极限工况下主动前轮转向汽车稳定性控制*

李绍松，郭孔辉，仇 韬，陈 虹，王国栋，崔高健

（1.长春工业大学机电工程学院，长春 130012； 2.长春孔辉汽车科技股份有限公司，长春 130000；3.吉林大学，汽车仿真与控制国家重点实验室，长春 130025）

前言

主动前轮转向系统（active front steering，AFS）在不干预驾驶员转向输入的情况下，能够产生保持车辆稳定的横摆力矩，进而改善车辆的横摆稳定性［1-3］。针对AFS系统，目前已有较多成熟的控制方法，如PID控制、滑模控制、模糊控制和模型预测控制（model predictive control，MPC）［4-7］等。其中，MPC凭借其在处理多目标优化及约束问题方面的优势备受学者的青睐。MPC能够预测系统未来的变化，并根据既定的性能指标选择最佳的控制动作［8-9］。MPC的滚动优化策略能够弥补模型失配、畸变、扰动等引起的不确定性，但如果模型的误差过大，仍会对系统的稳定性造成严重的影响［10］。

轮胎是影响车辆动力学稳定性的重要因素。当车辆侧向加速度较小时，轮胎力处于线性区域。此时，可以用线性轮胎模型来设计AFS控制器，有利于减少MPC的计算负担。当车辆的侧向加速度较大，或路面附着系数较低时，轮胎力处于非线性区域，并开始饱和。线性的轮胎模型不再能反映轮胎力的实际变化趋势。因此，在设计控制器时采用非线性的轮胎模型是非常必要的［11-12］。然而，非线性MPC需要在线求解带约束的非线性优化问题，计算负担繁重［13-14］。

线性时变MPC（LTV-MPC）方法通过对非线性模型进行连续局部线性化，将非线性优化问题转化为时变的线性优化问题，降低了系统的计算负担，被广泛使用［14-15］。Choi等［16］基于LTV-MPC设计了分层式车辆侧向稳定性控制器。该方法通过连续线性化轮胎力，将轮胎的非线性特性反映在扩展的“自行车”模型上。类似的轮胎力线性化方法在文献［17］和文献［18］中也有用到。但这些线性化轮胎模型的轮胎力在预测时域内是不变的，在预测层不能描述轮胎力的非线性特性，极限工况下的控制效果并不理想。因此，很多学者通过约束轮胎侧偏角或车辆横摆角速度的方法，保证车辆在极限操纵时的稳定性。但是，强制性的稳定性约束会导致轮胎力不能被充分利用。Erlien等［19］在研究人机共驾车辆的避撞控制时发现，强制性执行稳定性约束可能会与预期的避撞轨迹发生冲突，提出稳定性控制器应允许车辆在稳定性约束之外运行，以实现安全避撞。为充分利用轮胎力，在预测时域内考虑轮胎力变化方面，也有了一些研究成果。Brown等［20］根据上一步求解的轮胎侧偏角序列，对当前预测时域内的后轮轮胎力进行线性化，并允许车辆短暂地超出稳定性约束。然而，仅使用前一步的轮胎侧偏角可能会出现抖动问题。Funke等［21］在此基础上，提出了一种轮胎侧偏角的正则化形式，较好地解决了这一问题，但仅通过上一时刻求解的轮胎侧偏角序列来表征当前预测时域内的轮胎侧向力，可能会出现较大偏差。

本文中提出了一种新型的LTV-MPC方法，在预测时域内采用时变的轮胎模型描述轮胎力的非线性特性。该方法无需施加强制性的稳定性约束，能够充分利用轮胎力，扩大AFS系统的工作范围。

1 车辆动力学模型

所使用的车辆模型是简化的“自行车”模型，如图1所示。lf和lr分别为车辆质心到前、后轴的距离；Fy，f和Fy，r分别为前、后轮胎的侧向力；β为车辆质心侧偏角；γ为横摆角速度；vx和vy分别为车辆的纵向和侧向速度；δf为前轮转角；αf和αr分别为前、后轮的侧偏角。

