常见函数的导数

唐甜甜

摘  要：高中数学学习中，数学思维有助于课堂教学的有序进行，部分学生和老师易忽视数学教学课堂中的一些概念和公式的形成，机械性地给出一些公式，忽视其由来，很可能导致学生对于公式和知识点的不理解，托尔斯泰说过：“成功的教学需要的不是机制，而是激发学生的学习兴趣”，所以我们在公式的形成的课堂中，可以在一定的知识背景前提下，提出一连串的问题，带动学生思考，把学生带进课堂中来。

关键词：高中数学;课堂教学;知识形成;知识应用

【中图分类号】G 633.6    【文献标识码】A       【文章编号】1005-8877（2020）01-0183-01

下面，我以“导数的运算—基本初等函数的求导公式”为例进行阐述。

1.知识回顾

知识回顾，是课堂教学中的一个重要环节，它起着承上启下的作用，数学知识具有一定的系统性和连贯性，旧知的复习有助于学生提炼上节课所学的重点，同时，旧知是新知的基础，旧知的复习，有利于本节新课的顺利进行。本节课的知识回顾，我主要以问题的形式出现，如下：

问题1：导数的几何意义是？

本着新高考改革的原则，这里我以选择题的形式出现。

问题2：由定义法求导数的步骤？

该旧知是导数的概念形成，对本节课有着不可或缺的作用，主要由概念课逐步归纳出部分基本初等函数的求导公式。

紧接着利用以上定义法求导数，对几个函数的求导进行练习，习题如下：

该过程主要是实习由旧知到新知的过渡。

2.公式形成

公式的形成是函数的单调性、极值、最值的研究的一个重要手段，这一过程，我也是以问题、学生自主探究形式慢慢形成，有概念形成规律性的知识，主要是一次函数，常函数，幂函数求导公式的数学建模过程。

教师：第一个是什么函数，导数为什么是k？如何解释

学生：导数的几何意义是某点处切线的斜率，切线是由割线转化而来割线是曲线上任意两点，在第一个函数图象上任取两点，割线的斜率即为直线的斜率。

教师：第二个呢？

学生1：在第一个函数中令k=0，即可得。

学生2：从割线的角度理解。

教师：第三个是什么函数？

学生：反比例函数。

教师：那第四个，第五个呢？

这时候学生反映过来三、四、五是同一类函数，幂函数，紧接着，提出问题：是否可以归纳出幂函数的求导公式？下面是5分钟的小组讨论，讨论结束后，小组代表上台讲解，让学生讲解，语言可能不太严谨，但是可以锻炼他们的思维能力以及语言表达能力，之后我来进行完善和总结，这样，经过讨论的过程得出的结论，有利于学生的理解。

同时给出其余基本初等函数，如，指数函数，对数函数，三角函数，并说明高中阶段，这三类函数的求导公式不需要证明，知识的理解离不开知识的应用，应用是理解必要环节，下面是对公式的基本应用。

3.知识应用

抓住公式的表示形式，结合一定的例题，有助于强化新知。

例1.求下列函数的导数

分析：首先将上述函数归类为四大基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数。

通过该例题的讲解，让学生明白如果没有特定要求以后求导都是直接利用公式，无需再利用定义法，并且对于一些复杂的函数应将函数转化为可直接应用公式的基本初等函数的形式。

练习：

變式：的区别。

总结：求导数值的步骤，先求导再代值。

例2. 求曲线在点处的切线方程。

教师：本题研究的是什么问题？

学生1：求导

学生2：在某点出的切线方程

变式1：若直线为函数图象的切线，求b的值和切点坐标

部分学生还是认为该题型仅仅是求导的问题。

教师：回过头来看看例题和变式，你们从题目中看到了什么？

学生自主讨论，分析并解决问题

总结：曲线，切线，切点三者间的关系：没有切点，先设切点，切点既在曲线上又在切线上，斜率等于导数值。

变式2：求曲线上的点到直线的最短距離。

寻找曲线，切线和切点，学生小组讨论合作，分析并解决问题，采用数形结合的方法。

变式3：证明：过曲线上任何一点的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数。

教师：如何表示三角形的面积？

学生1：知道底和高

学生2：三角函数面积公式

分析：与两坐标轴围成的面积，因此两种方法是一样的。

教师：如何表示底和高？

在提出问题，解决问题的过程中，带动学生的思维，理清学生思路。

4.教学反思

公式的理解记忆，离不开对概念的理解，没有了理解，核心素养的发展就成了空话，在课堂教学中，要让学生积极思考，通过问题，引导学生思考，让学生做课堂的主体，而不是一味地灌输，或者没有理解性的灌输，要注重让学生经历观察，思考，归纳，抽象出数学公式，提升数学抽象、直观想象等素养，并辅助一些对应的练习和拓展，也不能一味地只是基础的练习，可以附带一些思考题，带着学生一起思考，一起探究，当然了，教师也要精心设计问题，通过问题提出，到问题解决这样一个过程，让学生找到成就感，增加对数学学习的兴趣，当然也可以让学生自己组题，自己提出问题，这是我在今后课堂中需要逐步完善的地方，把学生的思维真正带动起来，通过思考提升学生的综合能力。