关于GPS系统“相对论修正”问题的讨论

黄志洵

(中国传媒大学信息工程学院，北京100024)

1 引言

全球定位系统(Global Positioning System，GPS)又称全球卫星定位系统，是一个中距离圆轨道卫星导航系统。它可以为地球表面绝大部分地区提供准确的定位、测速和高精度的时间标准。系统由美国国防部研制和维护，可满足位于全球任何地方或近地空间的军事用户连续精确的定位和确定时间的需要。该系统包括太空中的24颗GPS卫星，最终达到36颗；地面上1个主控站、3个数据注入站和5个监测站及作为用户端的GPS接收机。1984年美国宣布开放GPS民用服务，1995年宣布GPS全面建设完成。

GPS卫星轨道距地面20200公里，轨道面与地球赤道面夹角为55度。每个轨道面布置4颗卫星，所以总卫星数是6个轨道面乘以4为24颗。其中21颗正式使用，3颗备用。每颗卫星每12小时绕地球一周。这样算下来，在任何时刻、地球的任意地方，基本都能“看到”至少6颗卫星。

GPS的用户遍及全世界；海湾战争中美国使用了GPS制导武器，引起人们震惊。在美国之后，俄罗斯研发了GLONASS系统，中国研发了北斗系统，欧洲研发了GALILEO系统。但应当承认，基础性原理和技术大体上来自GPS，因此先要弄清楚该系统。

中国于1994年启动北斗系统建设，2003年发射3颗地球静止轨道卫星，2012年完成14颗卫星组网，2020年建成北斗3号系统——30颗卫星的系统可为全球服务(定位、测速、授时)。其授时精度在全球优于20ns。

2020年7月31日中国宣布：北斗3号全球卫星导航系统(The Bei Dou Navigation Satellite System，BDS)正式开通。6月23日中国长征3号火箭把最后的第55颗组网卫星送入太空；实际上，在卫星数目、技术进步两方面，可能已超越了GPS(2020年有报道说，GPS的精度是0.5m，BDS的精度是0.41m)。一个重要的事情是，BDS可取代GPS对导弹进行制导，从而大大有利于独立自主的国防安全。

技术领域的高速发展对理论物理学家提出了要求——要把理论搞对、搞精确；要领先一步，能回答工程师们的疑问。这也涉及到相对论。实际上，媒体常对“GPS的相对论修正”作正面宣传，例如上海出版的《报刊文摘》报于2020年7月22日刊登了一篇短文，题为“相对论有什么用”[1]；文章说：“在研发GPS卫星时，根据狭义相对论(SR)，由于运动速度的关系，卫星上的原子钟每天比地面上的原子钟慢7μs。根据广义相对论(GR)，由于在重力场中不同位置的关系，卫星上的原子钟每天比地面上的原子钟快45μs。二者综合，GPS卫星上的原子钟每天比地面上的快38μs。如不校准时间，定位位置将漂移，每天约10km。因此，没有相对论就没有全球卫星定位系统”。

但是，“没有相对论就没有GPS”的说法，正如同“没有相对论就没有原子弹”的论调一样，并不是可信的观点。本文对此作些讨论，欢迎专家学者们指教。

2 GPS工作原理及误差源

先看GPS的原理：设地球上有一用户要求判定自己的方位，而他在不同时刻收到3个卫星的坐标和时间信息，3个卫星编号为1、2、3。那么在tp1时刻1号卫星的坐标和时间是(x1，y1，z1，t1)……依此类推。因此可有多个方程成立

(1)

可见一般讲有3个卫星已足够；但用户端的钟精确程度可能远不及卫星钟，故要有第4个卫星，形成4个方程，求解4个未知数(x，y，z，δ)，其中δ代表定位误差，故有

(2)

这叫差分定位原理；尽管卫星时钟可能变慢或变快(假定“修正说”成立)，只要卫星位置准确、卫星钟时间同步变化，GPS定位精确性不成问题，用不着考虑所谓“相对论效应”。

GPS接收机的定位实际是通过计算接收机与不同卫星的距离来完成的；卫星信号向接收机以光速c传播，中间需时约60ms。卫星上有4个原子钟，精确同步到10-9s水平。但接收机上的普通石英钟精度可能只有10-5s，这就造成了用第4个卫星提供时间标准的必要性；可以测定从3个卫星到达接收机的时间，再换算成距离。……对于上述原理，笔者曾与专家学者们讨论；例如马青平教授对差分定位法作了分析；又如郭衍莹研究员谈了下述看法[2]：