车辆侧向和横摆运动的动力学方程为

式中：m为整车质量；Iz为横摆转动惯量，并认为存在近似关系cosδf＝1。

图1 车辆模型

本文忽略轮胎纵向力的影响，采用纯侧向滑移工况下的Pacejka轮胎模型［22］计算轮胎的侧向力：

式中：μ为路面附着系数，认为是已知量；a0＝1.5；a1＝0；a2＝1050；a3＝1200；a4＝7；a5＝0；a6＝0.2。

图2给出了不同路面附着系数和载荷下的轮胎侧向力曲线。

图2 轮胎的侧偏特性

前、后轮胎的侧偏角和垂直载荷定义如下：

2 控制器设计

控制策略逻辑结构如图3所示，包括参考模型、参数估计模块、轮胎模型、模型预测控制器和被控车辆，其中被控车辆选用的是CarSim车辆模型。本文中忽略了转向传动系统的影响，直接以前轮转角作为输入。参考模型根据驾驶员输入δf，dri计算出期望横摆角速度γref。参数估计模块用于估计轮胎侧偏角αi和轮胎垂直载荷Fz，i（i＝f，r）。轮胎模型根据轮胎的侧偏角和垂直载荷实时得到轮胎侧向力及名义侧偏刚度，用于轮胎模型的线性化。模型预测控制器优化计算出被控车辆的前轮转角。

图3 整体控制逻辑

2.1 参考模型的设计

车辆的横摆角速度与车辆的操纵稳定性密切相关，反映了车辆对驾驶员输入的响应。因此，本文以横摆角速度为控制目标，设计参考模型［1］如下：

式中：Cf和Cr分别为前、后轮胎的侧偏刚度。

2.2 LTI-MPC控制器设计

为验证所提出的LTV-MPC方法的有效性，首先设计传统的LTV-MPC（记作LTI-MPC）控制器，进行性能对比分析。

基于Pacejka轮胎模型，对前、后轮胎的侧向力在每一采样时刻进行局部线性化［18］，得到线性化的轮胎力方程如下：

得到LTI-MPC预测模型的状态空间方程为

式中：状态变量x为横摆角速度γ；控制输入u为前轮转角δf；干扰输入d包括车辆质心侧偏角β、残余侧向力和。输出矩阵C＝1；状态矩阵A、输入矩阵Bu和干扰输入矩阵Bd如下：

2.3 LTV-MPC控制器设计

图4为预测层轮胎侧向力线性化示意图。当轮胎力处于线性区域时LTI-MPC具有很好的控制效果，但是当轮胎力接近饱和时，LTI-MPC的控制性能就会变差。这是由于LTI-MPC的轮胎模型在当前时刻线性化后，在未来的预测过程中将保持不变。如图4中所示，k＋1时刻，LTI-MPC认为侧偏角处的侧向力为，此时侧向力与实际值误差较小。但在k＋P时刻，LTI-MPC认为侧偏角处的侧向力为，此时侧向力已经严重偏离了实际值。因此，LTI-MPC在预测时域内会采用偏离实际的轮胎力。

为避免这种情况，在预测时域内对非线性轮胎模型进行了连续线性化，见图4，具体如下：

图4 预测层轮胎侧向力线性化

ρk＋i｜k和ξk＋i｜k是和的调节因子。

将式（9）代入式（1），得到LTV-MPC的预测模型为

将LTV-MPC的预测模型写成如下状态空间形式：

对式（11）连续系统进行离散化，离散步长为Ts，得到LTV-MPC增量型的离散预测模型为

然后，可以得到预测输出，这里省略了推导过程。

当轮胎力因外界不确定性因素从线性区突然进入饱和区域时，还需要对ρk＋i｜kΔ和ξk＋i｜kΔ这两项进行调整。

图5 名义侧偏刚度调整

情况1：实际横摆角速度未跟上期望值。

情况2：实际横摆角速度大于期望值。

2.4 目标函数的设计

目标函数由横摆角速度跟踪误差和控制输入变化率的加权组合构成：

式中：Γy＝diag（τy）和Γu＝diag（τu）分别为对横摆角速度跟踪误差和控制输入变化率的加权因子。

以上跟踪控制问题可以描述为

对于LTI-MPC还需要对输出y进行约束，以避免车辆发生严重的侧滑，约束的设定参照文献［10］。

本文中采用二次规划（QP）方法求解上述带约束的优化问题，定义如下：

式中：x＝ΔU（k）；H为黑塞矩阵；g为梯度向量；E和b为约束矩阵。

3 仿真试验

搭建Simulink和CarSim联合仿真环境，分别进行双移线工况和正弦工况试验，对所提方法进行验证。在CarSim中选择B级车作为被控车辆。表1和表2分别给出了被控车辆和MPC控制器的主要参数。

