关于Hermite矩阵的若干不等式*

宋 园

(滁州职业技术学院，安徽 滁州 239000)

众所周知，矩阵不等式是矩阵论中的一个重要分支，在自然科学研究、工业生产和社会经济等领域都有广泛的应用.由于矩阵的乘法不满足交换性，因此实数不等式能推广到矩阵中的很少.而矩阵的迹要好得多，最为经典的实数不等式如Young不等式、Hölder不等式、Minkowski不等式及它们的推广形式，都被应用到矩阵和算子的不等式中.笔者拟利用Neumann不等式和已知的实数不等式，将2个简单的实数不等式推广到矩阵迹和范数领域.

1 预备知识

注1矩阵迹满足线性，即tr(αA+βB)=αtrA+βtrB.

引理1对于任意大于等于0的实数x，不等式x3+27≥3x2+9x成立.

证明因为

(x3+27)-(3x2+9x)=(x3-3x2)-9(x-3)=x2(x-3)-9(x-3)=

(x2-9)(x-3)=(x-3)2(x+3),

又因为x≥0，所以(x-3)2(x+3)≥0，即(x3+27)-(3x2+9x)≥0.

引理2设a>0,b>0，则a3+b3≥a2b+ab2，当且仅当a=b时取等号.

证明因为a>0,b>0，a3+b3>0,a2b+ab2>0,所以

当a=b时取等号，于是a3+b3≥a2b+ab2.

2 主要结果及其证明

定理1设A为n阶半正定Hermite矩阵，则有tr(A3+27In)≥3trA2+9trA.

定理2设A为n阶半正定Hermite矩阵，则有‖A3+27I‖2>‖3A2+9A‖2.

又因为

由引理1，得

所以‖A3+27I‖2>‖3A2+9A‖2.

定理3设A为n阶半正定Hermite矩阵，X为任意n阶复方阵，则有‖A3X+27X‖2>‖3A2X+9XA‖2.

证明设存在酉矩阵U使得A=U*ΛU,Λ=diag(λ1,λ2,…，λn).令Y=UΛU*,则有

由引理1，得

因此‖A3X+27X‖2>‖3A2X+9XA‖2.

定理4设A，B为n阶正定Hermite矩阵，则有trA3+trB3≥trA2B+trAB2，当且仅当A=B时等号成立.

定理5设A，B为n阶正定Hermite矩阵，X为任意n阶复方阵，则‖A3X+XB3‖2≥‖A2XB+AXB2‖2，当且仅当AX=XB时等号成立.

证明设存在酉阵U和V使得A=U*ΛU,Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，B=V*MV,M=diag(μ1,μ2,…,μn)，且A3=U*Λ3U，B3=V*M3V.设Y=UXV*,由引理2，得

又因为

所以‖A3X+XB3‖2≥‖A2XB+AXB2‖2.

由引理2可知，等号成立⟺(λi-μj)yij=0⟺ΛY=YM⟺ΛUXV*=UXV*M⟺U*ΛUXV*V=U*UXV*MV⟺AX=XB,所以当且仅当AX=XB时等号成立.

定理5中，当X为单位矩阵时，有如下结论：

推论1设A，B为n阶正定Hermite矩阵，则‖A3+B3‖2≥‖A2B+AB2‖2，当且仅当A=B时等号成立.