“从几何学讲，用户定位只需3颗卫星(3坐标)。但GPS(及北斗)用的是伪距法，多用一颗卫星。这样用户测出的从用户至1号卫星距离为：

(3)

上式中，根号内为真距。cΔt0为误差项，包括用户钟误差(因此对用户钟要求不高，10-7足够)以及相对论修正项(包括狭义和广义)。由于系统可保证4颗卫星的原子钟同步(原子钟有足够精度，再加上每天地面对其修正2次)，所以(3)式的真距项对4颗卫星都是适用的。那么误差项又如何呢？狭义相对论只与卫星速度有关，4颗星基本上都是4km/s左右；广义相对论只与卫星高度和引力分布有关；4颗星基本上都是一样的。也可以说cΔt0项对4颗星是一样的。所以上式4个联立方程式就可以消掉误差项，从而解出x，y，z。由此可见，GPS定位的关键在于4颗卫星保持同步，而对其它的要求相对较低。”郭衍莹认为，GPS无需修正相对论效应项。但这既不能证明相对论有错或根本不存在相对论效应，也不能证明相对论一定正确。郭先生早年参加过《北斗》的研发团队，而当时就有人提出过类似问题。记得当时北斗总师童凯院士(已去世10来年)说过：‘对北斗或GPS定位而言，无需对相对论效应做任何修正’。”

总之，GPS接收机依赖于直接收到的卫星信号，依赖于接收机“看到”的天空的范围。这个范围越大，收到的来自不同卫星的卫星信号就越多，就越能准确地定位。GPS接收机接收的是从卫星来的1575.42 MHz微波信号，所有的自然天气现象不会遮闭GPS信号，无线电干扰对GPS接收机也不构成威胁，真正有威胁的是物体的遮挡。这个f=1575.42 MHz的信号是载波，在它上面以调相方式加载了两种不同的伪随机噪声码：C/A码和P码。C/A码是用于民用的测距码，码长为1023个码元，即1023次从数字零到数字1的跳动，这1023个码元每秒重复1000次，即1.023MHz。P码是军用码，码长非常长，码速为10.23MHz。由于GPS接收机通过对比码元的跳动来计算从卫星到接收机的时间，然后再转换成距离。P码的时间精度高了10倍，距离精度就高了10倍。也就是说：若C/A码精度为3m，P码精度是0.3m。记住F=10.23MHz，这个值在讨论“相对论修正”时会用到。

接收机知道了自己与卫星的距离，并不能计算出自己的位置，因为它不知道卫星在发射电波时的位置。因此在卫星载波上加了一个50Hz的导航电文，包括卫星的轨道参数、时钟参数、轨道修正参数、大气对GPS信号折射的修正值等。GPS接收机通过这些参数算出某一时刻某颗卫星在空间中的位置，确定自己与卫星的距离，然后再计算自己的实际位置。导航电文总长1500bit，在50Hz发送的情况下，每一个循环周期是30s。

造成GPS定位误差的因素有：①电离层引入的误差；②大气层引入的误差；③噪声；④卫星轨道误差；⑤卫星时钟误差；⑥多路反射；等等。实际上，在技术与商业环境中无人谈论“相对论的误差修正”。

3 质疑“GPS的相对论修正”(之一)

我们先讨论所谓“GPS的狭义相对论(SR)修正”；先把该修正的一般陈述写出，再从理论上提出质疑。卫星相对于地面接收机有相对速度v，由于SR的时间膨胀(也叫时间延缓time dilation)效应，那么卫星钟时间与接收机时间有时差，SR给出的算式可写为[3]

(4)

式中dτ是以速度v运动的卫星钟的固有时间隔，dt是静止在地面的钟的坐标时间隔；上式也可写作

(4a)

下标s代表卫星；把上式改写为频率差公式：

(5)

式中Fs、F分别为卫星钟、地面钟频率；现在vㄍc，故可取近似：

(6)

故频率差为

(7)

