基于空间表象的直观想象素养培养

裴日春

[摘  要] 直观想象原本是指几何直观与空间想象，因此直观想象素养的培养，与高中数学中与图形相关的知识关系密切，因此基于几何图形或者是函数图像等内容的教学，培养学生直观想象素养是可行的. 基于空间表象培养直观想象素养，还有以下两点理解：第一，直观想象素养形成以空间表象为思维载体;第二，直观想象是空间表象加工后形成的直觉与合理想象. 这个培养过程可以分成三个环节：一是帮学生建立实物表象;二是帮学生建立想象表象;三是在反思中完善直观想象.

[关键词] 高中数学;几何直观;空间表象

几何直观是高中数学学科核心素养的六个要素之一，考虑到核心素养的落地与具体的学习内容相关，而直观想象原本是指几何直观与空间想象，因此直观想象素养的培养，与高中数学中与图形相关的知识关系密切，因此基于几何图形或者是函数图像等内容的教学，培养学生直观想象素养是可行的. 从学生学习心理机制的角度来看，学生对“形”的思维加工，是以表象为对象的，因此基于空间表象培养学生的直观想象素养，就成为逻辑上说得通、操作中可行的思路.

直观想象与空间表象的关系

所谓直观想象，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程. 进一步的研究表明，直观想象主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系（即常说的数形结合）;建构数学问题的直观模型，探索解决问题的思路等. 而基于空间表象培养直观想象素养，还有以下两点理解：

第一，直观想象素养形成以空间表象为思维载体

空间表象是学生观察思考空间图形之后，大脑中留下来的印象. 由于直观强项是几何直观与空间想象的合成，因此直观想象素养生成过程中的思维载体必然是空间表象. 举个例子，在简单几何体的学习中，教师常常会提出一些命题，让学生去构思. 如三维空间中不相交的两条直线一定平行吗？对于这个问题，学生是有经验基础的——同一平面内永不相交的两条直线互相平行. 而此时教师给出的命题与学生的经验略有区别，学生会通过比较发现这个区别，然后提醒自己：三维空间与平面是不同的，同一平面内永不相交的两条直线平行，可能并不意味着三维空间里永不相交的两条直线也是平行的（这里用到了一定的逻辑推理，更多的则是直觉）. 有了这个思考作为基础，他们就会在大脑当中构思三维空间，想象两条不相交的直线之间的关系，然后得出结果.

这样的一个过程就对应着直观想象素养的形成，显而易见的是，学生此时思维加工的对象就是基于想象形成的表象.

第二，直观想象是空间表象加工后形成的直觉与合理想象

学生大脑当中形成的表象越清晰，对直观想象素养的培养就越有好处. 因为表象越清晰，学生的内心就越认可，那么所形成的认识就越有可能变成直觉;有了直觉之后再进行合理的想象，也就形成了直观想象能力培养的主要过程. 上面的例子中，当学生确认了三维空间里两条永不相交的直线有着无数种可能——事实上就有学生建构出的空间表象是：两条直线起初起处于同一平面且互相平行，然后一条直线不动，另一条直线转动，从而将同一平面内的情形变成三维空间的情形，这样就形成了一个清晰的三维空间的永不相交的两条直线未必平行的表象. 这样的一个具体过程，就是一个典型的直观想象能力培养过程.

基于空间表象培养直观想象

通过上面的分析可以发现，基于空间表象培养直观想象素养是可行的. 有研究表明，引导学生观察空间几何体，制作空间图形的模型，积累空间图形的表象，通过学生的直观感知，增强学生的空间观念，培养学生掌握空间图形的能力;让学生通过看图、画图等，增强学生的空间感，然后通过动手实践、操作等，可以有效地培养学生的直观想象素养. 进一步通过对实践的梳理，笔者以为这一培养过程可以分成三个环节：

一是帮学生建立实物表象. 根据学习的普遍规律，表象形成首先来自于实物，而高中数学内容比较抽象，这个实物表象往往需要借助于教学手段来完成. 比如函数y=Asin（ωx+φ）的图像，教师就可以在激活学生对正弦函数图像认识的基础上，借助于多媒体，给学生呈现一个上述函数图像生成的动态过程，这样学生的思维加工起来就会比较直接，形成的表象也会比较清晰.

二是帮学生建立想象表象. 实物表象是为了学生的想象表象奠基，当学生大脑中的经验足够丰富时，就应当培养他们通过想象建构想象表象的能力. 这一环节中最简单且有效的办法，就是辨识训练. 比如我们可以让学生去构思y=3sin（2x+5）的表象——考虑到不同层次学生的需要，这样一个过程可以循序渐进，比如从y=3sinx到y=3sin2x，再到y=3sin（2x+5），这样效果更好.

三是在反思中完善直观想象. 如果说建立表象的过程，既是教师有意识设计的学习过程，也是学生的一种直觉的话，那只管想象素养培养的过程，就肯定是一个需要教师给学生提供情境，并在学习反思的过程中不断完善的过程. 在上面函数图像学习之后，让学生结合大脑中的正弦图像的经验，思考y=Asin（ωx+φ）的得出过程，再思考一系列变式中的图像得出过程，这样可以让实物表象和想象表象连贯起来，而这个表象越完整、越清晰，学生的几何直观就会更准确，空间想象能力也会更强，很显然这样直觀想象素养的培养效果就越好.

关于直观想象培养的再思考

作为学生在数学学习中的成长目标，直观想象描述了学生在遇到空间图形的时候有效进行描述和问题解决的情形;而作为对学生数学学习过程的描述，直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、建构抽象结构的思维基础. 因此我们认为，在高中数学教学中重视直观想象能力的培养，并努力促使学生将能力进一步提升为素养，是数学教师的重要任务，也是数学学科核心素养落地的重要突破口.

需要强调的是，直观想象素养的培养必须面向学生，而面向学生意味着教师在设计教学的时候，要清楚地知道学生已有的直观想象水平，然后基于教学内容进行合理的设计，且要保证设计的学习过程在学生的“最近发展区”之内. 在学生建构空间表象、加工空间表象的过程中，教师要关注学生的思维状态，尤其是关注学生思维可能出现的困难，然后及时点拨，以让学生建构、加工空间表象的过程更为顺利，这样可以保证学生将注意力集中在空间表象形成本身，从而也就保证了直观想象素养的培养过程更加科学合理.

总之，基于空间表象的直观想象素养培养，是经得起理论与实践的检验的，是整个数学学科核心素养落地的重要切入口，值得在教学中认真尝试.