以《二次函数》为例谈渗透数学思想的尝试

【摘要】本文以《二次函数》教学为例论述渗透数学思想的策略，建议教师通过简化解题思路、优化做题步骤等来渗透数学思想，促进学生在解题过程中灵活运用、高效解题。

【关键词】数学思想 《二次函数》 解题方法

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）02A-0144-02

《二次函数》是初中阶段学习的重点内容，由于它经常与图形相联系的特殊性，所以学生总是会凭主观臆断来解题，由于不能正确理解题意，导致得出错误结论;亦或是对于二次函数的相关公式、定理的含义记忆模糊，导致出现不能正确解题等问题。在教学过程中，教师往往更倾向于见题解题，而忽略对数学思想的归纳总结，但其实数学思想才是解题的关键法宝。本文将介绍四种求解二次函数的数学思想方法。

一、推理思想，联系比较

推理思想，就是将题中所给的信息与之前所学过的内容联系起来，并在联想的知识点间进行比较，选择最合适的。在二次函数求解析式时教师可以引导学生利用推理思想，合理利用题中信息比对各标准式的特点，进行代入求解。

若给出三个点的坐标时，就选用一般式：y=ax2+bx+c。例如，二次函数过（0，1）、（1，6）、（2，17）三点，求解二次函数解析式。由于图象上的各点与函数解析式是一一对应的关系，因此可以将给出点的坐标带入解析式中得到三个方程组，求解参数a、b、c三点的值。若给出最值点或顶点坐标时，就选用顶点式：y=a（x-h）2+k。例如，二次函数顶点坐标为（2，-1）且过点（0，4），求解二次函数解析式。要想求解二次函数解析式，就要知道a、h、k三个参数的值。题中已知顶点坐标也就知道了-h和k的值，只需要把点（0，4）代入求解a的值即可。这类型的题只能用顶点式，无论用一般式还是两根式都解不出来。在函数存在两个根的情况下，已知两根的坐标，就选用两根式：y=a（x-x1）（x-x2）。例如，二次函数与x轴交点坐标为（-1，0）、（3，0），且过点（1，-4），求解二次函数解析式。此时，既可以使用两根式也可以使用一般式来进行求解。

推理思想除了在求解析式时有所应用，还在解三角形、数列求和、空间向量、圆锥曲线等题型中都有所应用。教师要结合不同题型的特点，引导学生通过联系对比，合理推理，巧用解题方法，以便求得一个最优解。

二、换元思想，简化算式

换元思想，就是将目标算式中出现的分式、含有高次幂的未知数以及不易进行直接计算求解的复合函数等，通过换元思想转化成简单的变量，再反代回目标算式中进行求解新的未知量。在二次函数最值问题中也常常会用到，计算起来会更加简便。

如在求解高次函数的最值问题时往往会进行换元计算，通过换元，将复杂的式子转化成简单的算式，既可以简化运算过程，又可以保证解题正确率。例如，已知函数表达式为y=x6-3x3+2，试求解该高次幂函数的最小值。初次见到这个函数关系式时，有些学生可能会有些懵，感觉题目超纲了，但其实这些内容是我们平时所学过的内容。经过细致观察，可以发现x6其实是x3的二次方，即：x6=（x3）2。这样就间接地把一个难于求解的高次函数的最值问题转化成了简单的二次函数的最值问题。假设t=x3，那么，t2=x6，所以，y=t2-3t+2。由于新得到的二次函数中a=1>0，所以在对称轴处取得最小值，即：t=2，把t值再反代回去得到：x=8。所以，当x=8时，y=x6-3x2+2取到最小值。本题非常典型地运用了换元的思想，将看起来较为繁琐的x6、x3转化成学生所熟悉的t2、t，化繁为简、简化算式。

