立足课堂教学 促进深度学习

张君

摘 要：深度学习是学生掌握数学思想、方法、本质，提升数学核心素养的有效途径。《新课标》指出“学生要开展基于项目的学习，基于问题的学习，基于挑战的学习”，这个学习就是指深度学习。如何精心设计教学、利用课堂有限的时间提升学生深度学习的能力是教师当下需要致力于研究并解决的重要课题。数学归纳法是高中数学教学的重、难点，2019浙江卷就涉及到数学归纳法。本文以高三一轮复习时数学归纳法第一课时的教学设计为例，围绕“什么是数学归纳法;如何用数学归纳法证明不等式”展开，引导学生“想得到”用数学归纳法又“想得通”如何用数学归纳法，以达到提升学生逻辑推理能力、促进学生深度学习的教学目标。

关键词：深度学习;高三一轮复习;数学归纳法;教学设计

2019浙江卷第20题考的是数列的知识，它考查学生的数学运算、逻辑推理能力以及综合应用的能力，其第二小题可以直接用放缩法证明，亦可数学归纳法与放缩法结合来证明。考生在这题上的得分是偏低的，高考后笔者问卷调查了所在学校的考生，发现考生在尝试证明第二小题时碰到以下困难：1.想不到用数学归纳法证明;2.能够想到用数学归纳法证明，但完成第一步归纳奠基之后，不能完成第二步归纳递推，以致解题失败。高三复习课的目标就是使学生搞清楚新授课时没有搞清楚的知识、方法，在深度理解知识点后，通过深度学习，能够运用知识、方法解决数学问题，从而理清知识脉络、掌握知识体系。笔者就一轮复习中数学归纳法的复习课为例，针对“什么是数学归纳法;如何用数学归纳法证明不等式”这两个问题设计了一堂课，敬请专家批评指正。

一、数学归纳法复习课的教学设计说明

1、教学内容分析

數学归纳法是人教版数学选修2-2第二章推理与证明的第三节的内容，是以演绎推理为主的一种数学证明方法，是典型的三段论，也是证明与自然数有关的命题的重要方法，数学家皮亚诺建立自然数的公理体系时，确立了数学归纳法是自然数的公理之一（归纳公理）。运用数学归纳法证明题目的基本步骤：第一步归纳奠基，第二步是归纳递推，这两步缺一不可，共同确保了论证的严密性和正确性。高考对数学归纳法的要求是会用数学归纳法证明一些简单数学命题。

2、学情分析

笔者今年带教的两个毕业班都是文科班，数学底子不够扎实，学生在高二时粗略地学过数学归纳法的定义以及应用。其学习困难主要表现在以下两点：一是概念模糊，不清楚数学归纳法的原理，所以碰到能够用数学归纳法证明的题目时想不到用数学归纳法来证明;二是逻辑推理能力不够，在证明归纳递推，也即假设命题P（k）成立证明P（k+1）也成立时碰到困难，导致哪怕想得到要用数学归纳法来证明也证明不出来。

3、教学目标

追本溯源，使学生从本质上理解并掌握数学归纳法的原理、意义，明确其适用范围、证明步骤，掌握证明归纳递推时用到的基本思想、方法;培养学生逻辑推理的能力。

4、教学重点、难点

教学重点：明确数学归纳法的原理、基本步骤、以及证明归纳递推的基本思想、方法。

教学难点：如何证明归纳递推;培养学生逻辑推理的能力。

二、教学过程设计

本节课的基本流程安排如下：由具体例题引出数学归纳法→引导学生回顾数学归纳法的基本步骤→通过提问使学生明确数学归纳法的原理→引导学生探索证明归纳递推的基本思想、方法→学生归纳总结→教师点评。

1、设置问题，引发深度思考

问题一：

讲义发下后学生普遍感到困难，很多学生已经忘记用数学归纳法证明的基本步骤，整个班级只有二十来个学生写出了第一步：验证当n=2时不等式成立，至于第二步就无从下笔了。

师：大家普遍感到困难，今天我们的任务就是理清数学归纳法的原理、基本步骤和基本方法。大家还记得多米诺骨牌吗？我们先来整理一下：多米诺骨牌能够全部倒下的条件是什么？

生：先要按倒第一块，然后因为摆放得当，只要前面一块倒下后面一块一定倒下。

师：所以第一步是按倒第一块，第二步是只要前面一块倒下那么后面一块就倒下，结合这两步骨牌就全部倒下了。类比多米诺骨牌，我们把这两步化归到数学归纳法是哪两步？

生：验证第一项，也即n=1时结论成立，第二步是证明假设n=k时结论成立，那么n=k+1时结论也成立。

师：（板书证明的基本步骤归纳奠基、归纳递推）这两步缺一不可，第二步证明了如果前面一项成立则后面一项一定成立，也即证明了传递性，这个时候验证第一项确实成立，那么第一项成立根据传递性推出第二项成立，第二项成立推出第三项成立，以此类推，哪怕n无穷大，也即证明了所有项都成立。我们来再次解题。

