一个“增解”问题的根源剖析与思考

安徽省临泉第一中学 (236400) 张翠兰

(Ⅰ)求cosA的值；

(Ⅱ)求c的值.

有高三备考资料中，关于此题给出的参考答案如下(不妨称解法1)：

(Ⅱ)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得

一、问题

这道题不仅题型比较常规，而且解答思路也常规，容易上手，不少学生也能想到上述求解思路的，但有一点却不易使大家想到，就是第(Ⅱ)问的解答中在利用余弦定理求出c=3或c=5之后，就认为求解结束了，已经万事大吉了，根本想不到还需检验c=3是否符合题意，从而就会造成因“增解”而导致错误发生.当然，检验c=3或c=5是否符合题意，也不是难事，对于我们来说，难在想不到“第(Ⅱ)问的最后解答还需检验”这一环节，这一盲点现象为何比较普遍呢？是什么导致增解呢？

二、剖析

三、思考

笔者也向同事们询问他们对于上述解法“验证”的观点，有的教师对学生说：“此题是高考解答题的第(Ⅰ)题，第(Ⅱ)题不可能平铺直叙，一点弯弯没有,否则，太简单了，索然无味，既然解答出现了两个结果，最好验证一下”；有的教师对学生说：“第(Ⅱ)问是属于‘知道三角形的两边及其中一边的对角’求解三角形的问题，虽然利用余弦定理求解的，但余弦定理不能保证三角形存在，故需检验求解的结果.”笔者认为对于上述解答的“验证”原因持这两种观点的教师不少，因为找不到产生“增解”的根源，只好自圆其说，糊弄学生.其实，这两种观点都是错误的，缺乏理性思维，是认识问题肤浅的表现，显然观点1是无稽之谈，观点2是对余弦定理隐含着保证“三角形的存在性”这一功能的认识.

事实上，本题第(Ⅱ)问，还有其它更好解法，下面再提供两种解法：

通过以上思考，可以看出教师只有将问题讲透，学生才能学得明白，学得轻松，从而才能激发学生学习数学的热情与兴趣，然而如何才能做到把数学问题讲透？特别是学生感到困惑的问题，这也是困扰我们一线教师的难题，其实，有不少数学问题的解决方案，我们教师也稀里糊涂的，只不过是“身经百战”，见多了，其解法都烂熟于心了，教学中一旦遇到它们，就直接将熟知的解法抛给学生，而不是通过引导学生分析题目条件与结论以帮助学生形成解题思路，可谓告诉的多，分析的少，究竟为什么这样做而不那样做的想法，则不舍得花费时间分析，所以一旦学生问到：“老师，这个解法，您怎么想到的？”之类的话题，教师往往哑口无言，不清楚为何，因为平时对“为什么这样做”思考得少，自己就昏昏然，怎能使人昭昭？难怪不少教师发出感叹：这道题都讲几遍了，学生仍然不会.笔者认为出现这种现象之所以比较普遍，是因为我们教师没有将问题讲明白，感动不了学生，引发不了学生心理的震撼，并不是说我们教师天天重复讲，学生就能学会数学的，因为不理解的问题是难以接受的，更谈不上融会贯通及灵活运用了.

因此，作为教师我们如果自己能被数学感到了，教师才能自觉地、不失时机地用数学的魅力去打动学生，试想：我们数学教师面对一个数学问题的解决过程，自己就感动不了，怎么能感动学生呢？