换元思想在二次函数及其他方面的求解时应用广泛，这对学生的基础知识有着较高的要求，要求学生换元时要联系以前所学过的内容，包括概念、性质、适用范围等，并且要考虑是否符合换元要求以及换元是否能简便运算，然后再对原式进行换元。

三、对称思想，数形结合

在求解二次函数解析式时，通常会用到对称思想，也就是把解析式与图象相结合求对称后图象的解析式。根据对称找到变化后的图形，结合图形特点联系对称前后点的坐标变化，进而求解得到新的函数。

如已知一个二次函数的解析式为：y=3x2+2x+1，试分别求解关于x轴、y轴以及原点对称的函数解析式。当图形关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数。以顶点坐标为例，由（-[13]，[23]）变为（-[13]，[-23]），开口方向相反，对称轴不变，所以a1=-a=-3，b1=-b=-2;将变化后的顶点坐标代入只含有参数c的方程：y=-3x2-2x+c中，求解得c1=-1，那么，关于x轴对称的函数解析式为：y=-3x2-2x-1。当图形关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数。顶点坐标变为（[13]，[23]），开口方向不变，对称轴关于y轴对称，所以a2=a=3，b2=-b=-2;将变化后的顶点坐标代入只含有参数c的方程：y=3x2-2x+c中，解得参数c2=1，所以，关于y轴对称的函数解析式为：y=3x2-2x+1。当关于原点对称时，也是如此。这类题型巧妙地结合了图形与函数性质的特点，根据相关点的坐标，得到参数的取值，从而求解新的函数解析式。

抓住特点，灵活运用，借助图形，数形结合，将文字语言转化成图形语言，将对称思想充分合理地体现在图形的表达上，既有助于增强学生对解题思路的正确认识，又简化了学生的思考过程，激发了学生的学习兴趣。

四、联想思想，自由转换

联想思想就是结合题目条件，通过运用韦达定理、函数图象、函数性质、交点个数等相关内容，解决在解题过程中遇到的需要进行求解的中间变量。运用联想思想可以转换解题思路，简化解题过程，提高解题效率。

如在求解二次函数方程与图象相关的题型时，就用到了联想思想。在求解二次函数根的个数时，二次函数y=ax2+bx+c的根x1、x2就是令函数值y=0，即：ax2+bx+c=0时二次函数与x轴的交点值，根据判别式△=b2-4ac的正负情况来判断函数根的情况。例如，已知二次函数y=3x2+4x+m与x轴有两个不同的交点，求参数m的取值范围。在本题中，已知二次函数与x轴有两个不同的交点，也就是说，方程3x2+4x+m=0有两个完全不相等的解，依据根的判别式可知，当方程有两个解即函数有兩个根时，△=b2-4ac>0，所以（4）2-4×3×m>0，解得：m<[43]，所以，m的取值范围为（-∞，[43]）。若当函数仅有一个根或两个相等的根时，函数图象与x轴只有一个交点，函数方程等于0时只有一个解，判别式△=b2-4ac=0;当函数没有根，也就是函数图象与x轴没有交点时，函数值恒为正或恒为负，函数方程无解，判别式△=b2-4ac<0。

求解这类题型时，由函数方程解的个数来判断函数根的个数，而方程解的个数又通过判别式与0之间的大小关系来判定，联系图象，在图象和算式之间来回转换。联想思想有助于将一些分散的知识点联系起来形成一个整体，促进数学学习。

由此可见，数学思想对于求解二次函数乃至其他数学问题都尤其重要。在教学过程中运用数学思想，能够使学生的解题思路更加明确，在分析题目后能够运用合适的数学思想，选择最为简便的解题方法，多角度思考问题，培养理性的思维方式。教师应在授课过程中潜移默化地渗透数学思想，并将其应用到解题过程中，加深学生的理解，使教学更加高效。

作者简介：钟美娟（1978— ），女，广西玉林人，大学本科学历，二级教师，玉林市玉州区优秀教师，主要从事初中数学教育教学工作。

（责编 林 剑）