杨苍洲
(福建省泉州第五中学 362000)
题目(2015年高考全国Ⅰ卷理科)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是( ).
在求解函数、方程、不等式的一些问题时,常常用到“参数分离”的方法,即把参数a与变量x完全分开,分别置于不等式的两边,再研究不等式的两边函数的取值情况,最后作出判断.但是本题若进行参数分离,却会使得问题变得更加繁琐,难以求解.因此,本题宜改变策略,为了破解此类题,我们需要掌握两个求解技巧:一参数半分离法;二数形结合思想.
解设g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线h(x)=ax-a的下方.
又直线h(x)=ax-a恒过点(1,0),且斜率为a,
1.解题的技巧——参数半分离法
“化生为熟”是常见的解题方向,因此我们考虑把函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a分解成两个熟悉的函数:g(x)=ex(2x-1)和h(x)=ax-a.其中h(x)为过定点(1,0)的动直线,也可以导数为工具研究g(x)的大致图象.作出两个函数的图象后,研究动直线的运动情况,寻找满足条件的动直线,进而限制出动直线斜率a的取值范围.
2.解法的内涵——巧用数学思想
本题求解过程的本质主要应用数学思想解题:化归与转化思想和数形结合思想.
化归与转化思想体现在:把“存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0”转化为“存在唯一的整数x0,使得曲线g(x)=e(2x-1)在直线h(x)=ax-a的下方.”
数形结合思想体现在:先作出曲线g(x)=e(2x-1)与直线h(x)=ax-a,然后通过两曲线的位置关系找出满足题意的直线.
题1设函数f(x)=x3-3x2-ax+5-a,若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是( ).
解设g(x)=x3-3x2+5(x>0),h(x)=ax+a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线h(x)=ax+a的下方.
因为g′(x)=3x2-6x,所以当0
又直线h(x)=ax+a恒过点(-1,0),且斜率为a,
题2已知函数f(x)=ln(x+1)-x2+(2-a)x-a(a∈R),若存在唯一的整数x0,使得f(x0)>0,则a的取值范围是( ).
解设g(x)=ln(x+1)-x2+2x(x>0),h(x)=ax+a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线h(x)=ax+a的上方.
又直线h(x)=ax+a恒过点(-1,0),且斜率为a,
题3若关于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A,且(2,+)⊆A,则整数k的最大值是____.
解由x(1+lnx)+2k>kx,得x(1+lnx)>k(x-2).
令f(x)=x(1+lnx)(x>2),则f′(x)=lnx+2>0.
所以f(x)在(2,+)单调递增.
f(x)的图象大致如图4.
又因为g(4)=e2-8<0,g(5)=e3-10>0,
所以方程(*)存在唯一解k0,且k0∈(4,5).
由图可知k