“直观想象”在高考函数问题中的渗透应用

浙江省永康市第一中学 (321300) 付增民

新修订的《普通高中数学课程标准(2017年版)》中强调：突出数学素养，在数学课程逐渐展开的过程中，促进学生数学核心素养的形成和发展.直观想象是六大核心素养之一，“是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段[1]”，“主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题[1]”.一说起“直观想象”，人们往往首先想到的是在几何问题中的应用，其实，“直观想象”素养在许多“数”的问题尤其是函数问题中也渗透应用的相当广泛.由于函数是高中数学的一条主线，所以与函数相关联的导数、方程及不等式的一类热问题常常在高考或各地模拟考试中以“把关定向”的角色压轴出现.这类问题不仅能考查函数知识和应用以及换元、构造、对应、图形、配凑等意识，而且依据问题的特点构造相应的函数，然后利用函数的图像直观地解决问题，因而也能有效地培养“直观想象”素养.本文以2019年高考试题或模拟题为例进行剖析，力求揭示此类试题的考查形式，探索它们的题型规律，透视其求解策略，以期抛砖引玉.

1.函数图像的判断

点评：函数图像的判断问题是高考的热点题型.本题先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A；再注意到选项的区别，利用特殊值得到正确答案的.考查了函数的性质与图像，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．

2.利用图像进行命题判断

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

解析：根据题意，作出函数图像.

由图可知2π∈[x1,x2)由题意可得

点评：本题首先作出函数的图像，然后结合图像的直观性，并通过分析、运算分别对命题逐一作出判断的.

3.函数方程中关系式的求解值问题

A．-1B．0C．1D．2

解析：作出函数f(x)=

点评：本题首先作出函数的图像，然后利用图像所呈现的函数的性质，整体求值，最后代入求解的.很好地考查了整体处理的意识和直观想象、逻辑推理等核心素养的运用.

4.函数方程中参数范围的确定

5.函数不等式中参数范围的确定

解析：∵x∈(0,1]时，f(x)=x(x-1)，f(x+1)=2f(x)，∴f(x)=2f(x-1)，即f(x)右移1个单位，图像变为原来的2倍．

点评：本题为选择压轴题，结合题意画出示意图，借助图像直观，分析出临界点位置，并通过精准运算求解的．利用函数的图像直观使问题的解决明朗化，是培养和形成直观想象数学核心素养的良好途径.

新一轮的课程改革已经进入了关键时期，在教育教学中越来越强调要培养学生的数学核心素养和学习能力.近年来，高考制度的改革给高中数学复习备考也带来了深刻的变革，在复习中教师越来越注重学习方法、解题方法的传授，而不仅仅只是向学生传授基础的学科知识.数学是学生学习生涯中促进其能力发展、思维提高以及认知水平提高的一个基础性学科.但是由于高中数学知识的复杂性、抽象性使很多学生在学习过程中望而生畏.教师在数学解题教学中教学方式以及教学理念若运用不当，就会使得学生的学习效率低下，表面上看每天都沉浸在高压的学习下，但是并没有什么太大的效果.因此，教师必须要转变教学理念和教学方式，引导学生对不同类型题目的特征进行总结和归纳，掌握不同的解题方法，让学生在做题实践中体会数学的魅力.直观想象作为六大数学核心素养之一，恰当而合理的运用，确实会给一些数学问题的解决带来事半功倍的效果.有教师曾感慨道，导数的学习给函数的研究插上了翅膀，而从上述问题的解决可以进一步看到，直观想象素养在求解函数热点问题特别是一些压轴小题的有效运用，相当于给函数问题的研究和求解又插上了另一只翅膀，展开双翅，这样对于诸多函数问题的解决也许就会飞的更高、更远……