基于学生学习起点分析的几何教学研究——以人教版“认识图形(二)”一课为例

韦欣

“认识图形(二)”是人教版(2013年版)小学数学一年级下册的教学内容，是学生正式学习平面图形的开始。内容分3个课时进行教学：一是在由立体图形描画出平面图形并分类的活动中，让学生初步认识长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆；二是通过同样的平面图形进行拼组的活动，让学生初步体会平面图形之间的关系；三是解决简单的实际问题。

树立以学为中心的理念，教师在备课前把握学生学习起点，思考学生学习起点对教学设计实施的作用与价值，在教与学的活动中更好地凸显学生的主体地位，更好地根据学生的困惑疑难处去突破重难点，使教师的教与学生的学达到事半功倍的效果。对“认识图形(二)”第一课时，基于学生学习起点分析，进行教学研究；研究怎样把握学生的学习起点，如何因应学习起点进行教学改进，以期得到认识图形教学的一般教学启示，以提升认识图形教与学的效率。

一、学生学习起点分析

学生学习起点可分为两类，一类是学习心理基础，另一类是学习知识起点。学习知识起点就是学生学习新内容时的知识准备，即逻辑知识起点和现实知识起点。逻辑知识起点是指学生按照教材学习的进度，需要具有的知识准备。现实知识起点是指学生实际的知识状况和学习经验，对知识学习可能起正向或负向作用。

(一)学习心理基础分析

关于儿童几何概念发展的研究，大多以皮亚杰和范希尔的研究为基础，皮亚杰侧重于从年龄角度考查发展的过程，范希尔侧重研究影响几何思考发展的教学因素。

综合皮亚杰理论和范希尔理论研究，分析一年级学生学习几何概念的心理基础。学生年龄在6—7岁，刚接触几何图形方面的知识，处于皮亚杰理论的投影几何阶段，主要通过直观认知，只有经过视觉确认的事物，才认为其真实存在，蕴藏在视觉之外的事物都不真实，相信各种形状会根据视角的变化而变化。按范希尔理论，学生的几何思维水平则处于最低水平0(前识别)与水平1(直观)的过渡期。从不能辨认许多常见的形状，发展到能根据图形的表面来辨别和操作几何形状。根据以上分析，启发教师思考：认识图形的教学需重视直观性学习，教师需要合理设计符合学生心理基础的活动，发挥学生语言表达的作用。

(二)逻辑知识起点分析

学生在一年级上学期已经直观地认识了长方体、正方体、圆柱等立体图形，可以根据图形的特征作出辨别。“认识图形”是学生正式学习平面图形的开始。

(三)现实知识起点分析

结合单元知识，对本校一年级3个班学生，共94人进行平面图形表象形成情况的前测。

【测试题1】你知道下面这些图形的名称吗？请把图形和名称连起来。

图1

结果分析：学生基本能正确连线，正确率达93.6%，连错的学生错在不认识平行四边形的名称。测试题1的图形全部是正向呈现(底边水平)，结合范希尔几何思维水平分析，一年级学生正处于水平0(前识别)与水平1(直观)的过渡期，主要通过整体轮廓辨认图形，已基本形成一般图形表象(见图1)，反映学生能够感知某一平面几何图形，能将这个图形从若干个其他图形中辨认出来，一般图形表象与名称能一一对应。

【测试题2】把图形的序号填进合适的括号里面。(完成测试题1后，告知连线错误的6名学生平行四边形的名称后，再进行题2测试)

图2

对结果进行数据统计并对个别学生进行访谈，结合范希尔几何思维水平分析，测试题2的图形除了底边水平正向呈现的一般图形外，还出现了变式呈现，大小位置方向各有不同。

结果发现，把立体图形与平面图形混淆的有8人，占8.51%；访谈表明，有的学生认为长方体上也有长方形，所以在长方形的选项中选了⑧，有的学生能区分实物，却看不出立体图形的平面图与平面图形有区别。把④认为是圆的有10人，占10.64%；学生认为椭圆是一个很特别的圆，理由类似于有两个面是正方形的也是长方体。学生对圆的辨析度最高，这反映出学生在这几种平面图形中，比较容易接受圆的概念。把②认为是长方形的有18人，占19.14%；这反映出学生特别关注长方形“长”的特征，即两条边长，两条边短，而对角特征的感觉比较弱。认为⑦不是正方形的有45人，占47.87%；学生认为底边不是水平的，就不是正方形。教师要提示学生，一般图形表象的非本质属性会对其判断造成干扰；即在另一种不同的视觉角度下，当位置、方向发生变化时，就不能正确辨认出同一种图形。认为⑨不是平行四边形的有71人，占75.53%；学生要么认为它是菱形，与平行四边形是完全不同的图形，要么不知道它是什么图形。几何概念的图形表象包括一般图形表象和特殊图形表象，当呈现特殊图形表象时，未正式学习几何概念的学生则难以理解，会将特殊图形表象视作与一般图形表象完全不同的另一种图形。

