数学核心素养下的大单元结构化教学设计

[摘  要] 平面向量作为高中数学的核心概念，集数、形于一身，是数形结合的最好体现，它沟通了代数、几何、三角之间的联系，是高考重点考查内容.文章中笔者根据自己的课堂教学实践来谈平面向量的单元复习，使平面向量复习做到既能梳理巩固已学知识，又能发展数学思维，让学生从中体会研究数学对象的心路历程，领悟用数学的观点看待和认识世界的思想真谛.

[关键词] 平面向量;单元复习课;大单元结构化教学

任何系统都有结构，系统只有开放，与外界有信息交换，才可能使结构有序. 数学教学也不例外.数学概念是反映数学对象本质属性的一种思维形式，是导出数学定理、法则的基礎. 准确领悟核心概念是学生获得系统数学知识的源泉，是学好高中数学的关键. 数学核心概念作为一个本源概念时，当它蕴含着重要的数学思想时，它所涉及的内容将更为广泛，有着不可或缺的指引作用;当它预示着数学方法的重大变革时，主要体现在方法的应用上.具体地说，数学核心概念嵌入在完整的概念体系中，起着核心关键作用，广泛地与其他的概念联系在一起，建构起良好的数学知识结构，形成完整有序的系统. 教学时要厘清数学概念的发展脉络，树立“整体观”和“系统观”.

平面向量作为高中数学的核心概念，与函数、数列、解析几何、立体几何、不等式等知识都有内在联系，是高考重点考查内容. 如何使平面向量复习做到既能梳理巩固已学知识，又能发展数学思维、领悟数学思想，是摆在教师面前的一道难题. 本文笔者就自己的课堂教学实践谈谈平面向量的复习. 笔者以为本节课的复习，重要的不是回顾向量的形式化定义及几个相关概念，而是再次体会获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有本源性质的再认识过程.

平面向量单元复习（一）

执教：秦国清

学习目标

理解平面向量中的相关概念;掌握平面向量的基本运算;体会向量研究问题的思想方法.

学习过程

活动一：复习回顾

教者提问向量概念，举实例引入复习.

向量是刻画现实世界的重要数学模型，与实际生活的紧密联系，在解决实际问题中有广泛应用，生活中有向量，生活中用向量. 让学生感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题.

1. 已知点D为△ABC边BC的中点，设 =a， =b，则 =________. （用a，b表示）

2. 已知a=（1，0），b=（2，1），若ma-b与a+3b共线，则实数m=________.

3. 已知e1，e2是夹角为 π的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a⊥b，则k的值为________.

4. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P1（x1，y1）是单位圆上的一点，P，P2分别是单位圆与x轴正半轴、y轴负半轴的交点，设∠POP1为α. 若α= ，则 · =________.

活动一的实施，为学生课前预习，并小组讨论，形成章节知识框架，课上小组代表展示，其他小组成员补充，教师总结提升完成.

设计意图：活动一设置了4个小题，帮学生复习回顾本章节的基本知识. 在复习回顾过程中要引导学生领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系.要使学生从中体会到认识一个数学概念的基本，为学生自觉、有序、有效地研究向量问题提供固着点.

第1、2小题在明确向量的概念特征后，着重从向量几何表示和代数表示出发，通过向量的加、减、数乘等线性运算，如利用向量的数乘运算可以刻画平行和伸缩，引出向量共线定理;通过向量的加、减的基底运算引出平面向量基本定理. 通过研究向量运算，可以帮助学生发现运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索.从数到字母，到向量运算又是一次跳跃.从而加深和拓展了学生对数学运算的理解，有助于学生发展运算能力和推理能力，让其体会到数学运算在建构数学系统中的作用.

第3、4小题通过研究向量数量积运算的两种方式（基底和坐标），进一步强调向量有方向，可以刻画角度、直线、平面等几何对象及它们的位置关系;向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题运算及其规律.而向量的数量积运算可以刻画垂直、角度、距离、三角函数等.当然长度、角度等度量问题只有有向线段是不够的，必须通过向量坐标化的代数运算，使相关的运算化归为实数的运算，特别指出的是，平面向量基本定理转化为直线坐标系、平面直角坐标系、空间直角坐标系的基本定理，它们实即解析几何发明的本源之一. 至此，向量作为数形转化桥梁的核心作用跃然纸上.数形结合不但是探究数学的思想，解决数学问题的方法，其实也是数学命题的一种根据和来源，更应是探索创新的思维方式.

另外，第4小题的选择着重于向量的应用研究，形式上题目的选取后面有三角形、四边形，选择一个圆作为背景，选题更全面.更主要的是向量的应用为解决三角形问题（平面问题）提供新的视角.教材在安排必修4的内容，非常巧妙精致，三个章节之间存在紧密的联系，向量位于本模块中间章节，充分体现向量双重特性，同时为利用向量数量积推导出三角恒等变换核心（知识的起点）——两角差的余弦公式奠定基础，其中向量运算中的“算两次”的思想方法得以体现.

知识梳理

如图2所示：

设计意图：知识梳理时可以从三个方面展开，一是向量概念的本质特征（大小和方向）引发后面的运算以及应用的方式、方法，上面已谈到. 二是从整体的角度，研究与向量密切联系数学概念，它们通常都是以一定的数学思想或方法联系在一起的，如三角函数与向量的交汇，促成了向量、坐标、复数三位一体，使相关的运算化归为实数的运算;明晰了长度与角度的转化联系，促成了极坐标与直角坐标的互化;使直线斜率（倾斜角）等解析几何问题的研究更趋于本质化. 三是从学生获得研究数学新对象的基本方法入手，通过类比的方法， 引导学生找到用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，突出了数学学科教学的根本价值——学科育人.

