考虑剪力滞效应影响的箱形梁弯曲剪应力分析

张玉元，张元海，张 慧

(兰州交通大学 土木工程学院，兰州 730070)

目前国内外学者对箱梁弯曲变形已开展了比较深入的研究，同时也取得了不少研究成果，特别是对箱梁剪力滞效应的研究，其部分研究成果已被纳入桥梁设计规范.文献[1-3]首次提出运用能量变分法研究矩形箱梁的剪力滞效应以来，国内学者运用此方法开展了特殊支承体系及变截面箱梁的剪力滞效应理论研究[4-7].众所周知箱梁的剪力滞效应仅是对截面正应力开展的研究[8-10]，但对剪力滞翘曲剪应力分布规律及其对初等梁剪应力的影响研究却甚少，因此开展翘曲剪应力的研究具有一定的理论意义和工程意义.

现有文献对弯曲剪应力的计算方法和规律研究主要以初等梁剪力流分布状态、多室箱梁腹板剪力流分配等方面开展的.宋光吉[11]从力学角度推导了斜弯桥的剪力流计算公式，为简化剪应力计算和讨论其影响提供了新思路.李丽园等[12]在分析弯曲剪力流的基础上，将剪切变形纳入翘曲纵向位移模式，研究了截面尺寸参数对剪力滞效应的影响.王强等[13]将多室箱梁弯曲剪力流计算公式应用于钢箱梁，并分析了截面几何参数对腹板剪力流分配的影响.乔朋等[14]以单箱双室和三室波形钢腹板组合箱梁为例，通过有限元建模和试验等方法，研究了横向对称荷载和偏载作用对钢腹板剪应力分配的影响研究.武海鹏等[15]从弹性微元段的受力平衡出发，导出适应于变截面波形钢腹板箱梁的剪应力计算公式，并分析了多种荷载作用下变截面钢腹板的剪力传递效率.

本文运用弹性力学方法及位移协调方程建立考虑剪力滞效应影响的箱梁弯曲剪应力计算公式，以集中荷载作用下的简支箱梁为例，研究翘曲剪应力沿截面的分布规律及其在初等梁剪应力中所占比重，进而对工程设计中计算弯曲剪应力时是否考虑剪力滞效应的影响提供借鉴.

1 初等梁弯曲剪应力

如图2所示，在箱梁截面上任意点P处取壁厚为t的微元体ds×dz，按照初等梁应力状态进行受力分析，建立正应力和剪力流平衡微分方程，如下：

(1)

上式对s积分可得：

(2)

式中：qA为箱梁横截面顶板中点切口处的常剪流.

将初等梁弯曲正应力计算公式σ0=My/Ix和弯矩与剪力之间的微分关系代入式(2)中可得：

(3)

闭口截面箱梁在切口处应满足位移协调条件，即切口处无剪应变∮γds=0，将初等梁剪力流表达式(3)代入该方程可得常剪流表达式，如下：

(4)

将常剪流计算公式(4)代入式(3)可得：

(5)

(6)

根据剪力流与剪应力之间的关系，可导出初等梁剪应力τ0计算公式，即：

(7)

由于箱梁横截面静面矩关于y轴反对称，因此取箱梁y轴左半部分为分析对象即可.根据积分起止点将左半截面以形心轴为界分为上下两部分，则截面左半部分任一点处的静面矩公式可表达为

形心轴以上部分：

在1→2段：Sx=-hutus;

在3→2段：Sx=hutus;

形心轴以下部分：

在6→5段：Sx=-hbtbs;

由初等梁剪应力计算公式可知，上、下翼板剪应力沿水平方向按照一次线性函数分布，其合力为零，两侧腹板沿竖向呈二次抛物线分布，其合力方向与剪力一致，可见腹板承担了竖向剪力.为了验证腹板剪应力合力为竖向剪力，下面采用积分法予以证明.

(8)

式中：Qf为横截面腹板剪应力的合力.

2 剪力滞翘曲剪应力

将图2按照剪力滞翘曲应力状态分析，则翘曲正应力σω和剪力流qω之间的微分关系可表达为

(9)

上式对s积分可得：

(10)

式中：qAω为剪滞翘曲变形时箱梁横截面顶板切口处的常剪流.

qω=Ef‴Sω+qAω.

(11)

同样，对于剪力滞翘曲变形而言，顶板切口处无翘曲剪应变∮γωds=0，将翘曲剪力流表达式代入该方程可得常剪流表达式，如下：

(12)

将剪滞翘曲常剪流计算公式(12)代入剪流计算公式(11)可得：

(13)

翘曲中心以上部分：

翘曲中心以下部分：

qω=Ef‴Sω,

(14)

同理，可给出翘曲剪应力τω计算公式，即：

(15)

剪滞翘曲剪应力计算公式(15)可知，只要知道截面翘曲静面矩和剪力滞附加挠度的计算公式，即可得到截面任一点的翘曲剪应力.对于剪力滞附加挠度的求解，可应用文献[16]中方法直接导出.