表1 车辆参数

表2 MPC控制器参数

3.1 轮胎模型验证

轮胎模型的精确性是保证轮胎模型线性化的前提。汽车以80 km／h的车速行驶在附着系数为0.3的路面上，正弦转角输入下Pacejka模型与CarSim轮胎力的仿真结果如图6所示。其中Fy，f和Fy，r在“自行车”模型中指前后轮的轮胎侧向力，在CarSim中是指前后轴的轮胎力。

由图6可知，前轮轮胎力在波峰处基本保持不变或轻微下降，后轮轮胎力在波峰处下降明显，说明轮胎力已经饱和，且进入非线性区。此外，可以看出Pacejka模型与CarSim的轮胎力在波峰处存在一定偏差，但趋势和幅值基本相同。因此，本文中所建的Pacejka模型能够满足控制器设计要求。

图6 Pacejka模型与CarSim轮胎力对比曲线

3.2 双移线工况试验

该试验中，车辆以60 km／h的速度进行双移线操纵，路面附着系数为0.3。

图7 横摆角速度响应

图7为车辆的横摆角速度响应曲线，其反映了车辆的操纵性和对驾驶员意图的跟随情况。从图中可以看出，在t＝3.6 s时，LTV-MPC控制的车辆横摆角速度偏差最小，为3.75°／s，无控制的车辆则为8.03°／s。LTI-MPC由于受到稳定性约束的影响，其横摆角速度偏差明显大于LTV-MPC，为5.70°／s。另外，LTI-MPC控制车辆的横摆角速度响应延迟比较明显。无控制的车辆在t＝3.6 s时出现了明显的波动，这是因为前轮轮胎力已经饱和，见图8，车辆前轴发生了侧滑。尽管LTV-MPC在t＝3.6 s时与期望值仍存在偏差，但已经充分利用了轮胎力，且能够避免车辆发生侧滑。

图8 前轴侧向力

由图8可知，LTV-MPC控制车辆的轮胎力在峰值处能够一直保持在2 000 N，轮胎力利用率最高。LTI-MPC的轮胎利用率最低，峰值仅为1 700 N。无控制的车辆由于发生了侧滑，轮胎力在峰值处出现了明显下降。

图9为质心侧偏角响应曲线。车辆的质心侧偏角响应是描述车辆稳定性的重要指标。从图9中可以看出，无控制的车辆质心侧偏角响应波动最大，峰值为-0.96°，其次是LTV-MPC控制的车辆，峰值为-0.72°。由于受到稳定性约束的影响，LTI-MPC控制的车辆质心侧偏角变化最小，但这是以牺牲横摆角速度的跟踪性能为代价的。图10为前轮转角曲线。可以看出，LTI-MPC计算出的转角更加保守，且明显滞后于LTV-MPC。

图9 质心侧偏角响应

3.3 正弦工况试验

为进一步验证LTV-MPC的有效性，在路面附着系数为0.4的路面上进行正弦操纵试验，车速为80 km／h。

图11为车辆横摆角速度响应曲线。可以看出LTV-MPC控制车辆的横摆角速度偏差最小，相对于LTI-MPC控制性能明显提高。图12为前轴侧向力曲线，其结果与双移线试验类似。图13为质心侧偏角响应曲线，图中显示LTV-MPC控制的车辆质心侧偏角最大值为0.41°，明显小于无控制车辆的最大值0.65°。图14为前轮转角曲线，可以得到与双移线试验同样的结论。

图10 前轮转角

图11 横摆角速度响应

图12 前轴侧向力

图14 前轮转角

4 结论

考虑了轮胎的非线性特性，在预测时域内对非线性轮胎模型进行连续线性化，设计了新型的LTVMPC控制方法，并根据车辆运动状态对轮胎力的预测方向和趋势进行了修正，拓宽了AFS系统的工作范围，提高了车辆在极限工况下的稳定性。仿真验证了该方法的有效性和可行性，但是该方法还未进行实车验证，下一步将继续完善控制策略，提高控制器的求解速度，达到实车试验的要求。