设计意图：开门见山直面主题——用数学归纳法证明不等式。学生证明遇到困难，通过回忆，思考数学归纳法的原理与基本步骤。

2、明确原理，促进深度理解

学生继续解题。

师：用数学归纳法证明的第一步是验证第一项，也就是按倒第一块，这个第一项一定指n=1的时候吗？

生：不一定。

师：所以同学们在证明第一步的时候斟酌一下满足条件的第一项是哪一项，对于本题满足条件的初始项是第几项？

生：第二项。

生描述解题过程，师规范板书并强调书写格式。

设计意图：用数学归纳法证明命题时候需要注意的细节比如初始项，可以通过具体问题由学生自己发现从而强化记忆。

师：第二步，假设

下面想证当n=k+1 时，结论也成立，我们来分析一下，我们要根据什么条件来证明n=k+1时结论也成立，也即什么条件可以推出n=k+1时也成立这个结论？n=k+1时的结论是什么？

生：条件是假设

结论是证明

师：对的，你能归纳一下用数学归纳法解题的第二步，我们本质上是做了什么事情？

生：就是利用n=k时命题成立作为条件推导出n=k+1时命题也成立这个结论。也就是证明了只要前面一项成立那么后面一项一定也成立。

师：很好，数学归纳法的第二步重点是证明：若P（k）为真，则P（k+1）为真，也就是证明结论具有传递性，这样的话结合之前第一步已经验证了P（1）成立，那么就能够得到所有项都成立，所以数学归纳法就是用有限的步骤来证明无穷项都成立，这就是数学归纳法的精妙所在。所以我们在处理和正整数有关，特别是与数列有关的证明，遇到常规方法行不通的时候我们就可以尝试用数学归纳法来证明命题成立，或者先猜测结论，再由数学归纳法证明结论成立。

设计意图：学生掌握数学归纳法的“形”是没有多大问题的，但是真正掌握数学归纳法的“神”一直是个难点，如果没有搞清楚数学归纳法的原理，应用数学归纳法证明就无从谈起。通过刚才的提问和回答，学生就会明白数学归纳法的第二步就是证明了“ 若P（k）则P（k+1）”为真命题，这样的话，结合第一步，很容易就得到了                                                          ，也就清楚了数学归纳法的本质，体会到数学归纳法的正确性、严密性以及实用性，达到深度理解的目的。

3、探索方法，達到深度学习

学生在使用数学归纳法证明命题的过程中，往往困难会发生在

的时候，用数学归纳法证明命题并不是归纳法“孤军奋战”的过程，我们往往通过分析条件和结论，运用多种方法解决问题，从而发挥数学归纳法的威力。

方法1：分析法与作差法结合

师：所以我们在证明                                                                  放大到

，然后呢？我们想证明的是

，这个时候我们该怎么处理？

生： 式是利用前面一项作为条件得到的结论，一定是可行的，而后面 式是我们要证明的结论，也一定是对的，那么我们只要证明

即可。

师：很好，通过分析我们发现只要证明                                   就能够证明结论成立，那我们怎么证明该不等式成立？

生：作差比较，减一减。

师：所以我们要善于分析得到的结论和想证的结论有什么联系，如果需要比大小我们首先考虑减一减，也就是做差比较。当然，如果是用数学归纳法证明等式时，我们该怎么处理？

生：想办法把得到的结论化成想证的结论。

（教师板书过程并规范格式）。

设计意图：                                  ，碰到需要比大小，学生首先要想到运用作差比较法来证明结论成立。

方法2：分析法与放缩法结合

问题二：用数学归纳法证明：

学生尝试解题。

教师用投影仪投影某学生解题过程：

“第一步：当                                              ，右边=2 ，             ，成立

第二步：假设当                        时，

那么，当                                                                                    ”

师：这位同学还没有做完，请同学们点评一下，这位同学解的过程正确与否。

生：第一步是对的，第二步中的假设也对的，但是n=k+1时的式子是错误的。

师：请你改一改。

生：

师：好的，说明我们在由                           ，必须要清楚 n=k到n=k+1时两个式子的项的变化规律。那么本题里，从 n=k到n=k+1，多了哪几项？多了几项？

生：多了                                                     ，总共     项

师：接下来我们该如何分析？

生：

是利用n=k时成立推出的结论，而我们的目的是证明                                                                          ，所以，我

们只需要证明                                                             ，也就是证明

即可

师：作差比较法这里适用吗？

生：不适用，因为不能通分也不可能减一减。

师：想一想，这里有2k项个分式的和，既不是等差数列求和又不是等比数列求和，想证明它们的和小于1，也不能用直接作差比较的方法，我们观察一下这些项的特征，怎么去把它们的和和1去比较呢？

