碰撞引发改进

俞洁

[摘  要] 对于同一教学内容，由于教师教学理念、生活经历和知识背景的不同以及学生能力水平的差异，不同的教师往往有着不同的课堂教学风格和教学模式，这就是所谓同课异构的基本概念. 利用这一现象，通过横向对比对于同一教学内容不同教师的教学模式，我们能够总结出宝贵的教学经验. 笔者曾经参加过一场基于同课异构思想的教学交流活动，教学风格的集中对比让笔者收获颇丰，文章中笔者将简单地再现当时的教学情境并分享自身的感悟体会.

[关键词] 同课异构;高中数学教学;解析几何;点与直线的距离公式

前言

随着社会经济的飞速发展，时代对于中学数学教育水平的要求也在不断提升，高中数学教师应顺应这一趋势不断地改进教学模式以适应时代新要求.然而正如独立思考容易思路狭隘一样，教师如果不适当地互相合作交流，也难以跳出自己原本的教学思路，也就难以对自己习惯的教学模式进行改进.

对于同一教学内容，由于教師教学理念、生活经历和知识背景的不同以及学生能力水平的差异，不同的教师往往有着不同的课堂教学风格和教学模式，这就是所谓同课异构的基本概念. 利用这一现象，通过横向对比对于同一教学内容不同教师的教学模式，我们能够总结出宝贵的教学经验，教师在这一过程中得以审视自己的教学模式，从而更加深刻地理解教学内容，并能够通过借鉴和反思来完善自己的教学理念.

笔者曾经参加过一场基于同课异构思想的教学交流活动，该活动以点到直线的距离的引入这一教学内容为切入点，邀请了三位教学方法不同的教师开展教学，教学风格的集中对比让笔者收获颇丰，文章中笔者将简单地再现当时的教学情境并分享自身的感悟体会.

同课异构课堂的教学内容分析

点到直线的距离的求解是解析几何中的一个重要的基础知识点，它建立在学生对直线的解析式和两点之间距离的求解有深入理解的基础上，同时也是在求解平行线之间距离的基础上，学生在学习圆与直线的位置关系以及圆锥曲线的相关内容时也会用到这一知识点. 教材上关于点到直线的距离这一知识点的内容突出了数形结合以及转化与划归的思想方法，教师在进行有关内容的教学时应重视引导学生自主推导出有关公式，并让学生在感悟推导过程的同时总结其中蕴含的数学思想和数学方法.

三位教师的不同引入方式

教师A：回顾学生已经掌握的知识，通过类比引入新知识.

第一位教师的课堂教学大体上说来有三个步骤，即基本概念回顾复习、设计情境导入问题以及类比推广导出公式. 教师A先带领学生复习了平面直角坐标系中点的坐标表示、两点间距离的计算方法以及直线方程的几种表现方式，让学生先对与新知识相关的基础知识进行回顾，为课堂新知做好思想和知识准备.

接着教师A创设了一个情境，让学生尝试用自己的方法解决这个情境所包含的问题.

情境问题1：已知平面直角坐标系上有一定点Q（-1，2）和一直线l：3x=2，尝试用自己的方法求两者之间的距离.

情境问题2：已知平面直角坐标系中有一直线解析式为l：2x+y-4=0，试求该坐标系的坐标原点与直线l之间的距离.

听课的学生提出了两种基本思路，一种是利用定义将点到直线的距离转化为两点之间的距离，另外一种则是巧妙地利用三角形的面积公式进行转化.

教师B：立足平面几何知识，方法模仿引入知识点.

教师B直接给出了平面几何的相关知识，让学生通过对比和方法模仿思考问题的转化. 教师B在课堂的一开始抛出了问题：如图2所示有一个直角三角形，若PG=3，PF=4，且PQ⊥FG，试分别从几何和代数的角度求PQ的值.

