多吊点升降系统中钢丝绳张力的计算方法研究

戴志荣

(甘肃工大舞台技术工程有限公司，兰州 730050)

1 引言

钢丝绳被广泛应用于舞台机械中，如吊杆机中杆体的吊挂，对开大幕机中幕布的牵引，飞行机构中演员或道具的牵引，升降平台的提升，等等，偶尔也用于导向装置。在计算钢丝绳的张力时，由于吊点位置分布不同，悬吊部件本身结构不同，以及所受外载的不均衡性，在不同钢丝绳间往往存在着张力大小差异。工程计算中对吊杆机等多吊点吊挂设备的单根钢丝绳载荷分配，通常没有考虑载荷不平衡系数，而是按均摊计算[1]。即使考虑钢丝绳张力的差异，也是用平均张力乘以不平衡系数进行粗略估算。而不平衡系数的选择范围较大(1.2～4.0)，这对在设计中计算校核钢丝绳的安全系数存在着一定的难度。如果设计经验不足，分配系数使用不当，就会存在一定的安全隐患。鉴于此，论文对舞台机械中钢丝绳的使用方法进行归纳总结，对常见使用形式中钢丝绳的张力采用“力矩分配法”进行准确计算，以便在设计中对钢丝绳的选用及吊点的分布有所帮助。

2 多吊点杆状结构

舞台机械中吊挂设备的载荷接受件通常为杆状结构，包括单杆、双杆(平面桁架)及三杆(空间桁架)等，其悬吊及升降通常采用多根垂直的钢丝绳传递载荷。由于杆体在竖直平面内刚度较好，因此在计算钢丝绳的张力时可视为连续梁。另外，吊挂的平面框架结构(如防火隔离幕的幕体、侧灯光吊架等)同样可视为连续梁。上述结构通常采用三根以上钢丝绳悬吊牵引，在计算每根钢丝绳的张力时，用静力平衡条件无法求解，因属于超静定结构。在面对此类问题时，力矩分配法是行之有效的解决方法。

2.1 力矩分配法

用一般的力法或位移法分析超静定结构时，都要建立和解算线性方程组。如果未知数目较多，计算相当繁琐。力矩分配法是在位移法基础上派生出来的一种求解超静定结构的简便方法，是一种渐近的计算方法，不需解方程即可直接求出杆端弯矩，主要适用于连续梁和结点无侧移刚架的内力计算[2]。由于计算简便，力矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广，特别是对非结构专业设计人员更具优越性。

2.1.1 基本概念

(1)线刚度i

杆件横截面的抗弯刚度EI与杆件的长度l之比，即i：

(2)转动刚度S

转动刚度表示靠近结点的杆件端对该结点转动的反抗能力，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩，即S=M/θ。施力端只能发生转角，不能发生线位移。杆件的转动刚度与远端支承方式的关系如图1所示。

(a) (b)

(c) (d)图1 杆件的转动刚度与远端支承方式的关系

(a)当远端B为固定支座时，在A点处，AB杆的转动刚度SAB=4i；

(b)当远端B为铰支座时，在A点处，AB杆的转动刚度SAB=3i；

(c)当远端B为滑动支座时，在A点处，AB杆的转动刚度SAB=i；

(d)当远端B为自由端时，在A点处，AB杆的转动刚度SAB=0。

连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。

(3)分配系数μ

同一结点A上各杆的分配系数与各杆远端支承方式有关，如图2所示。

(a) (b)图2 同一结点上各杆的分配系数与远端支承方式的关系

M=MAB+MAC+MAD

=SAB·θA+SAC·θA+SAD·θA

各杆A端所承担的弯矩与各杆A端的转动刚度成正比。

MAj=μAj·M

∑μAj=1

μAj称为分配系数，如μAB表示杆AB在A端的分配系数。它表示AB杆的A端在结点诸杆中，承担反抗外力矩的百分比，等于杆AB的转动刚度与交于A点各杆的转动刚度之和的比值。总之，加于结点A的外力矩，按各杆的分配系数分配于各杆的A端。