已知卫星在距地面20200km高度处飞行，v=14000km/h，故可算出v=3.9km/s≌4km/s；另外，光速c是已知值(3×105km/s)；故如取定F(例如F=10.23MHz)就可算出Fs。最后得到卫星钟比地面钟慢7.26μs/天。

以下的质疑就从所谓“时间膨胀(延缓)”问题开始。众所周知，1904年H.Lorentz提出了与Galilei不同的时空变换式[4]；设有两个惯性系K和K′，二者之间的Galilei变换(GT)为

x′=x，y′=y，z′=z-vt，t′=t

(8)

式中z是动体在K系中作1维运动的方向(坐标)，t是K系的时间；z′是动体在K′系中作1维运动的方向(坐标)，t′是K′系的时间；v是两惯性系之间的相对速度。t′=t表示在GT中不同参考系的时间相同。……但Lorentz变换(LT)与此不同：

(9)

在这里t′≠t，表示不同参考系中的时间不同。但如动体速度远小于光速，即vㄍc，这时LT和GT一样(t′=t)。

现在用微分形式写出LT：

(10)

如取一个钟，使其在K′系中静止，即dx′=0，dy′=0，dz′=0；但在K′系中的时间间隔仍写作dt′。取另一个钟，它在K系中可处于不同位置，而且用光信号互相校准；而在K系中时间间隔为dt；把dz′=0代入公式(10)的最后一式，即得：

(4b)

此即(4)式、(4a)式来源。可见：两系若无相对运动(v=0)，则dt=dt′；若v≠0，则dt>dt′，即K系的时差变大，可通俗地说成K系的钟走慢了。由于先前假设的是K系运动，而K′系静止，故也说成是“运动的钟走慢了”。这又被说成“时间延缓”或“时间膨胀”。这究竟是理论上的假想还是物理实在？百多年来一直在争论。

关键在于，Lorentz以太论中的时间延缓不同于SR时间延缓；SR以不同观察者参考系的相对运动取代观察者与以太的关系，来描写时间延缓。因而，产生了Langevin双生子佯谬，Einstein自己也解释不清楚。虽然在多年以后，Einstein又作过“可能(或可以)存在以太”的表态，但这不在我们的考虑之内——SR的世界观(时空观)已成型，我们只能据此而讨论，不能考虑他后来的随便更改和表态。

在Lorentz理论中，时间延缓由动体的绝对运动引起。相对于静止的时钟，绝对速度大的时钟变慢；这是Lorentz以太论中的时间延缓。但在SR中用动体相对速度取代绝对速度，情况完全不同。Einstein是以不同观察者参考系的相对运动取代观察者与以太的关系，来解释长度缩短和时间延缓，因而产生了许多悖论质疑SR的自洽性，最著名的是P.Langevin于1911年提出的双生予佯谬[5]。

物理学定律之一的相对性原理从任意惯性系看来的一致性最先由H.Poincarè推介，而Lorentz变换(LT)体现该原理，但Lorentz于1904年发表的相对性思想是在以太存在性之下得出的。1905年Einstein发表了著名论文，其中有一个公设——光速不变性原理，由此认为不需要以太，亦即用不着一个优先的参考系。后来的讨论总包含下述问题：Einstein的狭义相对论(SR)和改进的Lorentz理论(MOL)，哪个更好地描述自然界？这两者的主要区别在于，SR认为所有惯性系都是平权、等效的，而MOL认为存在优先的参考系。多年来的众多研究讨论显示，SR存在逻辑上的不自洽，亦缺少真正确定的实验证实，由此可以理解欧洲核子研究中心(CERN)的著名科学家John Bell在1985年所说的话：“我想回到Einstein之前，即Poincarè和Lorenrz”[6]。

总之，7μs/day来自Lorentz理论，而非SR，但许多人分不清Lorentz理论与SR的区别。教科书在讲相对论时是从LT讲起，造成许多人一看见Lorentz这个名字，就想起Einstein和SR，以为这些都是一回事。……但在致笔者的邮件中，学者们分得很清楚；例如马青平教授说：“所谓GPS系统的SR修正其实是Lorentz理论中的单向效应修正，而非Einstein的SR理论中的双向效应修正”。梅晓春研究员说：“运动钟时间变慢是Lorentz公式的结果；Einstein胡乱解释，把该公式说成是相对的，这是错误的。”

4 质疑“GPS的相对论修正”(之二)

