含混合型简数根函数的两个数论函数方程的解

2020-04-09 13:36张明丽
关键词:前提条件素数正整数

张明丽,高 丽,郑 璐

(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000)

1 相关引理

引理1[3,4]由简数定理知,

引理2[8]当n≥2时,有φ(n)

引理3[10]对于素数p与k≥1,有

φ(pk)=pk-pk-1。

引理4[10]对任意素数p≥3,Z(p)=p-1。

引理5[10]对任意素数p≥3及k∈N+,Z(pk)=pk-1。当p=2时,则有Z(2k)=2k+1-1。

引理6[10]Z(n)非加性函数,即Z(n+m)不恒等于Z(n)+Z(m),且Z(n)也非积性函数,即Z(nm)不恒等于Z(n)Z(m)。

2 主要结论及其证明

定理1 对于任意的正整数n,k>1时,混合函数方程:

Z(nk)=sim(φ(n2))

仅有正整数解n=1。

证明对于混合函数方程

Z(nk)=sim(φ(n2))

(1)

由引理2,主要分以下两种情形讨论:

情形一:当0

情形二:当n2>3时,φ(n2)为偶数,由引理1知,此时

sim(φ(n2))=

1.当φ(n2)≡0(mod9)时,令φ(n2)=18l(l∈N+),此时sim(φ(n2))=sim(18l)=9,即Z(nk)=9。

1.1 当n为奇数时,由引理3—引理7,我们分为以下几种情况进行讨论:

i)n=p,且p≥3为素数,Z(pk)=pk-1=9,即pk=10与其为素数矛盾,故此时(1)无解。

ii)n=ps,p≥3为素数且s>1,k≥2时,Z(pks)=pks-1=9,即pks=10(不存在),故此时(1)无解。

iii)n=p1s1p2s2…ptst,(其中p1s1,p2s2,…,ptst均大于等于3,si≥1,0≤i≤t,t≥2),如果Z(nk)=9,根据Z(n)的定义,既满足定义又满足nk|45的情况只有k=1,n=45。

当k=1,n=45,sim(φ(45))=sim(24)=6,与前提条件矛盾,故此时(1)无解。

1.2 当n为偶数时,Z(nk)=9,根据Z(n)的定义,即nk|45,显然不存在这样的n,使得其同时满足n为偶数且nk|45,故此时式(1)无解。

2.当φ(n2)≡r(mod9)且0

2.1 当l为奇数时,k>1,由于r=1,即Z(nk)=1时,即n=1,归类于情形一,下面依次讨论r=3,5,7的情况。

当r=3,Z(nk)=3时,即nk=2,6,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。

当r=5,Z(nk)=5时,即nk=15,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。

当r=7,Z(nk)=7时,即nk=4,14,28,,又k>1,可能的取值为k=2,n=2,带入(1)式验证不符合,故此时式(1)无解。

2.2 当l为偶数时,k>1,下面依次对r=2,4,6,8进行讨论。

当r=2,Z(nk)=2时,即nk=3,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。

当r=4,Z(nk)=4时,即nk=5,10,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。

当r=6,Z(nk)=6时,即nk=7,21,又k>1,显然不存在这样的n,故此时式(1)无解。

当r=8,Z(nk)=8时,即nk=9,12,18,36,又k>1,可能的取值为k=2,n=3或者k=2,n=6,带入(1)式验证均不符合,故此时式(1)无解。

定理2 对于任意的正整数n,x≥2,y>2时,混合函数方程:

Z(nx)=sim(φ(ny))

仅有正整数解n=1。

证明对于混合函数方程

Z(nx)=sim(φ(ny))

(2)

由引理2,主要分以下两种情形讨论:

情形一:当n=1时,φ(ny)=1,此时sim(φ(ny))=

sim(1)=1,而Z(nx)=Z(1x)=1,故此时式(2)有解为n=1。

情形二:当n≥2时,φ(ny)为偶数,由引理1知,此时

sim(φ(ny))=

1.当φ(ny)≡0(mod9)时,令φ(ny)=18l(l∈N+),此时sim(φ(ny))=sim(18l)=9,即Z(nx)=9。

1.1 当n为奇数时,由引理3—引理7,我们分为以下几种情况进行讨论:

i)n=p,且p≥3为素数,Z(px)=px-1=9,即px=10与其为素数矛盾,故此时式(2)无解。

ii)n=ps,p≥3为素数且s>1,Z(psx)=psx-1=9,即psx=10(不存在),故此时式(2)无解。

iii)n=p1s1p2s2…ptst(其中p1s1,p2s2,…,ptst均大于等于3,si≥1,0≤i≤t,t≥2),如果Z(nx)=9,根据Z(n)的定义,既满足定义又满足nx|45,经检验故此时式(2)无解。

1.2 当n为偶数时,Z(nk)=9,根据Z(n)的定义,即nk|45,显然不存在这样的n,使得其同时满足n为偶数且nk|45,故此时式(2)无解。

2.当φ(ny)≡r(mod9)且0

2.1 当l为奇数时,x≥2,由于r=1,即Z(nx)=1时,即n=1,归类于情形一,下面依次讨论r=3,5,7的情况。

当r=3,Z(nx)=3时,即nx=2,6,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。

当r=5,Z(nx)=5时,即nx=15,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。

当r=7,Z(nx)=7时,即nx=4,14,28,又x>1,

可能的取值为x=2,n=2,即求sim(φ(2y))=Z(22)=7,而sim(φ(2y))=sim(2y-1)=2,4,8,故此时式(2)无解。

2.2 当l为偶数时,x>1,下面依次对r=2,4,6,8进行讨论。

当r=2,Z(nx)=2时,即nx=3,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。

当r=4,Z(nx)=4时,即nx=5,10,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。

当r=6,Z(nx)=6时,即nx=7,21,又x>1,显然不存在这样的n,故此时式(2)无解。

当r=8,Z(nx)=8时,即nx=9,12,18,36,又x>1,可能的取值为x=2,n=3或者x=2,n=6,下面对这两种情况分类讨论:

当x=2,n=3时,即sim(φ(3y))=Z(32)=7。而当y=1,2时,sim(φ(3y))=sim(2×3y-1)=2,6;当y≥3时,sim(φ(3y))=sim(2×3y-1)=9(与前提条件矛盾),故此时式(2)无解。

当x=2,n=6时,即sim(φ(6y))=Z(62)=7。而当y=1,2时,sim(φ(2y3y))=sim(2y×3y-1)=2,4;当y≥3时,sim(φ(2y3y))=sim(2y×3y-1)=9(与前提条件矛盾),故此时式(2)无解。

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