正项级数达朗贝尔判别法的几点补充

陈实 石昌梅 彭春源 何丁莉

[摘           要]  达朗贝尔判别法是判别正项级数敛散性一种非常方便和常用的方法，这种方法对某些级数敛散性的判别却是无效的.主要通过举例说明达朗贝尔判别法失效的两种情况，给出了判别这类级数敛散性的一些方法和思路.

[关    键   词]  正项级数;达朗贝尔判别法;敛散性;失效

[中图分类号]  G642                   [文献标志码]  A                      [文章编号]  2096-0603（2020）32-0056-02

无穷级数是数学分析中的一个重要组成部分，无穷级数又分为数值级数和函数项级数，数值级数是研究函数项级数的基础.函数项级数是用于表示函数的一个重要工具，特别是非初等函数的表示问题.对某些函数，利用幂级数可将其表示成无穷项多项式的和，同时通过选取有限项来近似计算时可以估计其误差等.所以，无穷级数对于研究函数起到非常重要的作用.

对无穷级数最重要的问题是什么呢？对给定的级数，最核心的两个问题是：（1）判别所给级数是否收敛;（2）如果级数收敛，则级数的和为多少？所以，对一个级数而言，首当考虑的是其敛散性的判别问题.那么，如何判别一个级数的敛散性呢？有关级数敛散的判别法有很多，常用的方法有：（1）利用级数敛散的定义，将问题转化为求数列极限的问题，这种方法的前提是所给级数的前n项部分和要能够比较容易地计算出来，这对许多级数而言都是比较困难的，例如级数;（2）利用级数敛散性的柯西收敛准则，这种方法是級数理论上的一个非常重要的结果，但对具体的级数而言，柯西收敛准则应用起来会比较麻烦，甚至会不易判别;（3）可以借助已知敛散性的级数，以及级数的运算性质来进行判别;（4）利用级数相关判别法，例如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等[1].

正项级数作为数值级数的一类重要类型，其敛散性判别法常用的有比较判别法、柯西判别法和达朗贝尔判别法等，为了使判别法更精细、应用更广泛，学者们在已有的这些经典方法的基础上，进一步深入地研究和探讨正项级数敛散性的判别方法，例如有关推广判别法的研究，文献[2]对拉贝判别法和达朗贝尔判别法进行了进一步的研究，并考虑更精细的级数作为比较标准，从而将已有方法做了两个推广;又有将新的级数作为比较标准，得到比较判别法的新审敛法，由此总结出：当正项级数的通项含有ln（n）且较复杂时，可以考虑用此审敛法[3];还有基于柯西积分判别法和比较原理，证明了某些正项级数的敛散性，并将这些结果推广到更一般的情形[4].关于正项级数的敛散性问题的研究还有很多，例如文献[5-11]，学者们从不同角度，利用不同的方法和工具对正项级数的敛散性进行探讨，例如文献[5]是利用函数的泰勒展开式以及极限的运算性质，再借助已知级数的敛散性，推导出判别正项级数敛散性的两种方法，并在此基础上得到了通项递减的正项级数敛散性的两种判别法.

本文主要是在判别正项级数敛散性的达朗贝尔判别法的基础上，讨论该方法的应用问题，其中主要考虑达朗贝尔判别法失效的情形，通过举例说明达朗贝尔判别法失效的两种情况，并给出其中某些级数敛散性判别的一些方法.

一、达朗贝尔判别法

正项级数作为一类重要的级数，由于级数理论的复杂性和不确定性，我们看到并不能建立一种万能的判别方法，因为针对不同类型的级数可能需要应用不同的判别法，所以，这使级数敛散性的判别方法有很多.比较判别法是判别正项级数敛散性一种最基本和最常用的方法.在比较判别法中，当以几何级数n作为比较的标准级数时，得到了柯西（Cauchy）判别法和达朗贝尔（DAlembert）判别法.柯西判别法和达朗贝尔判别法的极限形式叙述如下：

从定理2的叙述可以知道，达朗贝尔判别法是通过考察比来判断级数的增长速率的，而且该判别法是具体级数判别问题中非常便利的一种方法.一般地，当级数通项中包含有n的阶层或n的次幂时，达朗贝尔判别法都是有效的，我们可以通过下面两个级数敛散性的判别看到.

从这两个级数敛散性的判别操作上可以看到，达朗贝尔判别法在实际应用中是非常方便的.那么，达朗贝尔判别法适用于哪些类型级数的敛散性判别呢？从理论上来看，由于达朗贝尔判别法是以几何级数用，例如，调和级数就无法用达朗贝尔判别法判断其敛散性. 因此，对达朗贝尔判别法失效的正项级数，如何判别它们的敛散性便成为一个需要讨论的问题.下面，我们将讨论达朗贝尔判别法失效的两种情况，并给出其中某些常见类型级数敛散性判别的一些方法和思路，通过实例进行解析.由此希望能给读者在学习正项级数敛散性判别法时提供一点解题思路和建议.

二、达朗贝尔判别法失效的情况分析

（1）对通项为单调增加数列的级数，可以考虑其通项极限是否为零.

我们知道，收敛级数一个重要的必要条件是其通项极限为零，所以，这个命题的逆否命题为真的，即若级数通项数列的极限不为零，则级数是发散的.因此，如果级数的通项是单调增加的，而且其首项不为零，则此时级数的通项的极限不为零，故可以判断级数是发散的.我们来看下面具体的例子.

（2）对敛散性比几何级数慢的级数，可以考虑以比几何级数敛散更慢的正项级数作为新的比较标准而得到更精细的判别法，这样判别法适用范围也将会有所扩大.例如下面的拉贝（Raabe）判别法即是广义调和级数作为比较级数所得到的判别法.

所以，对敛散性比几何级数慢的级数，可以考虑用拉贝判别法，甚至用比拉贝判别法更细致的其他推广形式，例如文献[2]中的推广方法等.

参考文献：

[1]刘玉琏，傅沛仁，林玎，等.数学分析讲义（第六版，下册）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]李蔚.正项级数敛散性比较判别法推广Ⅰ及Ⅱ[J].安徽广播电视大学学报，2013（1）：121-24.

[3]陈翠玲，韩彩虹，李智，等.正项级数审敛法的推广[J].高师理科学刊，2020（1）：9-11.

[4]卢霖.柯西积分判别法与比较原理的应用[J].高师理科学刊，2020（2）：72-75.

[5]贾瑞玲，崔国忠.基于正项级数比较判别法的探讨[J].高等数学研究，2019（3）：6，18-20.

[6]冯洁.运用放大法判定正项级数的敛散性[J].大庆师范学院学报，2019（6）：92-96.

[7]陈飞翔.级数收敛性的判别法[J].课程教育研究，2019（6）：136.

[8]邱晨阳.还有比调和级数发散速度更慢的正项级数吗[J].高等数学研究，2019（5）：7-9.

[9]李娅.比较判别法在级数收敛性判别上的应用[J].高等数学研究，2019（5）：26-28.

[10]李卫平，纪宏伟.对正项级数敛散性判别方法的研究[J].高等数学研究，2019（5）：8，21-25.

[11]于也淳，邓雪.正项级数比较判别法极限形式的探析[J].高师理科学刊，2020（1）：6-8.

[12]伍胜健.数学分析（第二册）[M].北京：北京大学出版社，2010.

◎编辑 马燕萍