(4)传递系数C

传递系数表示当近端有转角(即近端产生弯矩)时，远端弯矩与近端弯矩的比值。因此一般可由近端弯矩乘以传递系数C得出远端弯矩。

当远端为固定的边支座或非边支座时C=1/2；

当远端为铰支边支座时C=0；

当远端为滑动支座时C=-1。

MBA=CAB·MAB

系数CAB称为由A端至B端的传递系数。

结点A作用的外力矩M，按各杆的分配系数μ分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。

将每一对相邻结点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座或一端固定一端铰支的单跨梁，这样的梁在各种外载荷作用下的杆端弯矩叫做固端弯矩。

两端铰支的单跨梁无固端弯矩，只有固定端才有固端弯矩，铰支端的固端弯矩为零(单跨梁)。常见等截面单跨梁的固端弯矩见表1。

表1 等截面单跨梁的固端弯矩

(6)杆端弯矩M

力矩分配法解题过程中所指的杆端弯矩是指固端弯矩、分配弯矩及传递弯矩之和。

(7)近端和远端：习惯上将发生转动的杆端称为近端，而杆件的另一端称为远端。

2.1.2 力矩分配法的计算模型

计算杆端弯矩的目的，是因为杆端弯矩一旦求出，则每相邻结点之间的“单跨梁”将可以作为一根静定的脱离体取出来进行该杆的内力分析。其上作用的载荷有外载荷，每一根杆端面上一般有一个剪力和一个弯矩，两端共有两个剪力和两个弯矩。这两个弯矩就是杆端弯矩，既然它们已经求出，那么余下的两个剪力可由两个静力平衡方程解出。等截面单跨梁的固端弯矩，如表1所示。

2.1.3 力矩分配法的运算步骤

连续梁或刚架力矩分配法运算过程如下：

(a)求各杆件(梁或柱)的线刚度i、杆端(梁端或柱端)转动刚度S和分配系数μ。

(d)将分配得到的弯矩视该结点各杆远端支座特征决定是否向远端传递。这种分配、传递将可能进行多次，但是工程实践上只进行2～3个循环即可满足设计的要求。

(e)将上面运算之后的与同一结点相连的每根杆件杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩分别求代数和，即为各杆的杆端弯矩。与同一支座相连的各杆的杆端弯矩代数和必定为零，否则说明计算有错，或尚需进一步分配、传递。

2.2 力矩分配法应用实例

某吊杆机的杆体长度L=24m，吊点数n=6，吊点间距l=4m，悬臂部分长度l′=2m，杆体自重G=1300N，外载Q=7500N(假设外载为均布载荷，而且杆体质量分布是均匀的，则线载荷q=(G+Q)/L=366.67N/m)，钢丝绳的平均张力F=(G+Q)/n=1466.7N，计算每根钢丝绳的张力。如图3所示。

(a)载荷、挠曲线图

计算过程：

(1)求分配系数

a.杆AB、BC、CD、DE、EF的线刚度均相等，i=EI/l。

b.转动刚度：

SAG=SFH=0，SBA=SEF=3i，SAB=SBC=SCB=SCD=SDC

=SDE=SED=SFE=4i

c.分配系数：

μAG=μFH=0，μAB=μFE=1

μCB=μCD=μDC=μDE=0.5

d.校验：

μAG+μAB=μBA+μBC=μCB+μCD

=μDC+μDE=μED+μEF=μFE+μFH=1

此梁的悬臂部分AG段及FH段为静定部分，该部分的内力根据静力平衡条件即可求出：

(3)分配并传递：先从不平衡力矩较大的结点A和结点F开始，可使收敛较快，先分配再传递；在分配结点B和结点E的弯矩时，应包含传递弯矩，且注意是“取代数和后反号”再分配；结点C和结点D同理，如表2所示。

表2 24m等截面五跨连续梁的力矩分配法

(4)竖向叠加求杆端弯矩

(5)求吊点力(即钢丝绳张力)[3]

