数形结合初形成合情演绎共发展——以一节“距离”的数学拓展课为例

□朱仁江

（台州市椒江区教育教学发展中心，浙江台州 318000）

笔者在学生学习了《有理数》《整式的加减》两个章节后，适时以“距离”为题开设一节数学拓展课，将“绝对值”和“距离”两者有效融合，使“数”和“形”两方面紧密结合，让学生感受数形结合思想的萌芽过程，感受数形结合思想在数学学习中的重要性，并学会利用数形结合的方法解决实际问题. 同时运用合情推理进行问题结论的探索和发现，用演绎推理加以证明，两者相辅相成，使“绝对值”内容的教学提升到一个新的高度.

一、“形”能直观 合情推理是方向

从数轴上两点之间的距离这一“形”的角度来直观感受绝对值的几何意义，使代数问题几何化，使所求问题更加形象直观.通过观察、归纳、类比、猜想等合情推理手段得出问题的普遍性结论，是数学问题研究的方向.

【教学设计一】

师：同学们，当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚.”相聚是一种缘分，让我们缩短心与心之间的距离，在初中三年留下美好的回忆．今天，我们就来探讨一个数学话题——距离．

同学们，前面我们已经学习了绝对值的知识，也简单了解绝对值的几何意义，那么请同学们说出下列式子的几何意义：

（1）|a|； （2）|x-2|； （3）|x+1|+|x-2|.

生1：（1）的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，（2）的几何意义是数轴上表示数x-2 的点与原点的距离，（3）的几何意义是数轴上表示数x+1 的点到原点的距离与表示数x-2的点到原点的距离之和．

师：生1 已经非常清楚绝对值的几何意义，而且将x+1、x-2 看作整体，能够运用整体思想考虑问题，非常好！|x-2|可以看作数轴上表示数x-2的点与原点的距离，若将这两点同时向右平移2 个单位长度，你会有什么发现呢？

生2：我知道了，将这两点向右平移两个单位后，两个点对应的数分别是x和2，|x-2|可以看作数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．

生3：|x+1|+|x-2|就可以看作表示数x的点到-1和2两个数所对应的点的距离之和．

师：总结得太好了！通过类比、观察、归纳，大家对绝对值的几何意义有了更深的理解和掌握．

【设计意图和阶段目标】结合学生刚入学不久，师生、生生之间关系比较陌生的特点，以“相聚是一种缘分”为话题引入，利用数轴上两点间的位置关系，强化对作为代数概念“绝对值”的几何意义——“距离”的理解，使绝对值的几何意义得到进一步的直观确认，从而使数形结合思想在学生头脑中初步形成.通过不断观察、猜想、分析，运用归纳、类比等合情推理手段，提升学生探究问题的能力，感受合情推理在发现问题结论过程中的重要性．

【教学设计二】

师：同学们，我们已经知道|x+1|与|x-2|都有最小值，请问|x+1|+|x-2|有最小值吗？如果有，最小值是多少？此时x取什么值？

生4：我觉得最小值应该是3.因为我取了许多x值，发现|x+1|+|x-2|的结果最小是3，所以最小值应该是3．

生5：不一定.因为不能确定你还没有取到的x值是否能保证|x+1|+|x-2|的结果都不小于3．

师：用特殊值代入得出结论是一种常用的解决问题的方法，而要得出一般性结论仅仅从几个特殊值来判断显然是不够的．

接下来我们看一个生活中类似的情境：

在一条直线上有依次排列的2 台机床加工零件（如图1），要设置一个零件供应站P，使这2 台机床到供应站P的距离之和最小.怎么设置？

图1

生6：如果一条直线上有2台机床，很明显零件供应站P设在A1和A2之间的任何地方都行，因为此时P到甲和乙2 台机床的距离之和等于A1到A2的距离，且距离之和最小．

师：如果在一条直线上有依次排列的3台机床加工零件（如图2），要设置一个零件供应站P，使这3 台机床到供应站P的距离之和最小，又该怎么设置？

图2

生7：如果在一条直线上有3台机床，供应站P设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的部分，因此P放在A2处是最佳选择．

师：分析很到位！那4台、5台呢？n台呢？

生8：如果一条直线上有4台机床，供应站P应设在第2 台与第3 台之间的任何地方；如果一条直线上有5 台机床，P应设在第3 台位置.如果一条直线上有n台机床，要进行分类讨论，当n为奇数时，P应设在最中间那台机床处，当n为偶数时，P应设在最中间两台之间的任何地方．