活动二：典型例题

例1：如图3，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=2，且 = ， =  ，求 · 的值.

（可在例1的基础上，即时变角，把直角变为其他特殊角，再让学生研究）

变式1：如图4，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3 ， · =2，求 · 的值.

设计意图：变式1和例1在形式上都是基本几何图形，从小题1的三角形，到例题的矩形，再到变式中的平行四边形，把角的条件、边的条件逐步换掉后，在陌生背景下再來训练学生，本质上都是研究向量数量积的两种基本方法，力求让高一的学生能够牢固掌握.这也符合高考命题的要求，重要的知识反复考.在这里教者要赋予学生更多地参与学习的机会和权利，让每一个学生在自主独立思考的基础上，鼓励学生多思善问，让学生在鼓励中不断调整思维方向. 要给他们充分的时间和机会表达、反思，辨析和体会，让学生养成自动矫正、调节自己的学习行为的能力.使学生的学习始终处于一种有准备的状态，更容易进入“自主学习”的境界.培养自觉、自主、自立的学习者，为学生的终身学习打下坚实的基础.

例2：在△ABC中，∠C=60°，AC=1，BC=2，2 = ，求CE的长.

设计意图：笔者认为，本题能完美地展示解决向量问题的各种方法，但对于高一学生来讲，主要还是从几何和代数的视角，紧紧抓住基底法和坐标法，夯实基础. 教者要站在学生的立场，贴近学生的思维发展区，剖析反映数学知识，演化逻辑的知识序、反映学生学习心理活动的思维序、反映教学流程时空推进的教学序，在“三序合一”中化知为识、化识为能、化能为慧.

变式2：在△ABC中，∠C=60°，AC=1，BC=2，2 = ，D是BC的中点，AD与CE交于点O. 求 .

拓展：如图5，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O. 若 · =6 · ，求 的值.

设计意图：变式2、拓展和例2的解决，从复习回顾的第1小题起就埋下了伏笔，从三角形的中线到三等分点，再到中线的交点——重心，再到变式和拓展，一以贯之的是解决问题的思想和方法，利用向量的加法、减法运算和基底思想很快解决问题，当然也可以利用平面几何的知识解决.

需要强调的是，作为章节复习课，选题必须典型，本节课的选题都是来自课本和高考卷，也有适当的变化.这样解题的入口宽，跟高速公路一样四通八达. 所以变式2、拓展毫无疑问也可以建立坐标系，代数化运算，另外变式2是拓展的特例，拓展是变式2的一般情况. 在向量问题解决方法中特殊化、坐标化也是很常见的.

最后要说明的是，教者要根据课堂的节奏把控教学进度和内容，不要图“高、大、全”，拓展训练来不及可以在后面再探讨. 由于是章节复习的第一课时，我们在梳理完知识框架和发展脉络后，典型例题的研究主要选择求解向量的模长和数量积，下一堂课将在本堂课的完成基础上，解决一些角的问题，以进一步完善章节复习体系.

活动三：课堂小结

设计意图：通过师生共同的复习回顾，让学生进一步感受到：向量是代数的对象，向量是几何的对象，向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁，是重要的数学模型，有着广泛的应用.教者要梳理课堂教学发展的脉络，发掘真实的、灵动的、丰富多彩的高中数学课堂，让学生从中体验数学家研究数学对象的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛.教师要挖掘数学及数学教学的价值，让学生在掌握基本的数学知识技能和思想方法的同时，学会生存、生活和适应社会发展的智慧.

南通教科院曾荣教授认为，本堂课成功地完成了单元复习课的两项目标：知识梳理结构化和例题应用综合化. 既明晰了核心概念的来龙去脉、生长生成，让学生通透知识;又以“合理的选择、适度的变化和充分的活动”让例题教学变得精致而深刻.更重要的教者能挖掘所蕴含的数学思想方法，让学生学习时逐步加深理解，生发出研究数学对象，解决数学问题的方法策略.

对于本节课的“活动单”设计，笔者四易其稿，精益求精. 在随后的课堂教学中顺利达成预期目标，设计意图很好的得以实施. 教学中笔者还发现，两组例题、变式教学时类比、比较、循序渐进进行，效果更佳，更能让学生形成研究向量问题的方法和路径.

必须强调的是，课堂设计和教学要建立在对课程标准、教学内容和教材有深刻理解，对学生的认知水平有较好的把握上，使得知识内容序与学生的学情认知序结合形成有效的教学序;同时以大概念或大观念统领教学的各要素，形成主体协同、要素关联、学力生长、素养聚焦、系统优化的教学结构，建构层级化、关联性的课堂教学系统. 这就是笔者所在学校正在开展的“大单元结构化教学”模式.

教学中教者要合理设问、适时点拨、直达思维的关键处;让学生经历过程、突破难点、直击矛盾的冲突处;要重视思维的自然流露，体现数学的本质特征，关注思维的过程与方式，让数学思维“看得见、听得见”;要站在系统的高度，提炼思想，升华观点. 这样学生将来不管从事什么工作，当面对工作、生活中的困难时，即使忘掉了所学的数学知识，仍然可以从数学的角度，通过深深铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法迅速抓住关键点，有条理地观察、分析、论证，随时随地解决问题. 笔者认为，这才是我们要的数学核心素养，才是学科育人.