GA梁：RG=0

RH=0

将同一结点的两个吊点分力相加，即为最终的吊点力，也就是各结点钢丝绳的张力：

FA=∑RA，FB=∑RB

FC=∑RC，FD=∑RD

FE=∑RE，FF=∑RF

为了便于计算，用EXCEL的函数功能进行处理，结果如表2所示。从中可以看出：

FA=FF=1544.3N

FB=FE=1367.8N

FC=FD=1487.9N

若L=22m，G=1200N，其余条件不变，则悬臂部分长度l′=1m，线载荷q=(G+Q)/L=395.45N/m，钢丝绳的平均张力F=(G+Q)/n=1450.0N。计算结果为：

FA=FF=1081.7N

FB=FE=1715.1N

FC=FD=1553.2N

若L=20m，G=1100N，其余条件不变，则悬臂部分长度l′=0m，线载荷q=(G+Q)/L=430.0N/m，钢丝绳的平均张力F=(G+Q)/n=1433.3N。计算结果为：

FA=FF=677.9N

FB=FE=1951.8N

FC=FD=1670.3N

从上面的计算结果可以看出：无悬臂多跨连续梁的钢丝绳张力悬殊很大，在偏载情况下更大，选择合适的悬臂长度，对钢丝绳张力的均衡分布起到重要的作用。

3 多吊点升降平台结构

力矩分配法也可以用在多吊点升降平台结构钢丝绳张力的计算。

3.1 计算思路

1)根据重心及外载位置，用叠加法及力矩分配法先进行纵向分配，再根据平衡条件进行横向分配。

3.2 应用实例

某秀场为了满足其特定神话剧目的演出需要，要求演员及道具从台口上方出场，以增强演出效果。因此需制作一长22m，宽6m，升降行程为12m的主舞台升降平台。其外载除3.0k·N/m2的均布载荷外，还有点载荷。台面厚度不超过0.3m，同时要控制造价。

因升降台跨度、行程较大，台面厚度受限，经计算用四吊点很难满足台架自身重量及外载的要求，故采用六吊点钢丝绳提升方案。

升降平台用6根钢丝绳牵引提升，平台自重G=1.5k·N/m2，长度L=22m，宽度W=6m，外载均布载荷Q=3.0k·N/m2，点载荷P1=7.5k·N，P2=35k·N，P3=18k·N，方向均垂直向下。图中a=4m，b=9m，c=5.5m，d=4m，e=5，f=2m，计算每根钢丝绳的张力。如图4所示。

图4 多吊点平台受力图

计算过程：

(1)先用叠加法进行纵向分配：总载荷等于重力载荷(均布)、均布外载荷及点载荷P1、P2、P3的叠加。

(a)平台受均布载荷(包括重力载荷及均布外载荷)时，根据表1可得：

(b)平台受点载荷P1、P2、P3时，根据表1可得：

P1=0

(c)将以上两项得到的结果分类相加即为总的固端弯矩，再用力矩分配法进行计算，之后用静力平衡条件求出每对钢丝绳的张力，结果如表3所示。

从表3可以看出：

P1=0

P1=0

P1=0

(2)再进行横向分配(按权重)：

(a)令P1=0，P2=0，P3=0，则有

G=0

G=0

G=0

(b)令G=0，Q=0，则有

表3 平台的力矩分配法

(c)根据(a)、(b)的结果及力矩平衡条件可得[4]：

=218.6k·N

RE=(RB+RE)-RB=202.3k·N

以上即为每根钢丝绳最终的张力。

4 结论

力矩分配法是建立在结构力学基础之上求解超静定结构的一种简便计算方法，只要适用条件符合，其计算结果完全有效。对于舞台机械中多吊点设备这种平行力系的求解，用力矩分配法基本上可以得到满足。从计算实例可以看出，力矩分配法容易掌握，计算过程也相对简单。只有得出每根钢丝绳张力的实际大小，才能正确选用钢丝绳的规格，以保证设备在工作中的使用安全。同时，通过准确计算每根钢丝绳的张力大小，对吊点的合理布置及受力件的结构优化设计起到一定的指导作用。

致谢：本文在写作过程中得到魏发孔教授的悉心指导，在此表示衷心的感谢！