基于压缩感知的电网传输线故障定位方法

于华楠，白晓斐，王 鹤

(东北电力大学电气工程学院，吉林 吉林 132012)

传输网络中的广域故障定位方法通过及时隔离、修复和恢复故障元件，对提高电力系统的可靠性和稳定性起着至关重要的作用[1].可以通过监控来自保护设备的数据和断路器(CB)的状态来确定故障线路和故障位置.在大多数情况下，保护系统能够正确地定位故障线[2-4].然而，文献[5]中的电力系统停电报告显示，级联故障和随后的大规模停电事故主要是由于保护继电器和断路器的误动作造成的.文献[6]指出电网保护设备对系统状态的错误估计正是导致北美大停电的主要原因.例如，北美电力可靠性委员会(NERC)对2003年8月发生的美加大停电的分析表明，正是一条345 kV的高压输电线路因为一棵倒下的树发生短路故障，由于系统保护装置的误动作造成大规模停电[7].因此，及时、准确、可靠地定位输电线路故障一直是相关领域的研究热点.

这些问题促使研究人员开发出快速准确的故障定位算法，以帮助操作员更好地实现电力系统可视化，特别是在紧急故障情况下[8-11].当电力系统安装有智能测量单元和广域监测系统(WAMS)时，就可以实现这一目标[1，10-12].

传输网络中最常见的故障定位方法分为两大类：传统多终端测量方法[10-11]和广域故障定位方法[7-9].在传统方法中，必须至少测量故障线路的一个终端节点中的电压和电流相量.因此如果在故障线路的测量终端节点处发生设备故障或仪表不准，那么这种方法就无法准确定位故障位置[12].除此之外，故障电阻和远程终端系统阻抗也会影响传统测量故障线路一端电压和电流相量的方法性能[13].

目前，已经有很多研究提出进行多终端广域故障定位的算法，但其中大多数都是具有高计算复杂度的迭代过程[8-9].在文献[8]中，所有传输线应该从网络中顺序移除，作为在每次迭代过程中的可疑故障线路.然后通过计算相应的最小二乘误差和故障距离，来找出实际的故障线路和故障距离.该迭代过程对于大规模电力系统和输电线路双故障情况是不切实际的.在文献[9]中，利用一些线路中测量得到的故障电流，建立非线性阻抗方程，然后通过迭代最小二乘法求解该方程来识别故障位置.前提是在系统的某些线路中测量得到的故障电流足够精确.但是其中一些测量到电流的线路太接近故障电流线路，在故障期间其测量值并不可靠.文献[12]提出了一种基于节点阻抗矩阵和一个或两个系统节点测量电压值的故障定位算法.在文献[14]中，作者通过求解从某些节点上测量到的电压暂降相量和节点阻抗矩阵组成的非线性方程，来识别故障区域和故障线路，并且估算故障距离.对这两种方法进行比较可知，在多终端方法中必须配备更多数量的测量节点才能准确定位传输线路故障.

本文提出了一种新的单故障和双故障定位技术，没有任何迭代过程.通过在一些节点中测量得到的故障前和故障期间电压以及从系统阻抗矩阵获得的基矩阵来重构稀疏故障电流矢量，其中大多数元素为零.使用l1范数最小化的方法和压缩感知(CS)技术来重构稀疏故障电流矢量，利用矢量中的非零项确定故障区域和可能的故障线路.通过划分故障区域和健康区域，使用PMU测量到的同步故障电流估计健康区域中测量点的相邻节点的故障电压，计算和测量得到的电压暂降相量用于准确定位故障线路.通过应用替代定理和最小二乘法确定单故障和双故障位置.替代定理使用发射端和接收端的两个虚拟电流源替代故障线路，其中这两个终端节点由最小二乘法估计得出，然后利用在故障线路的两个终端节点处计算得到的电压暂降和注入的故障电流在传输线的分布参数模型中精确定位故障.由于该方法最早被提出是用于定位单个故障[8]，本文的主要贡献是定位双故障.此外，与文献[8]相比，本文在定位单故障方面也有很大的改进.无论系统大小如何，本文方法都可以一步定位故障，而文献[8]的算法必须针对每条线路重复迭代.本文进一步评估了算法在未转置线上定位故障的有效性.除了测量的电压相量之外，本文方法还使用在PMU测点处测量的电流相量.只使用PMU测量电压相量的假设是不现实的，因为安装有PMU的测点的电压和电流相量都可用.本文提出的故障定位方法使用由传输线和发电机的正序阻抗构成的正序阻抗矩阵，由于正序故障电流存在于所有故障类型中，因此并不需要事先知道故障类型.在IEEE39节点系统中的仿真结果证明了本文提出方法的有效性.

