一类完全四阶边值问题解的存在性

陈雪春，李永祥

（西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州730070）

考虑完全四阶边值问题(BVP)

解的存在性，其中f:[0,1]×R4→R 为连续函数。边值问题(1)描述了两端简单支撑的静态弹性梁形变的数学模型。其中u′(t)表示隅角，u′(t)表示弯矩，u′′(t)表 示 剪 切 力 刚 度，u(4)(t)表 示 密 度 刚 度。根据两端点的受力情况，这种描述又被分为若干类型的边值问题。而问题(1)在物理学中有重要的理论意义，得到了该类问题特殊情形的一些结果[1-13]。

对非线性项不含任何导数项的简单四阶边值问题：

已有一些研究成果[1－4]。

对非线性项仅含弯矩项u′(t)的特殊四阶边值问题：

文献[5-8]在非线性项满足适当的增长条件下，运用不动点定理获得了BVP(3)解的存在性。文献[9-10]运用上下解方法讨论了BVP(3)解的存在性。文献[11-12]在非线性项非负的情形下，运用锥上的不动点指数理论和Krasnoselkii 不动点定理讨论了BVP(3)正解的存在性。

对完全四阶边值问题(1)，由于u′(t)与u′′(t)变号引起的困难，上述研究特殊边值问题(3)的方法不再适用，已有的研究工作很少。只有LI 等[13]在边值问题(1)的非线性项满足一次增长条件下运用Leray-Schauder 不动点定理研究了BVP(1)解的存在性和唯一性。

受上述研究的启发，本文将文献[9-10]中关于边值问题(3)的上下解方法推广到一般边值问题(1)。相比已有研究，本文对非线性项的增长条件不作任何限制，也不假定非负的情形，在f (t,x0,x1,x2,x3)关于x3满足Nagumo 型条件下，运用截断函数技巧和上下解方法讨论了BVP(1)解的存在性。

1 主要结果

定义1设v0(t)∈C4(I)，若v0(t)满足

则称v0(t)为边值问题(1)的下解。若式(4)中均取反向不等式，则称其为上解。

定理1设f:[0,1]×R4→R 为连续函数，BVP(1)存 在 下 解v0及 上 解w0，w0′≤v0′。若f 满 足 下 列条件：

(H2) 存在[0,∞)上的正值连续函数H(ρ)，满足

使得

其中，

则BVP(1)至少存在1 个解满足v0≤u ≤w0,w0′≤u′′≤v0′′。

2 预备知识

记I=[0,1]，C(I)表示定义在I 上的全体连续函数按范数构 成 的Banach 空间，对∀n ∈N,Cn(I)表示定义在I 上的全体n 阶连续可 微 函 数 按 范 数构成的Banach 空间。

引理1设v0,w0∈C4(I)分别为完全四阶边值问题(1)的下解与上解。若v0′′≥w0′′，则v0≤w0。

证明令u(t)=w0(t)-v0(t)，则有

由中值定理可知，存在t1∈[a,t0)及t2∈(t0,b]，使得

再对u′(t)用中值定理，存在t3∈(t1,t2)，使得

引理2设

满足w0′′≤u′′≤v0′′，则

证明对∀u ∈D,t ∈I，有

因此

引 理 3设 f ∈C(I×R4,R) 连 续。 对存 在 常 数 ai≥0,i=0,1,2,3，和C ＞0,使得a0+a1+a2+a3＜1，并且f 满足

则边值问题(1)至少有1 个解。

该引理的证明可参见文献[13]定理1。

3 主要结果的证明

定理1 的证明由假设(H2) 的式(7)知，存在M ＞0，使得

则函数η1，η2：I×R →R 连续，且满足

作f (t,x0,x1,x2,x3)的截断函数

则f*:I×R4→R，连续有界。

由引理3，修改后的边值问题

有解，u0∈C4(I)。

下证w0′≤u0′′≤v0′′。

先 证u0′≤v0′。 反 设u0′′＞v0′。 考 查 函 数φ(t)=v0′′(t)-u0′′(t)， t ∈I。 由 于 φ(0)≥0，φ(1)≥0，因此φ(t)＜0，则存在t0∈(0,1)，使得

按最小值点的性质φ′(t0)=0，φ′(t0)≥0，可得

根据定义1 和式(5)有

与式(11)矛盾!因此

由引理1 可知，v0(t)≤u0(t)≤w0(t)，t ∈I。由引理2 知，|u0′(t)| ≤N，t ∈I。

再 证|u0′′(t)| ≤M，t ∈I。反 设|u0′′(t)|＞M，由中值定理可知，∃t1∈[0,1]，使得u0′′(t1)=0。由最大值定理，存在t2∈[0,t1)或t2∈(t1,1]，使得

下分4 种情形证明：

情形(i)（其他情形类似可证），令

由u0′′(t)的 连 续 性 及 上 下 确 界 的 定 义 可 知，t1≤且

由 于u0′′(t)＞0，上 式 两 边 同 乘u0′′(t)，并 在上积分，可得

令ρ=u0′′(t)，则有

即

与式(9)矛盾!故|u0′′(t)| ≤M，t ∈I。

因此，按f*的定义，有

故u0(t)为BVP(1)的解。

例1 考虑完全四阶边值问题:

相应地，非线性项为

所以w0(t)为边值问题(12)的上解。

下证f 关于v0，w0满足条件(H1)，(H2)。

所以当0 ≤x0时，

因此,f 满足条件(H1)。

又因为f (t,x0,x1,x2,x3)关于x3是二次增长的，易取二次增长函数H(ρ)使得f 满足条件(H2)。由定理1，方程(12)至少有1 个解u，满足