仔细推敲，相对论可能是在帮倒忙，这是因为Einstein主张同时的相对性。我们先看1905年Einstein对“同时性”的概念怎么说。Einstein写道[7]：“我们应当考虑到：凡是时间在里面起作用的我们的一切判断，总是关于同时的事件的判断。比如我说，‘那列火车7点钟到达这里’，这大概是说：我的表的短针指到7同火车的到达是同时的事件。可能有人认为，用‘我的表的短针的位置’来代替‘时间’，也许就有可能克服由于定义‘时间’而带来的一切困难。事实上，如果问题只是在于为这只表所在的地点来定义一种时间，那末这样一种定义就已经足够了；但是，如果问题是要把发生在不同地点的一系列事件在时间上联系起来，或者说——其结果依然一样——要定出那些在远离这只表的地点所发生的事件的时间，那末这样的定义就不够了。”

Einstein在其1905年论文的开头即突出地讨论“同时性的定义”，但他确实是“未加论证”(即没有实践证实作为基础)就把“单程光速不变”从假设上升为“原理”，并导致了同时性的相对性，亦即时间是相对的。但是我们知道有那么多的人认为时间是绝对的；2009年笔者在一篇文章中曾说：“不能把同时性的绝对性仅仅看成是经典物理的(因而似乎是落后的)观点，20世纪后期到21世纪初形成的时空理论也可能持有这种观点，得出与SR相反的结论。”笔者现在仍保持这个看法。

SR时空观与Galilei、Maxwell以及Lorentz时空观的根本区别在于SR时空观的相对性。我们知道，现有的推导LT的方法有多种；而为了向学生解释SR而写入大学教材的推导常常有个前提——不同参考系测得的光速相同。或者说，LT是由相对性原理和光速不变原理导出的。由于LT，出现了尺缩、时延问题；因而同一事件在不同参考系中观测到不同的结果——根本没有判断测量结果的标准，而是作相对运动的两个观察者都可以说对方的钟慢了、尺短了，双方所说都可以成立。这种相对主义的教导曾经弄胡涂了许多人。1904年的Lorentz信奉以太论和绝对参考系，在此信念下导出的LT被SR继承和应用，而SR却不承认绝对参考系。

因此，这个GPS修正问题反而启发人们看出相对论的弱点和不自洽。马青平指出[8]：“GPS成功的基础是经典物理学的同时性的绝对性，即只要所有时钟(32个卫星时钟)都与一个基准时钟对齐，所有时钟两两之间也是对齐的。没有经典物理学的同时性的绝对性，就没有GPS。从原理上讲，如果相对论的同时性的相对性是正确的，不同速度的32个时钟就不可能全部同步，也就不会有GPS。”

王令隽教授表达了相同的意思[9]，但说得更为透彻：“GPS不是为地心惯性系建造的，它还要为成千上万的飞机、火箭导航，必须为所有的用户对齐、同步，而成千上万的飞机、火箭，速度、方向各不相同。差分定位原理要求为GPS卫星为每一个用户对齐、同步，而不只是为地心惯性系或主控站对齐。而狭义相对论同时性的相对性认为当时钟在一个参照系中对准，在与第一个参照系有相对速度的另一个参照系中就是未对准的。也就是说，对主控站来说32个GPS卫星时钟对准了，相对于主控站高速飞行的飞船、火箭，32个GPS卫星时钟是未对准。狭义相对论的同时性的相对性否定了32个GPS卫星为所有的用户对齐、同步的可能性。GPS依赖的是同时性的绝对性，因此，对主控站来说32个GPS卫星时钟相互对准了，相对于主控站高速飞行的飞船、火箭，32个GPS卫星时钟也是相互对准的。”

5 对引力势概念的品评

引力作用与电磁相互作用是两种非常不同、各自独立的物理作用。但是，由于电磁学(包括理论和实验)在18世纪、19世纪有巨大进展，而对引力的研究自Newton以后却鲜有进步，因而很自然地出现了一种情况——企图靠对电磁理论方法的大量模仿来突破引力研究的停滞。如果我们细察Einstein做研究的心路历程，就会发现他正是这种做法的一个典型。……因此，笔者暂时停止对“GPS的相对论误差修正”的质疑，向读者说明自己的一个观点：所谓引力势(gravitational potential)的概念在理论上缺乏意义甚至可疑，因而由此出发的计算是难以接受的。