1 故障定位方法

当传输线发生故障时，由于正序故障电流存在于所有故障类型中，因此故障线路可被视为正序系统中的反向电流源[15].根据叠加定理，该电流源可以由故障线路两端节点处的两个电流源代替，而不需要移除线路[17].因此，如果在N节点系统中的线i-j发生故障，终端节点i和j的故障电流注入可以表示为

(1)

由于PMU分别测量每相中的电压相量，相应的正序电压为

(2)

公式(1)中矩阵的系数是复数，它们可以通过下面的公式解耦到实部和虚部

(3)

其中：下标(Re)表示每个矩阵的实部，(Im)表示每个矩阵的虚部.可以通过分离实数和虚数子矩阵用矩阵形式将公式(3)重写为

(4a)

y=A·x.

(4b)

(5)

公式(5)是一个欠定方程，其中方程数小于变量数.用于求解公式(5)的2N-2M自由度导出了几种可行解.但是故障电流矢量的稀疏约束限制了解的可行范围，并且提供了满足公式(5)的最优解.使用l1范数最小化和压缩感知技术来重构公式(5)中的矢量x：

(6)

(7)

当系统中传输线发生双故障时，故障电流矢量中非零元素增加，稀疏度降低.在这些情况下，l1范数最小二乘法可以通过文献[18]中的方法求解近似的稀疏故障电流矢量：

(8)

公式中：λ为自定义因子，用来确定目标函数中受稀疏约束的程度.

1.1 故障区域的识别

图1 定义故障区域和故障线路

重构得到的故障电流矢量中较大的非零元素可以用来确定可能的故障线路.在少数情况下，与故障线路相邻的线路可能被错误地识别为故障线路.我们通过使用测量到的电压相量，再基于重构电流矢量的某些特征来区分健康区域与故障区域.如果重构电流矢量中的某元素超过阈值，就称其为有效值.假如重构电流矢量中的第i个元素超过阈值，则把直接连接到节点i的所有节点称为一阶相邻节点，把通过另一个节点连接到节点i的所有节点称为二阶相邻节点.节点i的相邻节点如图1所示.节点i与一阶和二阶相邻节点之间的线路被标记为可能的故障线路，以此识别出故障区域.

1.2 故障线路的确定

当PMU安装在某节点上时，该节点上的电压相量以及与该节点相连的所有线路中的电流相量可以同步测量得到[20].因此，如果已知所有与测量节点相连的线路参数，则可以通过文献[15]中的方法计算所有相邻节点的电压相量：

Vj=cosh(γijlij)·Vi-Zij·sinh(γijlij)·Ii，

(9)

除了在故障区域识别过程中被识别为可能的故障线路，其余所有线路的参数都是已知的，所以安装在非可疑故障线路的终端节点上的PMU可以准确地测量计算得到相邻的节点电压值.所有计算和测量得到的电压相量再次用于求解公式(6)～公式(8)来确定实际故障线路.

1.3 故障距离的估计

本文使用替代定理来估计沿故障线路的故障距离[15].当线路i-j被识别为故障线路后，从节点i和j分别注入的流向故障位置的故障电流(Iij，Iji)，在移除线路后分别用等效的电流源模型建模替代.当在线i1-j1和i2-j2处同时发生两处故障时，系统等效模型如图2所示.

图2 传输线双故障情况下替代定理等效模型

在正序系统中，使用可观测节点中的电压暂降相量和部分节点阻抗矩阵来对故障建模，其中故障线路被等效电流源替代，如下所示：

(10)

(11)

(12)

通过计算得到的故障线路电压暂降和电流，应用改进的分布参数传输线方程估计故障距离比[8]：

(13)

分别对每条故障线i1-j1和i2-j2计算δij.类似地，公式(10)～公式(13)也可以用于定位单个传输线故障.本文所提出的故障定位算法的流程图，如图3所示.