从几何的角度来看这就是一个简单的利用三角形面积求斜边上的高的问题，从代数的角度来考虑就需要用到数形结合的思想方法了. 有一位学生的回答是，以三角形的直角顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据直角边的长度关系取点的坐标，具体建系情况如图3所示，接着通过作垂直于直线FG的线，将求点与直线的距离问题转化为求两点之间的距离问题.

教师C：创设实际问题情境，激发思考引入知识点.

教师C青睐创设问题情境来激发学生思考而引入知识点，教师在课堂上设置了这样一个情境：某天小明在一条笔直的公路上驾驶，他的目的地在道路旁边某个位置，他需要先开车再步行去目的地，如果不考虑地形等因素的限制，他应该在哪里下车才能使得步行的距离最短呢？

学生1：我们可以利用数形结合的思想，以目的地为坐标原点建立直角坐标系，再利用三角形面积公式求相关的距离即可.

学生2（补充道）：对，还可以作垂线直接联立而转化为求两点之间的距离问题.

对比改进三种教学模式

以上三种教学模式虽然在具体引导方法上各不相同，本质上却有着极大的相似性，它们都综合考虑了学生的实际学习情况和教学内容的特点，带着针对性地设计了具有梯度的问题. 这些问题建立在学生的认知水平之上，又具有鲜明的主题，引导学生朝着一个特定的方向探索与思考，让学生始终处于摸索与尝试的心理状态之中，从而使学生在认知冲突下保持积极主动的思维状态. 三位教师都选择以较为简单和特殊的问题为切入点，再从特殊到一般将问题抽象化，这样的引入方法能够让学生体会到问题的产生背景和公式的形成过程，突出了学生的课堂参与度和学习主体性.

不过上述三种教学模式也并非完美，笔者根据自己的教学经验认为它们都存在一个共同的问题，即在一般化的过程中跳跃性过大，对于点到直线的距离这样涉及大量计算的问题，学生可能不难想到证明的方法，但是却常常会因为复杂的计算而感到挫败和迷茫，教师应该敏锐地发觉这一问题，给予适当的提示以简化学生的计算过程.

下面笔者将在教师A的教学模式的基础上进行改进.

（1）基础概念的复习与回顾. 笔者先向学生介绍了解析几何的鼻祖笛卡尔，接着带领学生复习了点的坐标表示等基础概念.

（2）情境问题1：已知平面直角坐标系上有一定点Q（-1，2）和一直线l：3x=2，尝试用自己的方法求两者之间的距离.

情境问题2：已知平面直角坐标系中有一直线解析式为l：2x+y-4=0，试求该坐标系的坐标原点与直线l之间的距离.

学生1提出了在平面直角坐标系中利用垂线求出交点，再将问题转化为求两点距离的方法;学生2提出了利用三角形的面积公式间接求值的方法. 在两位学生阐述完自己的思路之后，笔者没有急于将问题一般化，而是让学生尝试对比两种方法在计算量方面的区别.

学生3：其实第二种方法的基本思想和求两点间的距离的思想一样，就是将求斜边转化为求两条直角边，这样能在一定程度上减少运算量.

教师：很好的总结，在这个问题中我们的数学模型本来就是一个直角三角形，转化起来十分方便，那么对于一般的情况，我们有没有什么办法能够将其转化为直角三角形，或者说找到适合的直角关系呢？

学生4：我们可以用三角函数！只要知道角度的大小就可以找到隐藏的直角关系.

教师：那么假设直角坐标系中有一条直线的一般表达式为Ax+By+C=0（A≠0，B≠0），如果两个交点分别为M，N，能不能尝试用已给出的参数表示∠ONM？

学生们经过一定的讨论得出了sin∠ONM=，之后笔者引导学生通过这一思路逐步计算推导出了点与直线距离的计算公式. 这样的线索提示降低了问题的跳跃性，进而一定程度上简化了问题，能够间接地增强学生探索和思考的信心.