(11)

(12)

这就表示可以用势来描写电磁场。

假定我们用类似方法研究引力场，则可依照电磁理论而提出引力场和引力势的关系方程：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(19a)

(20a)

公式(15)、(16)、(17)、(18)虽可称为引力场的类电磁(electromagnetic like)方程，其价值和意义却很可疑。如所周知，Maxwell方程组是有实验基础的；正是由于Faraday电磁感应定律，才能写出

(21)

对比之下，公式(18)就显得不伦不类了；因为它没有实验定律作基础，只是是从形式上对电磁理论的照抄照搬。

总之，引力势的情况与电磁势不同。1959年Y.Aharonov和D.Bohm发表论文“电磁势在量子理论中的意义”，认为在没有电磁场的区域电磁势对电荷仍有效应。建议的实验方法是，使电子束分成两束绕着磁场线圈两旁通过，然后重新汇合起来并观察其干涉效应，目的是观察改变线圈电流时电子干涉图形是否移动，从而判定电子的相移，他们预计有量子干涉现象发生。1960年R.Chambers以实验证实了上述预言。这不奇怪，因为MaxweIl方程组是建立在有对应实验定律基础上的理论。但是，“引力场的类电磁方程组”却没有可依靠的实验定律，引力势对光传播影响的分析(1911年的Einstein文章、2014年的Franson文章)也就会失效。

正如马青平指出的[10]，Einstein常常把一个目标(想法)先放在那里，然后用理论操作拼凑出他想要的结果。现成的例子是，1911年Einstein[11]发表论文“引力对光传播的影响”，文中提出“光在经过太阳附近时会因太阳引力场而发生偏折”；注意这距他提出GR还差4年! 1913年，Einstein与数学家M.Grosmann合作，提出了引力的度规场理论(theory of metric field)。在这里不用标量描写引力场，而用度规张量，即用10个引力势函数确定引力场。他认为引力不同于电磁力，但相信惯性质量与引力质量的同一性。这些构成他于1915年公布的GR的思想基础。而GR中的引力场方程(EGFE)在高度近似下拐弯抹角可以给出一个偏转角方程。也就是说，在还没有GR时已先有了光线偏折的预定想法，几年后又说是GR给出了光线偏折的计算结果！……今天来看，实际上有没有偏折，其实并不清楚。

查阅Einstein的1911年论文，我们发现在分析过程中Einstein还提出了光速受引力势的影响时会减小的计算公式。他把gh作为引力势的大小(g是重力加速度，h是距离)。分析路线为：能量→频率→时间→光速，分析的物理框架是太阳光射向地球。设到达光的频率为f，则有

(22)

式中Φ是太阳与地球间的引力势差(的负值)，f0是阳光(出发时的)频率。Einstein认为这将导致光谱上的红移。……从时间推速度，设c0为原点上的光速，c是引力势为Φ的某点的光速，则得

(23)

这时Einstein说，光速不变性原理在此理论中不成立。

引力红移后来被列为GR的实验检验之一。在其他理论著作中的表达，和上述情况相同。取

Δf=f0-f

(24)

由(22)式就有

亦即

(25)

故引力红移的说法，在GR提出的4年前就有了。……我们已经说过，引力势的概念可疑。但有一些著作强调，Einstein的引力红移其频率变化“已被实验证明”。有的书甚至说，早在1907年Einstein即根据等效原理预言了这种现象。这真是“天才”啊，距离GR问世还要再等8年呢！而且，1905年在SR中现身的光速不变原理，在1907年-1911年期间又被他自己否定了；这是怎么回事？

王令隽[12]曾指出，虽然GR认为由于太阳表面的引力势小于地球表面，会造成太阳表面氢原子光谱的波长大于地球表面测得的氢原子光谱(δλ/λ=2.12×10-6)，但1960年由Pound和Rebka所做实验，实测结果是理论预言的4倍！实验者作“数据处理”后与理论才符合得“很好”。王令隽说，这是为了迎合权威理论而编造的故事，不是真正独立的实验检验。……笔者的看法是：围绕GR的正确性问题，西方科学界的造假已是一再发生，这也反映出人们对GR其实缺乏信心。