本题全对的学生仅有23人，占24.47%。这部分学生已经从层次0水平发展到层次1水平，能分析图形的组成要素及特征，了解图形的特性，能够把两个或多个不同的例证视为同一类图形。

学生在生活和经验中已经积累了一定的平面图形知识，形成了一定的图形表象，但这些表象是不完整的，只有对图形整体的认识，没有关注到更多的特征，或只局限于一些特殊的表象。

二、基于学习起点分析的教学研究

几何概念的内部表征形式以表象为主，所谓表象，就是信息在头脑中的形象性表征方式，由于几何对象与概念本身就伴随着图形信息，因此表象是几何推理与想象的基本形式。基于上述对学生学习起点分析，“认识图形(二)”的教学研究如下。

(一)对照课标要求，准确定位学习目标

《义务教育数学课程标准(2011年版)》对行为动词分类是按照了解、理解、掌握、运用从低到高的要求程度排列的。课标第10页第一学段目标提出“经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，了解一些简单几何体和常见的平面图形”。课标第18页课程内容部分提出“3．能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。4．通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征(三年级)。5.会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。7.能对简单几何体和图形进行分类”。

根据课标要求，基于学生的几何思维实际水平，在一年级几何图形教学中，教师应对学生的要求是“辨认”，不应有意去拔高。因此，目标定位为建立几何图形表象。具体为直观认识平面图形，能够辨认和区分它们。

(二)重视直观学习，初步形成图形表象

1.体会面在体上，感受直观表象

学生对几何图形的认识依赖于观察、操作，从感知具体事物入手，充分利用视觉、听觉、触觉等多种感官，亲身体验有助于形成几何图形表象。

学生在一年级第一学期已经认识了立体图形。教师可以让学生说出自备盒子和教师提供盒子的形状，回顾已学过的立体图形的名称，唤醒认知经验。由于学生在日常生活中对平面图形已具备了一定感性认识，因此让他们找一找在这些物体中还藏着一些什么图形，看一看在此立体图形上找到了哪些图形，摸一摸这个图形在哪里。说一说摸这个图形有什么感觉？学生会觉得是平平的、滑滑的。教师介绍平面图形后，直接告知平面图形上有边和角，让学生再摸摸边有什么感觉，摸角呢？让学生通过找一找、看一看、摸一摸、说一说，先直观认识“面在体上”，体会平面图形与立体图形的关系；再引导学生在描述的过程中，初步感受平面图形的整体形状，知道平面图形有边有角。

2．操作面从体生，再现图形表象

在学生的原有认知中，实物是实物，图形是图形，两者是没有关系的。因此，在具体三维的“体”中分离抽象出二维的“面”，是学生空间观念认识发展的一大飞跃。前测结果也说明有部分学生面体不分。可见从“体”剥离出“面”，是学生新旧知识的衔接点。皮亚杰说，空间观念的形成不像拍照，要想建立空间观念，必须有动手做的过程。

通过观看从物体表面描出平面图形的微课，学生自主尝试描、画、印、拓等活动，让学生经历从物体上“分离”出面的过程，体会“面从体生”，面与体的联系区别，体会平面图形的共同特征就是物体某个面的形状。说说用什么体的哪个面画出了什么形，初步体会某种平面图形是对应立体图形某个面的形状，以及同一个立体图形(如三棱柱)的不同面可以画出不同的平面图形。教师展示学生画的各种各样的长方形，让学生感受这些图形大小不一，体会不同长方体能画出不同的长方形，同一个长方体也可画出不同的长方形，丰富学生对长方形的表象认识。

学生利用直观模型，通过找、看、摸、说，体会“面”在“体”上，感知图形表象，通过描、画、印、拓等操作，了解“面”从“体”生，再现图形表象。让学生经历从具体到抽象的过程，初步形成图形的直观表象，初步了解图形与模型、名称与图形的联系。

(三)呈现变式样例，正确建立图形表象

范希尔认为几何思维达到直观水平的标志是“学生能认识各种图形存在差异，并懂得在不同的位置，图形保持形状不变。一般图形表象是几何概念表征的重要形式，通过识记正确的图形表象来理解几何概念，既是前提又是手段”。心理学研究表明，识记的效果受到识记材料的性质及数量、呈现形式等多方面因素的制约。

从前测可知，当正方形底边不是水平摆放时，学生就认为它不是正方形，一般图形表象的非本质属性会对学生造成干扰。再通过观察比较一年级教材中几何图形的图示，我们可以发现教材都是以标准图形呈现的，即底边都是水平方向放置，这样的直观材料虽然有利于学生对几何图形表象的建立，但也容易限制学生的思维，让学生误认为图形的底边水平是图形的本质属性，从而缩小概念的外延。

