“迭式放缩”与二次型递推数列不等式

黎 平

(浙江省丽水市丽水学院附属高级中学 323000)

递推数列和不等式相结合的问题是高考数学中的热点和难点题型，2015-2017浙江高考数学试卷的压轴解答题都是这类问题.解决这类问题的关键是巧妙地进行不等式的放缩.实际上，递推数列不等式的放缩有自身的特定方法和技巧，这样的方法技巧与迭加公式和迭乘公式有密切的关系.

一、迭加公式和迭乘公式与递推数列不等式

迭加公式an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1),

递推数列中由递推关系出发进行适当的变形可得

迭加型：an-an-1≤f(n),

这两类最基本的递推关系，对于迭加型递推关系可结合迭加公式进行放缩

这种放缩方法称为迭加放缩.

对于迭乘型递推关系可结合迭乘公式进行放缩

这种放缩方法称为迭乘放缩.

迭加放缩和迭乘放缩是递推数列不等式中两种最重要的放缩方法，这两种放缩方法可统称”迭式放缩”.

二、二次型递推数列不等式与迭式放缩

1.二次型递推数列与迭加放缩

又由an=(1-an-1)an-1，得

an=(1-an-1)(1-an-2)·…·(1-a1)a1>0.

2.二次型递推数列与迭乘放缩

⟹an+1+m=p(an+m)(ak+k)

其中对式子an+k要进行范围的估计,此为迭乘放缩.

所以