在Einstein前后矛盾的陈述中，有一点是肯定的——引力势不仅影响光的进行方向，还影响光速数值的大小。这样一来参数“真空中光速c”将失去其不变性、恒定性和常数性。因此，GR和SR的理念存在矛盾。其实，GR说光不走直线，即已暗示光速c不可能完全恒定。总之，笔者的看法是，Einstein不合理地夸大了引力势的作用；其实这个概念在理论上和实际上并非那么重要，因为它缺乏实验基础。这与电磁学中的情况不同。我们知道Maxwell方程组是基于若干实验定律而建立的，故电磁势有很大意义。然而类电磁引力场方程组不满足这个条件，因而引力势的影响力并非由事实所支持。在考虑“GPS的相对论修正”问题时，必须从理论基础上看到SR、GR都存在逻辑困难(混乱)这一基本点。

6 质疑“GPS的相对论修正”(之三)

本文的上述内容清楚地说明了我们对相对论缺乏信心的原因，其理论的逻辑不自洽既明显又严重。行文至此，笔者其实不需要再对“GPS的相对论修正”作讨论了。更何况，原《北斗》总师及参与研究者对此都不感兴趣，认为无需对所谓“相对论效应”作任何修正。还要指出，对实际的GPS产品而言，厂家和用户都不提及这个话题(许多人甚至不知道)。……但在前面我们虽然评论了GR，但却未谈及“GR修正”；故笔者写作这一小节是为了论述的完整性。

必须指出，Newton本人从未有过关于引力势的观念和思考。1955年去世的Einstein，也不可能有“对GPS作相对论修正”的想法，因为在Einstein死后几十年才有GPS出现。实际上，这些东西都是后人的，特别是相对论者需要它们来完善自己的认知，向公众提供更大的信心。下面我们将提供几种关于GR修正的陈述。

①利用等效原理进行推导

马青平[13]在其英文著作中有一段推导，现译引如下；按等效原理，加速场与引力场相等，故有

(26)

式中a是加速度，G是引力常数，M是引力源质量，r是自质心起算的距离；把上式两端对r积分，以探求速度与引力势的关系：

(27)

故可计算得出

因此得到

(28)

那么引力势对电磁钟的影响可归结为

(29)

这是GR的时间延缓公式，其中t′为引力场中离质心距离为r的时钟的时间，t为离质心无限远处的时钟的时间，G为万有引力常数，M为产生引力场的质量。卫星时钟因引力势场产生时钟变慢，主控制站标准时钟也因引力势场产生时钟变慢，两者之差约为卫星时钟快45微秒/天。

但这些说法并不代表马先生认同了所谓的GR修正；他指出，对于这种引力势场的时钟效应，由于经典物理学和Lorentz理论都不会拒绝已证实的物理现象，并且可以把这一现象融入自己的体系，所以基于局部引力势场的时钟效应对不同理论是中性的，因此引力势场的时钟效应没有作为鉴别诊断的价值。……笔者对上述推导的意见是，速度v的物理意义欠明确；而且正如前文所指出的，引力势概念的意义可疑，对此马先生还可再考虑。

②把地球引力场用Schwarzschild场表示时的推导

费保俊[14]在其著作中说，地球的引力产生的引力频移不可忽略，其量级为GM/c2R(约10-9)，这里M、R为地球质量和半径。把坐标原点放在地球中心，时空线元为

(xdy-ydx)cdt

(30)

式中rG=2GM/c2；计算表明上式右端第3项可忽略，故有

(31)

这表示用Schwarzschild场表达地球引力场可达到分析GPS问题时的精度要求。GR理论认为，静止标准钟固有时dτ和固有距离dL可引入分析，并得

ds2=-c2dτ2+dL2

(32)

设坐标速度为v，固有速度为u，则有

经推导最终求出

(33)

式中dT是标准钟固有时，故认定上式右方第2项为引力频移：

(34)

并说这是地球质量造成的Newton引力势(Φ=-GM/r)引起的。总之，经过进一步的繁复讨论，文献[14]给出GR的引力效应对GPS的修正公式：

(35)

故

(36)

