非齐度量测度Morrey-Herz空间上的Marcinkiewicz积分算子及其交换子

宋福杰, 赵 凯

(1. 青岛黄海学院 数理教学部, 山东 青岛 266427; 2. 青岛大学 数学与统计学院, 山东 青岛 266071)

双倍条件在经典的调和分析理论中具有重要作用. 但研究表明, 在非双倍条件下,n上许多经典的函数空间理论以及奇异积分算子有界性的结论依然成立[1-5]. 目前, 关于非齐度量测度空间以及奇异积分算子在其上的有界性研究已得到广泛关注[6-10]： 文献[6]引入了一类满足几何双倍条件和上双倍条件的非齐度量测度空间, 这类空间同时包含了齐型空间和非双倍测度空间; 文献[7-8]引入了非齐度量测度空间上的Hardy空间, 并讨论了一些等价刻画及奇异积分算子的有界性等. 文献[11-14]对n上的Herz型空间进行了系统研究, 主要包括Herz空间、 Herz型Hardy空间、 Morrey-Herz空间等, 并在Herz型空间及其上许多奇异积分算子的有界性问题方面取得了丰富的成果. 基于上述结果, 文献[15]引进了非齐度量测度空间上的Herz空间和Herz型Hardy空间, 并讨论了其等价刻画、 一些相互关系以及奇异积分算子的有界性等.

基于齐型空间的结果, 在非齐度量测度空间上, Lin等[16]引进了一类Marcinkiewicz积分算子, 并讨论了其几个有界性的等价结果. 本文主要讨论非齐度量测度空间上Marcinkiewicz积分算子及其与RBMO函数生成的交换子在引进的Morrey-Herz空间中的有界性, 应用非齐度量测度空间的性质, 特别利用η-弱反向倍条件, 证明了Marcinkiewicz积分算子及其交换子在Morrey-Herz空间有界.

1 预备知识

定义1[1]设(X,d)是一个度量空间, 如果存在某个正整数N0, 使得对任意的球B(x,r)⊂X(其中x∈X,r∈(0,∞)), 都存在至多N0个球{B(xi,r/2)}i构成B(x,r)的一个覆盖, 则称度量空间(X,d)是几何双倍的.

引理1[6]若(X,d)是一个度量空间, 则下列结论等价:

1) (X,d)是几何双倍的;

2) 对任意的ε∈(0,1)和任意的球B(x,r)⊂X(其中x∈X,r∈(0,∞)), 存在B(x,r)的一个有限球覆盖{B(xi,εr)}i, 覆盖的基数为N0ε-n0,n0∶=log2N0;

3) 对任意的ε∈(0,1)和任意的球B(x,r)⊂X(其中x∈X,r∈(0,∞)),B(x,r)包含在至多N0ε-n0个互不相交的球{B(xi,εr)}i中;

定义2[6]如果μ是X上的Borel测度, 并存在一个控制函数λ: X×(0,∞)→(0,∞), 使得对每个x∈X,λ(x,r)关于r都单调不减, 且存在一个依赖于λ的正常数C(λ), 使得对任意的x∈X和r∈(0,∞), 均有

μ(B(x,r))≤λ(x,r)≤C(λ)λ(x,r/2).

(1)

则称度量测度空间(X,d,μ)是上双倍的.

(2)

引理3[4]上双倍条件等价于弱增长条件: 存在r的非减控制函数λ(x,r): X×(0,∞)→(0,∞), 以及只依赖于λ的正常数C(λ)和ε>0, 使得：

1) 对于所有的r∈(0,∞),t∈[0,r],x,y∈X和d(x,y)∈(0,r), 均有

|λ(y,r+t)-λ(x,r)|≤C(λ)[(d(x,y)+t)/r]ελ(x,r);

2) 对于所有的x∈X和r∈(0,∞), 均有μ(B(x,r))≤λ(x,r).

如果度量测度空间(X,d,μ)既满足几何双倍条件又满足上双倍条件, 则称其为非齐度量测度空间. 以下总假设(X,d,μ)是一个非齐度量测度空间, 并且控制函数λ满足式(2).