图3 故障定位流程图

2 算例仿真

为了验证该算法的有效性，本文在PSCAD仿真软件中使用IEEE 39节点测试系统测试所提出的故障定位算法[22]，使用MATLAB进行数据分析与计算.该模拟在具有2.4 GHz Intel Core i5 CPU和8 GB内存的笔记本电脑上执行，本文故障定位算法平均需要0.1 s来精确定位故障位置.

根据文献[21]的PMU优化配置研究结果如图4所示，分别在IEEE39测试系统的3节点、8节点、11节点、16节点、20节点、23节点、25节点、29节点处放置了8个PMU，由于当PMU安装在某节点上时，该节点的电压相量以及与该节点相连的所有线路中的电流相量可以同步测量得到，因此这样配置PMU能以最少的测量实现系统的最大可观测，从而实现本文算法.在本文中，假设断路器在故障发生后60 ms跳闸，为了验证故障定位精度，将实际故障位置与估计故障位置之间的相对误差定义为

(14)

图4 IEEE39节点测试系统

2.1 单故障定位仿真

为了验证所提出的方法的有效性，对所有四种可能的故障类型：单相接地故障(1-ph-g)，两相故障(2-ph)，两相接地故障(2-ph-g)，三相接地故障(3-ph-g)分别进行模拟测试，故障电阻分别为0 Ω、50 Ω和100 Ω，模拟故障发生在IEEE39节点测试系统每条线路长度的90%、50%和10%位置处.

本文算法在单故障定位中的仿真结果，如表1所示.在所有模拟故障情况下，平均估计误差不超过0.247 9%，大多数故障定位误差小于0.22%.因此，无论故障类型，故障电阻和每条线路的故障位置如何，本文故障定位算法在所有模拟情况下均能获得令人满意的结果.

在单故障研究中，重构故障电流矢量中的两个有效值对应的两个节点在某些情况下并不是实际的故障位置，本文利用健康区域中的PMU测量值计算电压相量来确定故障线.例如当PMU测量的电压相量用于定位在每条线的10%处发生的2-ph-g故障时，故障电阻为50 Ω，可以准确定位34条故障线路中的29条.

如果减少PMU测量节点的数量，则会导致把计算出的节点电压相量合并到测量电压相量上也无法识别某些故障线路.因此，至少在8个节点上放置PMU是本文算法的最低要求[21].

(1)考虑误差定位单故障位置：PMU测量值包括噪声大小在0.2%范围内的同步和测量误差[21].为了考虑噪声影响，我们将测量到的电压幅值和相角乘以(1+r)，其中r是具有0.2%标准差的零均值正态分布产生的随机数.本文故障定位算法在考虑测量误差时的仿真结果如表2所示，分别对四种故障类型进行模拟仿真验证，故障电阻分别设为0 Ω、50 Ω与100 Ω.根据表2仿真结果可知，本文故障定位算法的性能受测量误差的影响较小，鲁棒性较高.

图5 典型模拟电弧电阻

(2)定位高阻抗电弧故障：除了分流电阻故障之外，在长距离传输网络中也会出现高阻抗电弧故障.为了模拟时变电弧电阻，根据文献[22]中提出的经验微分方程考虑其动态伏安特性进行仿真验证.该电弧模型与100 Ω电阻串联，本文算法用于测试IEEE39节点系统中的7线～8线上各处的1-ph-g故障定位，仿真结果总结在表3中.可以观察到，非线性高阻抗电弧故障的发生降低了故障定位算法的准确率，但是从实际情况来看，所获得的结果依然是可以接受的.

表3 定位高阻抗电弧故障仿真结果

2.2 双故障定位仿真

为了在电网中准确定位双故障位置，本文随机选择沿两条传输线距离在1%～99%范围内的两处故障，故障电阻范围为0 Ω～100 Ω.通过大量的模拟仿真得出结论，除了现有的8个PMU测量节点外，必须在1节点、5节点、13节点、18节点和28节点处再安装5个PMU，才能成功定位双故障位置.虽然电网的全部可观测性并不是广域故障定位的基本要求[12]，但是选择的PMU测量节点数(M)必须满足系统能够定位单故障的要求.在传输网络发生双故障的情况下，想要准确定位故障位置就需要增加PMU测量节点数量，这只有通过大量仿真试验才能确定.本文使用文献[21]中讨论的PMU优化放置方法，得出定位双故障的广义PMU优化配置方案.