但[14]说这与作者的卫星钟和接收钟的钟差公式并不相同。……总之，笔者尚无法评论费保俊先生繁复的推导分析；当然，他的研究既是肯定GR又是肯定“GR修正”的工作。

③在GR弱引力场中由高、低两处引力势之差进行推导

张建勋在其博文“铯钟航行和GPS星钟降频实验对广义时间膨胀公式的检验”中给出如下推导[15]：设卫星距地面高度为h，地球为圆形(半径R)，τ0为地面钟时间，τ为卫星钟时间；则星地引力势之差为

(37)

也可以这样陈述——照GR引力红移公式，卫星钟比地面略快；先算引力势差值：

(38)

故有

(39)

但是，在2020年8月3日致笔者的邮件中，张先生谈了如下看法[16]：

“仔细地思考可以发现：就像铯钟环球航行实验一样，GPS卫星钟降频实验，不仅不能证明相对论的正确性，恰恰相反它正好证明相对论的绝对相对观是错误的。相对地面钟来说，飞机沿赤道向东飞和向西飞的速率大致相同，按照 ‘动钟变慢’的狭义相对论效应，两个飞机上的铯钟相对地面钟应该都是变慢的，且变慢的值应该大致相等；就算考虑地球引力场的影响，两个飞机离地面的高度也大致相同，引力对时钟快慢产生的广义相对论效应也应该大致相等。但实验给出的数据却是：东飞铯钟比地面钟慢59ns，西飞铯钟比地面钟快273ns.这是实验给出的事实，不容置疑。在确凿的客观数据面前，相对论的理论预言脆弱得不堪一击。

然而，实验的设计者和执行者Hafele为什么仍然声称[17]，该实验验证了相对论的时间膨胀效应呢？原来，他在理论计算中进行了一项偷梁换柱的操作：他把参照物(即观测系)由地面钟，换成了一个非转动的参考系K，且K中存在一个与地球一样的引力场。显然他说的K只代表一种虚化的泛指，相对于由地球、地面钟和飞机钟组成的这个具体的物理体系而言，K就是相对于地心无穷远处静止的点。‘相对地心静止’用来判断地面钟和飞机钟的速率u，‘相对地心无穷远’用来判断地面钟和飞机钟的引力势Φ。只有知道了地面钟和飞机钟相对于K的u和Φ，才能算出它们相对于K时钟变慢的准确值，最后才能利用K所读出的时间值，来比较它们之间谁快谁慢。只有将观测系由地面钟换成K，理论计算的结论才能与实验结果相符。

Einstein最初研究惯性系间的时空变换关系时，总要先取一个静系做参照，研究非惯性系如转盘中的时空变换时，总要先取一个伽利略系做参照；为的就是确保用来研究的两个参考系中必需有一个是静伽系，或者说是为了保证对两个参考系中的时空做测量时有一个统一的基准。我们把他的这种参与研究的两个参考系中必需有一个是静伽系的初衷，叫做参考系的对偶条件，把符合对偶条件的两个参考系叫做对偶参考系。但后来悄悄发生了异化。在废除以太作为全域的绝对参考系的同时，将局部物理体系中相对的绝对参考系也一并废除了，从而导致参照系选择的绝对相对化：既然不存在相对的绝对静止，那就只剩下绝对的相对静止。于是，只在对偶参考系间适用的时空变换式，就泛化为适用于任意两个自耦系；将对偶参考系之间基准系和自耦系角色可以互换的规律，滥用于两个自耦系之间。在随后将引力场黎曼几何化的过程中，这种异化达到鼎盛：此时已经彻底忘记了两个参考系中必须有一个是静伽系的物理前提，在任意两个弯曲坐标系(与平直坐标系相比都相当于自耦系)之间进行着纯粹的数学变换，并将由此得出的数学度规，当作因引力势不同而表现为时钟快慢和量杆长短不同的物理度规。

GPS卫星钟与地面接收器时钟的关系，与飞机钟与地面钟的关系也没有什么不同。它们都是自耦系，不符合参考系的对偶条件。只有选择地球、卫星钟和地面接收器这个物理体系中绝对的静伽系，也就是相对于地心静止的无穷远处的点为参照系，才能衡量卫星钟和地面接收器钟快慢的准确值，从而最终比较出二者的快慢，作为调整卫星钟频率的依据。这些做法的思路与Hafele的思路如出一辙，都是对相对论中参考系选择无条件地绝对相对化的否定。故GPS卫星钟的频率调整，不需要依赖相对论理论的支持，将其称为相对论修正，其实是对相对论的一种讽刺。没有相对论，我们可以更精准地计算出GPS卫星钟频率调整的值，”