师：同学们太厉害了！实际上，解决上面这些问题的最大功劳要归功于绝对值的几何意义．那么同学们现在会求|x+1|+|x-2|的最小值吗？

生9：如果记A1所对应的数为-1，A2所对应的数为2，以右方向作为正方向画一条数轴，记P所对应的数为x，很显然，当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|有最小值，最小值为3．

师：不错！那|x+3|+|x+1|+|x-2|的最小值会是多少呢？

生10：当x=-1时，|x+3|+|x+1|+|x-2|有最小值，最小值为5．

师：非常正确．

【设计意图和阶段目标】生活的经验是数学产生和发展的基础，当解决数学问题碰到困难时，可以寻找生活中的原型，进行归纳提升，形成数学模型，再利用数学模型解决生活中的实际问题.通过将工厂流水线看成数轴，供应站、机床看作数轴上的点，从而找到解决问题的模型——数轴.通过对供应站位置设置的探究，从“形”的角度形象直观地解决了这一“数”（最小值）的问题.另外，在探究过程中不断地进行类比、归纳等合情推理的渗透，训练学生有效的数学思考.

二、“数”能入微 演绎推理是关键

仅从“形”的角度理解绝对值有它的局限性.波利亚曾说：“严格证明是数学的标志，是一般文化中数学贡献的主要部分，学生若从未对数学证明有过印象，那他就错过了一段基本的智力经历.”因此，当学生从“形”的角度感知绝对值的同时，有必要从“数”的角度进一步得出绝对值的性质所具有的科学性，这一过程实际上就是演绎推理的过程，是对数学问题进行研究的关键.

【教学设计三】

师：同学们，前面主要从“形”的角度解决了问题，你能否从另外角度确定|x+1|+|x-2|的最小值？

阅读下列材料并解决有关问题：

（1）x＜-1；（2）-1≤x＜2；（3）x≥2.从而化简代数式|x+1|+|x-2|．

生11：我化简的结果是： ||x+1 +我觉得，当x＜-1时，随着x值的越来越小，-2x值越来越大，从而-2x+1的值也越来越大，都大于3；同样，当x≥2时，随着x值的越来越大，2x值越来越大，从而2x-1的值越来越大，都大于3，所以当-1≤x＜2时，|x+1|+|x-2|有最小值，最小值为3．

生12：当x≥2 时，2x-1 的值应该是大于等于3.综合分析三种情形，当-1≤x≤2 时，|x+1|+|x-2|有最小值，最小值为3．

师：两位同学都很会思考.不难发现，实际上当x=2 时，|x+1|+|x-2|也是等于3，这与先前得出“绝对值等于本身的数是正数和0，而不仅仅是正数”如出一辙．

【设计意图和阶段目标】通过从“数”的角度进一步探究|x+1|+|x-2|的最小值问题，使关系结构数量化，使问题解决算法化，避免“形”在解决问题时遇到的不“入微”的遗憾.而演绎推理很好地解决合情推理过程中的局限性问题，通过对探究得出结论的论证推理，使数学问题的结论具有科学性、可靠性，是对数学进行问题研究的关键．

三、“数”“形”结合 合情演绎共发展

Lagrange 曾把“数形结合”的优点写进他的《数学概要》中：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄.但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善．”我国著名数学家华罗庚先生也曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”总之，数形结合在某种程度上可以看作是数学的本质.而合情推理和演绎推理在探究过程中的不断运用，使两者得以相互补充，协同发展．

【教学设计四】

课后拓展：若x、y满足（|x+1|+|x-2|）（|y-1|+|y-3|）=6，求代数式x+y的最大值和最小值．

【设计意图和阶段目标】课后拓展是为了让学生再次经历观察、猜想、分析、尝试等探究过程（合情推理），再次经历在探究结论过程中的论证推理（演绎推理）过程，再次从“数”和“形”两个角度思考问题，感受数形结合思想的重要价值．

数形结合把抽象的数学语言与直观的图形有机地结合起来思考，发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与算法性．两者相辅相成，扬长避短，化抽象为直观，化直观为精确.无论是从“形”的角度得出|x+1|+|x-2|的最小值的合情推理过程，还是从“数”的角度说明|x+1|+|x-2|的最小值的演绎推理过程，都对数形结合思想在七年级学生头脑中的初步形成产生了深远的影响.而合情推理和演绎推理在数学学习过程中的完美融合，让学生感受到合情推理和演绎推理之间的互相补充、缺一不可的关系.合情推理是方向，演绎推理是关键，合情演绎共发展.