定义3[6]令α,β>1, 若μ(αB)≤βμ(B), 则称球B⊂X是一个(α,β)-倍球, 其中对所有的球B∶=B(cB,rB)和ρ∈(0,∞), 均有ρB∶=B(cB,ρrB).

定义4[6]设η>0, 若对所有的r∈(0,2diam(X ))和a∈(1,2diam(X )/r), 均存在一个只依赖于a和X的常数C(a)>1, 使得对所有的x∈X, 均有λ(x,ar)≥C(a)λ(x,r), 并且

(3)

则称控制函数λ满足η-弱逆倍条件.

易知, 若η1<η2,λ满足η1-弱逆倍条件, 则λ也满足η2-弱逆倍条件.

定义5[6]对于任意两个球B⊂S⊂X, 定义非齐度量测度空间(X,d,μ)上的系数

对于任意整数k, 记Bk={x∈X:d(0,x)<2k},Ck=BkBk-1, 且χk=χCk.

(4)

其中

(5)

定义8[16]令ρ∈(1,∞). 如果存在常数C, 使得对任何球B⊂X和数fB, 均有

(6)

且对任意两个球B和S满足B⊂S⊂X, 有

|fB-fS|≤CKB,S.

(7)

文献[16]研究表明, RBMO(μ)空间与ρ无关. 因此, 本文选取ρ=2.

2 Marcinkiewicz积分及主要结果

(8)

且对任意的y,y′∈X, 有

(9)

则相应于核K(x,y)的Marcinkiewicz积分算子定义为

(10)

引理4[16]假设(X,d,μ)是一个非齐度量测度空间, M是一个Marcinkiewicz积分算子, 则下列结论等价:

1) 对于某个p0∈(1,∞), M在Lp0(μ)上是有界的;

2) M是L1(μ)到L1,∞(μ)有界的;

3) 对于q>1, M在Lq(μ)上是有界的;

4) M是H1(μ)到L1(μ)有界的.

对于核函数K(x,y), Hömander型条件[9]为

(11)

Hörmander型条件(11)比条件(9)稍强[9], 并且如果核函数K(x,y)满足式(8)和式(11), 则由式(10)定义的Marcinkiewicz积分算子M和函数b生成的交换子

[M,b]f(x)∶=b(x)Mf(x)-M(bf)(x),x∈X,

(12)

有如下结论.

引理5[9]假设(X,d,μ)是一个非齐度量测度空间, M是一个Marcinkiewicz积分算子, 其中核函数K(x,y)满足式(8)和式(11). 若b∈RBMO(μ), M在L2(μ)上有界, 则交换子[M,b]在Lq(μ)(1

下面给出本文的主要结果.

对于I2, 由引理4知M在Lq(μ)上有界. 因此,

于是由不等式

(13)

以及非齐度量测度空间上Morrey-Herz空间的定义, 并应用η-弱逆倍条件, 可得

对于I1, 注意到若j≤l-1,x∈Cl,y∈Bj, 则x∈X2Bj, 有d(x,y)～d(x,0)且λ(x,d(x,y))～λ(0,d(x,0)). 因此, 由定义9并应用Hölder不定式, 有

再由式(13), 并注意到非齐度量测度空间上Morrey-Herz空间的定义, 应用η-弱逆倍条件, 得

证毕.

对于J2, 由题设及引理5知交换子[M,b]在Lq(μ)上有界, 从而

再利用式(13), 并注意到非齐度量测度空间上Morrey-Herz空间的定义, 应用η-弱逆倍条件, 有

对于J1, 同理注意到此时d(x,y)～d(x,0)且λ(x,d(x,y))～λ(0,d(x,0)), 由定义9, 应用Hölder不等式, 并利用RBMO函数的性质以及式(13), 可得

再应用式(13), 并注意到非齐度量测度空间上Morrey-Herz空间的定义, 利用η-弱逆倍条件, 得

证毕.