问题转化为具有特殊角的直角三角形问题。进而从直角三角形的角度解决问题，

无论三角形构图、四边形构图，以及三角函数等问题。我们都可以看出直角的重要作用，用人类认知的起源来看。矩形也是较早得到的四边形，因此在教学中，我们有必要进行构造直角三角形的专题思维导向的培养。形成通透思维，

3 从概念的核心进行构思，利用化斜为直思想解决问题

概念中往往孕育着思想方法。是我們解决问题的母体所在，平面直角坐标系是一个重要概念。是数学学习中的一个重要工具;它将平面内的任意一点和有序数对建立了一一对应的关系，“直”是它的概念中的核心，直角坐标系区别于斜角坐标系的关键在哪里呢？解决了这个问题无疑就可以抓住平面直角坐标系最本质的特征，显然，从名称即可看出差异：一直一斜，

“直”还体现在：在平面直角坐标系中，任意一点向横纵坐标轴引垂线，即可与坐标轴构成一个矩形，而这个矩形是一个横平竖直的图形。在这个横平竖直的矩形中进一步构图。对于求解平面直角坐标系中的问题而言，无疑是快捷又简便的，可见，基于平面直角坐标系的问题，就是秉承“直”的基因，化斜为直，从横平竖直的图形里寻求突破，

案例3与平面直角坐标系有关问题的关键思想，

如图7.已知一条直线经过点A（-1.0）和B（0.2），点D坐标为（5.4），过点D作直线AB的垂线CD，垂足为C，求点C的坐标，

平面直角坐标系的建立。可以有效的帮助我们把数与形结合在一起，抓住“直”的特征，是我们解决平面直角坐标系问题的关键。准确而透彻理解大概念，事实上，数学学科的“直”远不止上例所指，在此不再赘述，

4 用运动变化的观点，找到变化的节点

运动变化是数学永恒的话题：相较于静态的几何图形问题。复杂的动点问题对学生而言难度无疑是巨大的，那么对于这样一类问题。关键是要寻找运动变化的内在的规律。从而化繁为简、以静制动，

案例4动圆和直线的位置关系，

如图9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.BC=4。D是AB中点，⊙O是以0为圆心。1为半径的圆，当点O从C出发。沿CD向点D运动时。⊙O与△ABC三边的公共点个数随着CO长度的变化而变化，直接写出公共点的个数及对应的CO长度的取值范围，

不难看出。这是一个动圆在运动过程中与三角形三边之间关系的问题，进一步分析，圆的大小确定，动的是圆心，换言之。随着运动，改变的是点O与三角形三边之间的距离，这样就可以把问题简化为：通过判断点O到各边的距离与半径1的大小关系。从而确定公共点个数，具体到此问题中。临界点就是相切时的特殊情况，结合图形分别求出与三边相切时的OC长度，即可确定范围，根据笔者的经验，完成类似动点问题，教师不妨引导学生对整个运动过程进行一个描述，让学生先对运动过程中的变化情况有一个大致了解。然后确定变化的节点，求出临界值，从而解决问题，

5 用函数的观点，刻画过程性规律

在运动变化的问题中。如果能用函数观点刻画出内在规律，体现出运动的过程，那么问题的一切变化规律全部都体现在函数中;这样就避免一些隐性的误解的东西干扰思维。防止线性思维错误，

案例5点的运动的范围，

教学教学，先有老师的思想方法引领下的教，才有学生更好的学，才能达到深入浅出，作为老师如何教。如何教好？如何把“教师教好”转化成“学生学好”，这是教学中最为关键的一部分，作为老师，我们需要关注知识的的前世今生，从中提炼出核心思想、核心方法，引导学生深入思考，让学生在探索中不断提升数学学科素养。真正实现学生思维结构的优化。