多项式阶数对高程异常拟合的精度影响研究

李睿，林鹏

(安徽建筑大学 土木工程学院，安徽 合肥 230601)

0 引言

水准测量的外业工作量较大，尤其在山区，逐站传递的作业方式导致作业效率低。GNSS(Global Navigation Satellite System)具有定位精度高、可全天候作业以及适应性强等特点被广泛应用到各个领域。由GNSS 获得的大地高是相对于椭球面的高程系统，与以似大地水准面为基准的正常高之间存在高程异常的影响，导致卫星定位技术获取的大地高直接应用于实际存在一定的限制，周利利[1]提出利用数字摄影测量来获取高程数据，是高程测量常用的方法之一。

为了减小高程异常的影响，通常要进行高程异常拟合，将大地高转化为正常高。目前，常采用的方法有重力测量法、数值逼近法、神经网络法、多项式拟合法等多种方法[2]，其中采用多项式进行高程异常拟合是常采用的方法。王佳丽等[3]研究了拟合模型的选取问题，结果表明相关平面精度最优。倪屾[4]研究了多项式拟合对提高高程转换精度及效率的影响，且有利于提高测量精度和降低外业测量的工作量。王雪林等[5]提出了采用多种高程异常拟合方法进行组合，相比于单一拟合方法，提高了外推点的拟合精度。尤中凯[6]分别对比了基于多项式以及三次样条拟合高程异常结果，并采用EGM2008 模型的移去-恢复法的结果做参考，结果表明多项式和三次样条拟合可以达到四等水准的精度。高长胤[7]针对经典最小二乘法的不足，提出使用整体最小二乘法进行高程拟合。杨德明[8]针对多项拟合点的选取问题进行了研究，结果表明参与拟合的点位应尽量多选取测区外围的点位，以达到精化局部曲面的目的。赵全哲等[9]研究结果表明通过建立多项式模型来求解拟合参数可以满足目前大部分工程需求。目前大多数测量单位没有条件使用重力测量等方法测量正常高，过去通常采用几何水准测量的方法，但这种方法对时间和成本等方面要求较高，GNSS 技术的出现为测量正常高提供了新思路。使用GNSS 测高虽然精度不如水准测量，但极大地提高了效率和节省成本，而多项式拟合法作为GNSS 测高中最常用的方法之一，研究多项式在拟合中的精度影响进而选取合适的多项式提高拟合精度，能够提高经济效益，具有重大意义。

综上所述，文章将基于多项式进行高程异常拟合，采用Gauss-Markov 模型求解多项式参数，通过对拟合结果的精度分析，研究多项式阶数对高程异常拟合的影响。

1 实验原理

1.1 高程系统

高程系统[6]是指不同的基准线和高程基准面所定义的高程体系，最广泛使用的有正高系统、正常高系统和大地高系统。虽然每个系统都是独立的，但可以通过数学公式进行一定的转换。在不考虑垂直偏差的情况下，正高Hg、正常高Hr和大地高H 有如下关系：

式中N 为大地水准面差距(大地水准面与参考椭球面的差值)，ζ 为高程异常(似大地水准面与参考椭球面的差值)。

1.2 经典最小二乘法

GNSS 高程拟合中常用经典最小二乘法进行平差解算，经典最小二乘仅考虑观测向量的误差而忽视系数矩阵的误差[7]。实验中使用的是采用GM模型(Gauss-Markov)的经典最小二乘，具体如下：