3 简支箱梁剪应力解析解

如图3所示，简支箱梁受集中荷载P作用，根据文献[16]建立的剪力滞附加挠度微分方程，可给出附加挠度f(z)的一般表达式，如下：

(16)

式中：下标1、2代表集中荷载作用点左、右梁段内的挠度和应力.

为了确定上式中的8个参数，需利用以下8个边界条件和连续性条件：

利用以上8个边界条件确定常数C1～C8后，即可得到箱梁剪力滞附加挠度的计算公式，如下：

(17)

当集中荷载P作用于跨中截面时，a=b=l/2，其附加挠度f(z)表达式如下：

(18)

式(18)求三阶导数并代入翘曲剪应力表达式(15)可得简支箱梁截面任一点的翘曲剪应力表达式如下：

(19)

将翘曲剪应力和初等梁剪应力叠加后得到箱梁截面任一点处的弯曲剪应力表达式，如下：

(20)

4 算例分析

运用本章导出的等截面初等梁和剪滞翘曲剪应力计算公式计算并绘制l/4截面剪应力横向分布图及截面关键点剪应力纵向分布图；借助有限元ANSYS软件中的shell63单元，对该箱梁模型进行有限元数值分析，共划分划分6 422个节点，6 400个单元，提取l/4截面计算点的剪应力和关键点剪应力沿纵向的计算值，将本文解和ANSYS解一并画在图中，如图5～7所示，相应关键点应力对比如表1～2所列.

图5示出了等截面简支箱梁l/4截面翘曲剪应力的横向分布图，以x轴正坐标(左半截面)为例来揭示翘曲剪应力沿横向的分布规律.上翼板翘曲剪应力有正有负，在上翼板与腹板交汇处以左区域表现为逆时针，以右部分表现为顺时针，在x=0.06 m处顺时针翘曲剪应力达到最大，在x=0.14 m处逆时针翘曲剪应力达到最大；底板翘曲剪应力表现为顺时针，同样在x=0.06 m处达到最大；翘曲中心附近的腹板区域翘曲剪应力表现为逆时针，其余部分表现为顺时针，腹板下缘翘曲剪应力几乎是上缘翘曲剪应力的4倍.

图6示出了等截面简支箱梁l/4截面剪应力横向分布图，结合表1可以看出：初等梁剪应力和总剪应力与ANSYS数值解吻合良好，进而验证了本文方法的正确性.对于上翼板而言，在x=0.06 m处，翘曲剪应力与初等梁剪应力的比值为0.72%；在x=0.14 m处，二者比值为2.62%；对于底板而言，在x=0.06 m处，二者比值为2.11%；在腹板下缘处二者比值为0.85%；由此可见，翘曲剪应力在初等梁剪应力中所占比重较小，可忽略不计.翼板初等梁剪应力和总剪应力在横向呈一次线性分布，在腹板与翼板交汇处达到最大；腹板剪应力沿竖向呈二次抛物线分布，在腹板形心处达到最大.

表1 简支箱梁l/4截面计算点剪应力对比

表2 简支箱梁关键点翘曲剪应力纵向对比

图7示出了等截面简支箱梁截面关键点剪应力纵向分布图，结合表2可以看出：翘曲剪应力和总剪应力关于跨中截面反对称；对于翘曲剪应力而言，从数量关系上来看，腹板上缘最小，腹板翘曲中心次之，腹板下缘最大；翘曲剪应力由两侧支点向跨中递增，靠近跨中截面处应力值递增幅度较大，不能客观反映翘曲剪应力的本质规律，究其原因在于跨中作用集中荷载所致.对于总剪应力而言，腹板形心处最大，腹板上缘次之，腹板下缘最小，这一规律与初等梁剪应力规律一致.

5 结论

结合集中荷载作用下的简支箱梁算例得到以下几个结论：

1) 本文运用微元体平衡微分方程和位移协调条件导出了箱形梁的初等梁剪应力和剪力滞翘曲剪应力计算公式，结合文献[16]给出的剪力滞附加挠度微分方程建立了考虑剪力滞效应的简支箱梁弯曲剪应力计算公式.算例分析表明，本文计算结果与有限元数值解吻合良好，从而验证了本文理论的正确性.

2) 弯曲剪应力横向分布研究表明，翘曲剪应力沿横截面流向与初等梁流向相反，仅在腹板翘曲中心区域与初等梁流向一致，可见翘曲剪应力对初等梁剪应力具有一定的削弱作用；剪力滞翘曲剪应力远小于初等梁剪应力，就本算例而言，l/4截面的翘曲剪应力在初等梁中所占比重最大为2.62%.

3) 弯曲剪应力纵向分布研究表明，翘曲剪应力和总剪应力关于跨中截面反对称；对于翘曲剪应力而言，腹板上缘最小，腹板下缘最大，下缘翘曲剪应力几乎是上缘的4倍.