张先生做了许多深刻的研究，但也承认“卫星钟比地面钟快”，并根据两处引力势的差算出45.61μs这个值；其对相对论的态度似模糊不清，令人遗憾。

7 讨论

A.Einstein于1905年提出狭义相对论(SR)，1915年提出广义相对论(GR)。虽然据说在1921年他获Nobel物理奖时，Nobel委员会秘书在电话中特地说明这是由于他发现光电效应定律，与相对论无关；但百余年来该理论仍被认为是自然科学(物理学)的伟大成就，也成为神化Einstein的基础。笔者不是研究相对论的专家；年青时仰望Einstein如泰山北斗，中老年以后(经过学习和思考)看法大变，在自己写的著作中对相对论时有批评。由于本文直接与相对论有关，这里再作简单讨论。

迄今为止对相对论的评论当然是赞扬远多于批评，而后者又常被认为是“不懂相对论”所造成的。笔者认识的一位物理学家曾说：“相对论要求一直是我审视所有的物理学文章的基本标准”。对此，另一位笔者的朋友(电磁理论专家)评论说：“只有大自然才是我们审视一切理论的基本标准；用崇拜和信仰是得不到真理的”。实际上，在国外对相对论的讨论日益开放，并不认为相对论神圣不可侵犯、不能批评。例如1971年Rosser[18]在他的书中多次说：“我们并没有声称狭义相对论是绝对正确的；在将来任何时候，它很可能又被某一个与实验结果符合得更好的新理论所代替”。

笔者对长久以来神化Einstein的做法很不赞成；十几年前英国皇家学会(Royal Society)曾对科学家们搞民意测验，提出的问题是：“你认为Newton和Einstein谁更伟大？”结果赞成Newton的人更多(超过60%)，这件事对我很有启发。马青平教授(Prof.Qing-Ping Ma)于2013年推出英文著作《The Theory of Relativity：Principles，logic and Experimental Foundation》一书(美国Nova出版公司，精装，共490页)[13]；对相对论作了深刻剖析和尖锐批评。这说明在西方科学界也不是只许颂扬，否则该书不可能在纽约出版。

限于篇幅，本文未涉及GR的时空观(如Minkowski四维时空、时空一体化、时空弯曲等)，笔者不认同这些观念。更大的问题是，Einstein引力场方程(EGFE)是GR理论的基本方程，但它的推导有假设和拼凑的作法[19]。引力场的物理效果被认定由Riemann空间的度规张量体现，需要知道度规场分布的规律。但由于没有可作依据的实际观测知识，推导引力场方程就用猜测性的推理。下面是众所周知的EGFE：

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另外，相对论力学的许多方面是对经典电动力学的模仿，而且这一作法超过了合理的限度。问题在于Maxwell方程组的每个式子都有实验现象和定律作基础，而引力场类电磁方程组却没有。仅靠摆弄矢量代数并不能证明二者的统一性。研究引力场可以向电磁场理论学习，但不能做过头。否则就会失去相对论力学的创新性质，也在可信度方面大打折扣。

8 结束语

本文细致地评论了关于GPS系统“相对论修正”问题的实质，认为“没有相对论就没有全球卫星定位系统”的说法是错误的。它如同“没有相对论就不会有原子弹”的论调一样荒唐，如果不是更荒唐的话。本文指出，相对论的一些基本要素(例如不存在绝对坐标系、同时的相对性、引力势概念、引力场方程、引力红移等)，要么错误，要么缺乏实验基础，或是不合理地被夸大。这不仅反映了该理论自身的逻辑困难和不自洽，而且给人们带来了很大的思想混乱。尽管如此，人们(包括包括一些多年前曾参加《北斗》的研究的人员)，仍然得出了“GPS无需作相对论修正”的明确结论。……为了对比，在本文中，我们也引用了相对论专家的有关论述和分析，读者可自行思考和鉴别。

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致谢：笔者感谢三位院士(程津培、吴培亨、李天初)的鼓励和建议；感谢多位专家学者(郭衍莹、马青平、王令隽、梅晓春、张建勋、季灏、马晓庆)的宝贵意见和有益讨论。