基于落实数学核心素养的初高中衔接课的“一元二次函数”例析

王树新

(福建省泉州市泉港区泉港第二中学 362000)

毋庸置疑，高中数学相对于初中有了重大变化，新生面临着“陡坡效应”，期初考试成绩呈2-8规律分布：成绩好的占两成，不好的占八成.在集合和函数的学习中出现不同程度的不适应，数学初高中衔接课必不可少.

一元二次函数的知识源于初中，成熟在高中，是高考的重点.作为一个既简单又重要的函数类型，一元二次函数的图象与性质展示了一个完整的函数研究过程，不但可以复习到初中的相关重要性质、知识点、公式，还可以衔接高中多种数学思想和方法，培养各种数学核心素养，为高中函数学习的螺旋上升打好基础，可以说是初高中衔接最佳素材.

一、从y=ax2+bx+c(a≠0)到f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

例1函数f(x)=x2+bx+c对任意的x均有f(1+x)=f(1-x)，那么f(0)，f(-1)，f(1)的大小关系是(C).

A.f(-1)

C.f(1)

衔接了初中的函数值运算，函数值对应函数图象中的点的纵坐标的知识，为高中函数概念中的对应关系“f”的学习做好衔接准备，为奇偶函数定义f(-x)=±f(x)的学习做好衔接准备.

学生理解“f(1-x)=f(1+x)”时，识别和应用符号表达抽象概念，使数学抽象素养得到提高.由计算上的“处处相等”，到图象上的“处处等高”，把问题转化成图形上点的高低比较，促进了直观想象核心素养的发展.

二、从f(x)到f(g(x))

例2已知函数f(x)=x2-2x-3

(1)求f(-1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(t+1)；

(2)若函数g(x)满足g(x-1)=f(x+1)，求函数g(x)的表达式.

衔接了初中求函数值计算，衔接了初中“配方法”运算，为高中“整体代换”思想方法做好衔接准备，为高中函数概念的对应关系“f或g”的学习做好准备.

从特殊到一般，归纳体会“f”的一般意义，归纳体会自变量“x”的“虚位以待”意义(x可用任意允许的数和式子替换)，提高数学抽象核心素养.对 “f、g”和“x”的符号识别和运用提高运算求解素养.

三、从图象到解析式

例3如图是一个一元二次函数y=f(x)的图象.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若函数g(x)=f(x)-kx+1与x轴的两个交点的距离等于5，求k的值.

解(1)方法一 设所求f(x)=ax2+bx+c，把(1,0)、(-3,0)、(-1,4)代入，

方法二 由图，设所求f(x)=a(x+3)(x-1)，把(-1,4)代入，

得a(-1+3)(-1-1)=4，解得a=-1，f(x)=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.

方法三 由图，设所求f(x)=a(x+1)2+4，把(1,0)代入，

得a(1+1)2+4=0，解得a=-1，f(x)=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.

(2)由(1)得g(x)=-x2-(k+2)x+4，设A(x1,0)，B(x2,0)

解得k=-5或k=1.

方法二 令g(x)=0，得-x2-(k+2)x+4=0.

依题意，|x1-x2|=5,

四、从静止到运动变化

例4 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,4)，过A作直线l交x轴于B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线l交于点P，顶点M到点A时停止移动.

(1)求顶点M到达点A时抛物线对应的函数解析式；

(2)设抛物线的顶点M的横坐标为m.

①用含m的代数式表示点P的坐标；

②当m为何值时，线段PB最短？

解(1)原平移等价于先把y=x2向右平移2个单位得到的图象对应的解析式为y=(x-2)2,再向上平移4个单位得到的图象所对应解析式为y=(x-2)2+4,

即y=x2-4x+8.

(2)①因为直线OA所在的直线方程为y=2x，当x=m时，y=2m,

所以M(m,2m)，此时抛物线的解析式为y=(x-m)2+2m(0≤m≤2).

当x=2时，y=m2-2m+4，所以P(2,m2-2m+4).

②|PB|=m2-2m+4=(m-1)2+3.

所以当m=1时(此时，M在线段OA的中点)，线段PB最短为3.

衔接初中的二次函数图象平移变换，衔接向量位移和，为高中一般函数的图形变换做好衔接准备，用变量m描述运动，为函数应用做好衔接准备，为函数求最值做好衔接准备.

建立m与|PB|的函数，体会数学建模的一般步骤,强化数学应用意识，提高数学建模、数学运算素养.

五、从记忆到理解

例5已知一元二次函数f(x)=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点坐标为C.

(1)当a=1、b=-2、c=-3时，求顶点C的坐标；

(2)求顶点C的坐标；

解(1)由已知，f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,

所以顶点C(1,-4).

衔接初中一元二次函数的顶点坐标公式和韦达定理，为高中公式学习做好衔接准备，为体会数学的系统性与完备性特点做好衔接准备.

从特殊到一般，提高逻辑推理素养，从数字运算到符号运算提高数学运算素养，从记忆到理解，促进数学抽象素养的提高.

用一元二次函数的图象与性质作为初高中衔接内容，可以为高中函数概念、单调性、奇偶性、函数与方程、函数应用、解析几何的学习做好衔接准备，不但可以复习配方法、十字相乘法、待定系数法等重要运算，还可以提高学生抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数学应用意识等数学能力，从而提高数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算素养.进而改变学生的学习方式，有助于改变初中的识记、模仿、训练的的被动学习方式，促进形成主动理解与运用数学的学习方法.