式中，L 为观测向量，v 为观测向量的随机误差矩阵，A 为已知参数的系数矩阵，X 为未知参数向量。

式中，E(v)为数学期望，D 为观测向量的协方差矩阵，σ0为单位权方差，Q 为权逆阵，P 为权阵。

根据最小二乘平差准则：

根据极限求导原理：

联立公式(2)和公式(5)可得：

整理后可得未知参数向量X 的解：

1.3 基于多项式的高程异常拟合方法

地面点位的高程异常ζ 与其平面坐标(x，y)构成函数关系式[7]：

式中f(x,y)为多项式函数，其一阶、二阶及三阶形式如下：

式中(a0,…a9)为模型参数。

若区域内有n 个测量点，其中有m 个已知点，根据Gauss-Markov 模型构建误差方程：

式中，V 为改正数，A 为已知参数的系数矩阵，X 为未知参数向量，ζ 为高程异常值，具体形式如下：

故基于多项式的高程异常拟合参数的最小二乘解为：

整理公式进行计算后，可求得模型参数，再将某待定点的平面坐标位置代入上文中三种拟合模型对应的公式，即可求得该点的高程异常。

2 实例分析

以某矿区GPS 水准联测数据作为实测数据，测量中的总观测数n 为29 次，详见表1。

选择GS01-GS14 作为拟合点，用于拟合多项式参数，将GS15-GS29 作为检核点，用于检核多项式拟合的精度，分别采用一阶、二阶以及三阶多项式进行高程异常拟合。

三种拟合模型的高程异常值和拟合残差如图1、图2 所示。

从图中可知，三阶多项式拟合成果出现较大波动，误差为分米级，最大残差值达到76 cm，拟合效果较差，而其他两种多项式拟合波动较小，误差仅为毫米级，拟合效果良好。对比三种模型的拟合残差，一阶多项式拟合与二阶多项式拟合互有优劣且比较接近，需对模型的精度进行分析。模型精度分为内符合精度和外符合精度，有研究表明，随着多项式曲面函数的拟合阶数增加，内符合精度随之提高，表明阶数的增加对公共点的拟合精度有所改善，但并非随着多项式阶数的增加外符合精度也在提高[8]。

表1 某矿区GPS水准联测数据

通过计算检核点的外符合精度来评价多项式阶数对高程异常拟合结果的影响，外符合精度的计算公式如下：

式中，v’为检核点残差值；r 为检核点个数。计算得三种拟合模型的外符合精度如表2 所示：

图1 三种拟合模型拟合高程异常值

图2 三种拟合模型拟合残差

表2 三种拟合模型外符合精度

对比三种拟合模型的外符合精度，三阶多项式拟合模型的外符合精度较差且与其他两种模型相差较大。外符合精度显示，二阶多项式拟合的精度优于其他两种拟合模型。进一步计算和比较三种拟合模型的残差平方和，如表3 所示：

表3 三种拟合模型的残差平方和

残差平方和显示二阶多项式精度较优，而三阶多项式精度较差，符合外符合精度的成果。再找出三种拟合模型残差的最大值和最小值并进行比较，如表4 所示，结果显示二阶多项式的最大残差值和最小残差值都最优。

分析三种拟合模型高程异常拟合成果，三阶多项式拟合的波动较大，一阶多项式拟合和二阶多项式拟合的波动较小。比较三种拟合模型拟合残差的最值，三阶多项式拟合模型的最大残差值明显大于其他两种模型。无论是外符合精度还是拟合残差的最值，二阶多项式拟合模型都表现最优，并且有文献指出，拟合多项式的阶数越低，法方程的系数矩阵越好[3]，选取较低的多项式阶数，可以避免因系数矩阵过大而引起法方程病态，从而一定程度的提高拟合精度。

表4 三种拟合模型拟合残差最值

3 结论

文中采用一阶、二阶以及三阶多项式对同一高程异常观测数据，使用Gauss-Markov 模型对多项式参数进行解算，利用解算的参数外推检核点的高程异常值，并与实测值相比，对不同阶数的多项式拟合结果进行了精度分析。结果表明：高程异常的拟合结果并不随多项式的阶数提高而提高，相比与一阶和三阶的拟合结果，二阶多项式拟合精度较高，外推检核的误差较小，误差可达毫米级。因此，在实际应用时建议采用二阶多项式作为高程异常拟合的函数模型。