为了将一条线路的故障与两条不同线路中的两个同时发生的故障进行区分，本文定义了判断重构故障电流矢量中的元素是否为有效值的阈值电平.重构电流矢量中存在两个有效值表示电网传输线发生单故障，而存在三个或四个有效值表示同时发生双故障.对于单故障或没有公共节点的两条线路中的双故障情况，重构电流矢量中的有效值远大于其他值.已知有效值为重构电流矢量中大于其他元素平均值的元素值，然而当具有公共节点的两条线路同时发生故障时，公共节点对应的元素值小于某些情况下的平均值，此时也把有公共节点的故障电流矢量对应的元素值作为有效值.

表4 本文算法定位双故障仿真结果

通过大量模拟仿真测试得出，本文算法在定位有公共节点连接的两条传输线故障时的误差较高，平均估计误差为2.735%.在没有公共节点的故障线路上定位双故障时的表现较为良好，平均估计误差为1.147 2%，如表4所示.本文提出的方法定位双重故障虽然不如定位单故障的性能好，全部模拟案例的平均估计误差为1.3145%，大多数案例的故障定位误差在0%～0.4%范围内，但是仍然在可以接受的范围内.当同一条线路发生两个故障时，本文算法只能确定故障线路，不能准确估计故障距离.

3 讨论与比较

在文献[12]中，基于广域阻抗的故障定位方法使用同步相量测量和对故障线路的预备知识来定位单故障位置，估计误差在0.3%的范围内.本文提出的算法在不使用故障线路的任何信息的情况下定位故障位置，平均估计误差在0.2%的范围内.在文献[9]中，平均故障定位误差约为0.2%，但是该方法利用了某些线路测得的故障电流，这可能由于发生故障的线路太靠近而导致定位错误.本文算法也使用了一些线路中测量到的故障电流，但本文提出的算法通过区分健康区域和故障区域来解决这一问题.在文献[8]中，提出了基于系统节点阻抗矩阵的广域故障定位算法，平均估计误差在0.1%范围内.该算法利用替代定理和最小二乘法对每一条可能的故障线重复使用来定位故障线路，这在远距离大规模网络中会导致很高的计算复杂度.本文算法通过应用一种有效的稀疏重构技术来识别故障区域和故障线路，消除了复杂的迭代过程，大大减少了计算负担.此外，由于故障发生时，正序故障电流存在于所有故障类型中，所以本文在故障距离估计过程中只使用正序分量.在文献[14]提出的单端方法中，平均估计误差为1.2%，必须满足故障线路至少一端的电压和电流相量可观测.本文故障定位算法不需要满足这一条件，在有限数量的PMU配置下即可估计故障距离.而且与文献[14]中的约束条件不同，如果考虑故障线路的对地电容，本文方法的性能不受影响.

4 结 论

本文提出了一种新颖的基于广域测量和压缩感知的故障定位方法，其中依次执行故障区域识别，故障线路识别和故障距离估计.应用压缩感知和稀疏表示恢复方法重构单故障和双故障情况下的稀疏故障电流矢量.通过重构故障电流矢量中的非零有效值确定可能的故障线路和故障区域.使用健康区域中PMU测量得到的电压相量和电流相量来计算相邻节点的电压相量，然后将计算得到的电压相量合并到测量得到的电压相量中，再次通过稀疏恢复算法精确定位故障线路，最后利用替代定理和最小二乘法沿故障线路估计故障距离.本文方法在考虑测量噪声和高阻抗电弧故障的情况下均可良好运行，在电力系统传输网络故障定位中具有较好的鲁棒性和有效性.在PSCAD环境下对IEEE39节点测试系统进行大量模拟研究得出，本文提出的方法不仅可以定位单故障位置，而且能够在可接受误差范围内定位双故障位置.