因此，教学中提供的直观材料必须要考虑到图形概念的含义以及图形表象的科学性，教师需要通过图形变式，减少图形表象非本质属性干扰来教学，突出图形的本质属性。一般意义上的概念性变式包括概念变式和非概念变式，受限于学生的心理认知特点，一年级的图形教学宜只采用概念变式，让一般图形表象的非本质属性发生变化，且注意变式的样例不宜太多。

如改变图形摆放的方式，使位置、方向不同，让学生在不同的视角下，仍能辨认出这是什么图形。通过教具改变图形边的长短、角的大小(如三角形、平行四边形)，使其大小、形状不同，让学生认出这是什么图形。在图形变式中初步感受各种图形的外在样式可以是多种多样的。教师设计把图形送回家的游戏，学生要找出图形的共同点才能正确辨析，并完成任务。在此过程中学生进一步体会图形的本质属性，教师向其渗透“变中不变”思想，从而帮助其建立正确几何图形表象。

(四)加强语言描述，理解图形表象特征

根据范希尔理论，每一个几何思维水平都有自己的语言，组织语言活动是促进向高一级水平发展的主要因素。同时，加强语言表征，能凸显一般图形表象的本质属性，对学生正确记忆图形表象有非常重要的作用。因此，在教学过程中，应尽力为学生提供语言交流的机会。

例如，认识图形的名称以及面对各种变式的图形，在正确建立图形表象的基础上，让学生说说今天所学的平面图形里面，哪个最特别，以此进行图形分类的活动。低年级的学生因年龄限制，只能使用自己的话语系统来描述：“圆最特别，因为只有它的边是弯弯的，其他图形的边是直直的。”直观描述出直线图形与曲线图形的区别。教师趁机引导，拿走所有的圆形，继续观察剩下的几种图形，“它们的边都是直的，你又觉得哪种最特别呢？”学生回答：“三角形，形状都不一样，而且三角形只有三条边，其余图形都是四条边。”拿走三角形后再观察，学生会说：“平行四边形的边有两条是斜的。”同时还用身体语言来辅助，做手势同时向左斜或向右斜。教师指着不是水平放置的长方形，故作疑惑地说：“这个长方形的两条边也是斜的呀。”学生很着急地说：“如果放正了，就不斜了，就会这样了。”随即用两手做出直角的样子。当只剩下长方形和正方形时，教师提问：“这两种图形长得很像，角都是这样的(做出直角手势)，你们是怎样辨别它们的？”学生指着黑板上的长方形回答：“长方形有时胖(长宽接近)，有时瘦(长宽相差较多)，有时不肥不瘦(接近黄金比例，生活中常见的长方形，如门窗、书本的表象)，但正方形都是方方的(四边相等)。”

学生的语言很有童真，虽然不够严谨，但都经过自己的观察、比较、思考、抽象、概括，用自己的话语系统提炼表达出来。通过语言描述和分类辨析活动，促进学生从关注图形的整体形状到开始观察图形的局部，关注边、角的特征，进一步认识理解图形表象所反映的本质属性。帮助大部分的学生从范希尔层次0(前识别)向水平层次1(直观)水平过渡，并渗透认识图形的学法指导。一般认识图形是从边、角特征入手研究的。

(五)设计想象活动，初步培养空间观念

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，在数学课程中，应当注重发展空间观念。帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。要求在学生对图形有丰富感性认识的基础上，循序渐进培养其空间观念。

空间想象能力是空间观念建立标志之一，学生如果能从图形的局部，想象到图形的整体和结构，或者无图联想，得到图形的表象，这说明学生达到了空间想象能力的第一水平——联想水平。

前面谈到的观外形，触其面，画其形，读名称，分类别，辨特征，都能帮助学生建立正确的图形表象，从而形成空间观念。由于一年级的学生受几何思维水平所限，教师可以设计适当的想象活动。

【例1】“我说你画”活动

请学生闭上眼睛，先在脑海中想想圆形、三角形、平行四边形、长方形、正方形的样子，教师说出一个图形的名字，让学生伸出手指，在空中画一画它们的样子。

【例2】分组进行“我说你猜”活动

一个同学手伸进箱子摸出一个图形(不拿出箱子)，告诉同学，摸到图形的边和角是什么样子的，让同学猜猜摸到的图形名称。讲的同学根据摸的直观感觉，描述出几何图形特征，猜的同学依据语言描述，提取记忆表象，想象出实际图形。

学生经历动手摸物、调动表象、回忆特征、语言描述，想象图形的过程，在多感官的协同活动中，彼此深化对几何图形的特征认识，有助于空间观念的建立。

基于以上对学生学习心理基础、学习知识起点分析以及对“认识图形(二)”的教学研究，我们可以得到认识图形的一般教学启示：因学定教，准确定位要求设计活动；重视直观，初步形成几何图形概念；呈现变式，建立正确几何图形概念；利用语言，理解几何图形概念特征；合理想象，深化概念培养空间观念。