生：

师：（学生口述，师板书过程）很好，从                             时，要证A

设计意图：发现学习理论强调知识的发展过程，教师必须有目的的引导学生经历问题发生以及解决的过程。通过本题学生明确了：1、在进行归纳递推证明的时候，必须先弄清楚从n=k到n=k+1时项的变化规律，然后根据具体的需要来决定用什么方法进行证明;2、证明不等式的时候首选比较法，如果比较法行不通，可以尝试先放缩再比较，把不容易比较的式子放缩成相对简单的式子，从而体验到了使用放缩法的必要性。

问题二变式：（2019浙江卷20题）

第一小题因为计算过程不简单所以学生解答的时候耗时不短，但学生刚刚复习过数列，问题不大，所以笔者用实物投影仪直接投出了某位学生的解答过程。因为本节课是复习数学归纳法，第二小题又是正整数相关的命题的证明，所以学生在证明第二小题时很自然的想通过数学归纳法来证明。涉及到放缩，所以学生在由                          时还是有困难。笔者继续投影学生的证明过程：

学生在这里遇到了困难，很多学生把不等式右边的项移到左边，进行做差比较，虽然只有三项，但是带根号、通分之后化简很不方便，所以大部分学生开始往放缩法转移。继续投影学生的证明过程：

学生方法一：

学生方法二：

设计意图：放缩法是证明不等式最重要的方法之一，把数学归纳法和放缩法双剑合璧可以极大的简化证明过程，但极其考验学生分析、推理的能力，是学生掌握的一个难点。问题二及变式通过放缩法化零为整，使证明过程简单明了。尤其是变式，它是2019高考题，学生利用数学归纳法证明命题成立时，把不等式化归到几项间比大小，在第二步做差比较行不通时，通过比较、分析，利用适当的放缩达到目的，知道了运用放缩法解题是很自然的过程，其本意是为了更方便比较，放缩法没有想象的那么高大上，同时体验到了数学归纳法以及放缩法的威力，既挑战了高考难题又激发了学习的积极性。

4、师生小结，完成总结提升

之后学生小结师点评并归纳总结。（过程略）

三、课后反思、总结

针对高三一轮复习中数学归纳法的复习，笔者设计了两课时，以上是第一课时的教学设计。在引导学生完成了数学归纳法原理的梳理之后，笔者把重点放在了推动学生探索如何结合分析法、比较法和放缩法来证明归纳递推。第二课时讲评数学归纳法的课后作业，通过评练结合，巩固证明归纳递推的几种重要方法。盲目地搞题海战术会严重影响学生学习的积极性，所以教师必须有的放矢地设计高质量的课堂教学，精选素材，巧设问题，推动探索，潜移默化地培养学生深度学习的能力，为迎战高考夯实基础。笔者有以下几点建议，抛砖引玉。

1、必须引导学生把新授课时没有弄懂的定义、概念、原理理解清楚。数学方法确实很重要，但定义、概念、原理是对事物数量关系和空间形式的本质的描述，是数学方法的基础，教师在一轮复习时切不可急于讲授数学方法，学生只有在掌握了数学知识点的本质后才能掌握方法、灵活地运用方法解题。

2、必须推动学生把新授课时学而不全的知识点、方法探索全面。俗话说得好“成功在于细节”，很多学生对知识点、方法掌握不透不深，导致解题不能得高分、满分，这时候教师一定要巧设问题，引导学生做得出、讲得清。

3、必须推动学生把新授课时没有学过的、比较困难的方法探索透彻。有些知识点、方法新授课时没有涉及到过，本身也比较困难，那么在复习课的时候就该把这个知识点、方法通过具体问题、情境，辩证、联系地讲练清楚，使学生明确其产生的来龙去脉以及使用方法。

4、必须强调知识点、方法间的联系，从而形成知识体系。数学的知识点是相互联系的，教师在上复习课的时候切忌一节课只涉及一个知识点，应该把涉及到的知识点间的联系讲解清楚，进行整体教学，使学生对该系列的知识点有全面的理解，从而形成体系。

5、必须引导学生养成深度思考、全程参与的习惯，进而深度理解。高三复习时间紧任务重，有些教师为了能够讲解更多的题目采取了“满堂灌”的方法，这是极不可取的，深度学习强调学生学习的过程，通过教师的引导，学生只有亲身经历问题的提出以及解决的过程，学生自己能够讲出来、讲透彻，才可能对问题的本质有所了解，才能真正掌握知识、方法。

本文最后，以张金良先生的话结尾：“在现实课堂教学中，如何在有限的教学时间内引导学生做到深度学习确实不易，既要完成既定的教学任务，又要让学生尽量充分地去体验学习的过程，这是一线教师开展深度学习最难解决的矛盾，首先要求教师要对教学内容进行深度的学习，只有这样才能深度理解教学内容、批判质疑有关问题、揭示问题的本质”[1]。

参考文献：

[1]张金良.构建深度学习课堂 促进数学核心素养的养成[J].中学教研（数学），2019（11）：1-5.