基于数学建模的高中三角函数教学设计研究

胡高嵩

[摘  要] 數学建模是培养高中学生解决数学问题和数学应用意识的重要手段. 文章尝试借助数学建模对高中“三角函数的简单应用”内容进行教学设计，探讨基于数学建模的高中三角函数内容的设计策略. 认为教师应在现实问题的基础上，鼓励学生通过“发现—探究”学习形式，分析问题中隐含的信息，建立数学模型并运用数学相关的语言、符号、图表来解决实际问题，从而培养学生的数学建模能力和数学应用意识，发展和提高学生的数学素养.

[关键词] 三角函数;数学建模;应用意识

数学具有广泛的应用性，发展学生的数学应用意识已经成为当前高中数学基本教学理念之一，而以简化实际问题、最终归结为数学问题并求解的数学建模能够有效培养学生的数学应用和创新意识[1]，尤其是在发展学生核心素养的大背景下，探究高中数学建模教学具有重要的意义.

基于数学建模的高中数学教学各环节设计

为了体现学生的问题意识、主动构建以及自我监控，高中数学建模主要从以下五个方面进行设计.

1. 教学目标

教学目标的设置主要是规范教师的教学行为，教师应组织学生在分析现实问题的基础上，抽象出数学问题，掌握函数模型的本质，并让学生经历数学建模过程，培养主动交流、探究思维的良好学习习惯[2]. 从三维教学目标方面分析，知识与技能方面：能够将生活实际问题转化为数学问题，运用数学建模方式进行求解，并熟练掌握基本的函数模型和一般解题步骤;过程与方法方面：体会现实世界与数学知识之间的紧密联系，感知应用数学建模解决问题的一般方法，在探究问题的过程中，及时进行调整和评价，有效培养学生的创新能力、应用意识以及反思的学习习惯;情感态度与价值观方面：让学生感知数学的实用性，激发学生主动学习的欲望和兴趣，培养学生的自学能力.

2. 教学重难点

作为教学的核心内容，教师应分配好该环节的时间，适当地进行讲解和引导，在设计教学重点时要体现出数学建模的过程以及现实问题背景后的一些思想方法，即怎么建立函数模型求解实际问题，如何求解函数模型，函数模型的本质是什么等等. 在设计教学难点时要通过问题情境展示出知识产生的过程，即如何培养学生的数学建模思想，如何将现实问题抽象出数学问题等等.

3. 教学过程

数学建模更加注重学生的思维过程，首先，在问题引入时要挑选出典型的问题来展开建模活动，要选择具有隐蔽性的内容让学生自己去探讨和发掘.其次，要体现学生的主动性，鼓励学生通过查询、探究、讨论以及交流经历数学建模等方式培养学生的主动构建意识.再次，在学生遇到困惑时，大力采用“探究—讨论”为主的教学方式进行教学，组织学生分析出隐函的条件和所求内容，观察实际问题，对问题或模型进行求解和概括，并接受学生的质疑，鼓励学生发表自己的看法. 最后，要尽可能考虑突发事件，做好模型的多样性和解的可能性.

4. 教学评价

教学评价贯穿于教学的全过程之中，由于数学建模活动具有自主性和灵活性，不容易控制，因此，教师应注重学生的参与过程，关注学生对基本知识的掌握和数学建模技能的培养. 例如，是否能够独立思考并与同伴交流合作;是否自主分析解决困难;是否利用数学语言进行表述;是否自己提出问题等等. 同时，由于学生个体的差异，不能运用同一标准来评价所有学生的建模活动，而应从方法、态度、结果等多个角度进行评价.

5. 课后作业

数学建模的课后作业既要有利于反映学生对本节内容学习的情况，有效巩固数学建模内容，又要有利于教师了解学生的学习状态. 在具体课后作业设计中应以教材为主，作业应涵盖数学建模以及函数应用问题等相关内容，注重能力的训练和学生思考能力的培养，对于一些学有余力的学生设置选做题，给予探究方向、探究资料等方面的提示.

高中三角函数数学建模教学设计

三角函数涵盖的公式比较多，也是高中非常重要的内容，因此，笔者以学生不够熟悉、理解有一定难度、实践应用比较薄弱的三角函数简单应用为例，深入探究高中数学建模教学设计.

1. 创设情境

为了吸引学生的注意力，激发学生探究的兴趣，笔者利用PPT向学生展示出日常生活中的海潮场景，引导学生在欣赏美丽图片的基础上思考什么是潮起潮落，潮起潮落对人们生活有那些具体影响等. 在此基础上，呈现出以下实际问题：

表1所示的是某一地区某一天时间与水深之间的关系表，已知某一货船在涨潮时驶进港口，卸货后在落潮时返回.

（1）试根据表1中的数据，找到时刻与水深之间的关系.

（2）若规定船底与水面的距离只有大于1.5米时，货船才能进出港口，已知船底与水面的距离为4米，试问该船在什么时候必须离开？

2. 自主探究

3. 总结提升

为了验证模型是否符合实际，组织学生对结果进行验证，代入实际问题进行解释.组织学生回顾解题过程，总结出构建三角函数模型的具体步骤，即首先将实际问题抽象成数学问题，寻找出问题中的重要条件;其次，根据所给数据描绘出散点图，根据图形所表现出的趋势假设出具体的函数模型;再次，利用假设的函数模型知识进行求解;最后，将获得的解代入实际问题进行检验，对于一些不符合实际问题的解及时剔除.

4. 巩固训练

为了切实加强数学建模思想，教师及时出示以下两个例题，要求学生结合所呈现的图像，以小组的形式自主探究，在此过程中，对于有问题的学生进行个别指导.

（1）如图1所示，已知某一转盘的最低点距离地面2米，旋转一周需要12分钟，转盘直径为16米，试求转盘上的一个端点P离地面距离与旋转时间的关系式.

（2）如图2所示，一根木棒想要通过这个直角走廊，其木棒长L符合函数L（θ）=+.

①当0°<θ<90°时，试描绘出上述函数的图像.

②根据第一小题所描绘的图像，试求木棒长L的最小值，并根据题意进行解释.

5. 课堂小结

为加深学生学习印象，让学生自己总结三角函数的特征和构建三角函数模型的步骤，可通过以下问题来实施：一是如何构建合适的函数模型，具体步骤是什么;二是三角函数模型具有哪些特征;三是你还有哪些问题或困惑.同时，根据教材内容设置必做和选做的课后作业，进一步培养学生的动手操作、思考的能力.

结语

综上所示，以生为本的数学建模是高中数学课程的重要内容，教师应在现实问题的基础上，鼓励学生通过“发现—探究”的学习形式，分析问题中隐含的信息，建立数学模型并运用数学相关的语言、符号、图表来解决实际问题，体会数学与生活之间的联系，只有这样，才能培养学生的数学建模能力和数学应用意识，才能不断提高学生的数学素养[3].

参考文献：

[1]  苗雪峰. 高中数学建模的几点思考[J]. 中学数学教学参考，2017（18）.

[2]  郑大鹏.数学建模在高中数学课堂的教学策略研究[J]. 数学教学通讯，2017（12）.

[3]  胡书军，于国清，姚遥. 数学核心素养之数学建模能力的挖掘与培养[J]. 中学数学教学参考，2018（09）.