试论“构造法”在数学解题中的应用

卿吉文

摘   要：“构造法”简单的说，就是要解决某些数学问题时，如果采用寻常方法依照定向思维无法解决时，可以参考题设条件与结论特征、性质，构造满足条件或结构的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法极富创造性，用该方法来解决初中数学问题，关键点在于构造什么与如何构造。学生想要熟练应用构造法来解题，必须要掌握相关技巧，积极挖掘题设和结论间内在联系，并联系问题和某熟知概念、公式等，再进行构造，明确原本意蕴不清的关系，从而谋求问题破解途径。基于此，本文从构造方程、构造图形、构造函数等方面着手，来探析“构造法”在数学解题中的应用。

关键词：构造法;初中数学;数学解题

构造法对于数学这门学科来说，是一重要的解题方法，其在日常教学、数学竞赛中都占据不可忽视的位置。构造法常常以巧妙的构思、精妙的构型，让人感到豁然开朗，拍案叫绝。当然，也有些学生无法理解构造产生的来龙去脉，在使用构造法解数学题的时候也多是一知半解，所以往往效果不佳。由此，本文便结合自身见解和实际例子，来试论如何应用“构造法”于初中数学解题中。

一、轻松解题，构造方程

初中数学解题时，构造方程是一基本方法。一些数学题目如果使用普通寻常方法来分析解决，往往会遇到瓶颈难以突破，但如果能参考题目特点，构造相关方程式或方程组，再结合方程根定义、判别式、韦达定理等有关知识内容，便能很轻松的解决难题，将原本复杂的题目变得简单起来。所以，在解题的时候，教师要鼓励学生仔细观察、善于发现、严谨分析，从而挖掘出关系，合理构造方程，简单、快速的解答出问题[1]。

例1：某些题目可以立足条件，观察其特点，来构造“一元一次方程”进行求解，轻松获得答案。

问题：假如关于X的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，则a、b的值分别为多少？

解答：原方程整理成（a-4）x=15-b，因为此方程有无数多个解，所以a-4=0且15-b=0，得到答案为a=4，b=15.

例2：某些问题直接进行求解是比较难的，但如果掌握问题特征，经过转化，构造“一元二次方程”，再利用根和系数的关系来求解，便能轻松解决问题。该方法简单明了，应用广泛，在数学竞赛中也常用。

教师指导学生分析，要注意两个等式的系数特点，可先化为对应相等的形式，在构造恰当的一元二次方程。

二、灵巧解题，构造图形

构造法的另一种形式为构造图形，当题目中的数量关系和几何图形之间有着某种紧密关联，或含有显著几何意义的时候，学生可以尝试立足题设条件与所求结论，由“数”想“形”，用“形”助“数”，从而构造图形，将原本抽象的内容变得直观起来，化繁为简，巧妙切入，灵巧解题[2]。

例1：一些题目的条件与结论比较隐蔽，对此，需要积极发掘题设条件中的几何意义，通过构造合适的图形来联系两者，从而构造出几何图形，将代数问题转化成几何问题，加强问题直观性，让问题解决能事半功倍[3]。

解答：就绝对值的几何意义可以了解到：，表示数轴上1到5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如下图1，只要表示数的点落在1与5之间（包括1与5），那么其到1和5的距离之和都等于4，因而1≤x≤5，选A。

例2：面对几何题的时候，只要根据相关性质，巧妙构造，便能很快找到解题途径，不但能使问题迎刃而解，还能更好的强化学生思维能力与几何证题水平。

问题：如图2，△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D点。求证：AB+BD=AC。

解答：教師可引导学生在遇到三角形的角平分线的时候，可构造等腰三角形，依靠等腰三角形相关性质，来寻求到解题途径。为此，延长CB到F点，让BF=AB，连接AF，则△BAF是等腰三角形，且∠F=1。在依照三角形外角相关性质，得出∠ABD=∠1+∠F，也就是∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，因而∠C=∠1=∠F，△AFC是等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD是等腰三角形。所以，AF=DF=DB+BF=DB+AB，即AB+BD=AC。

三、高效解题，构造函数

初中阶段数学知识中的方程、不等式和一些代数问题，都和函数密切相关。一些表面似乎和函数无关联的问题，也能站在函数的角度进行发散思考，从而获得不一样的解题效果。在解题时，学生不能抱持固有思维，而应积极发散思考，熟练运用构造法来构造函数，从而突破解题困局[4]。

例如，如图3，一位NBA运动员跳跃投篮，球沿着抛物线y=运行，之后准确落进篮框内。已知篮筐高度是3.05m，求球在空中运行的最大高度是多少？如果该NBA运动员跳起来时，球出手离地面高度2.25m，则他距离篮筐中心水平距离为多少？

解题：在教师的启发下，第一题学生先构建完整的函数图形，根据已知条件：球沿着y=运行，可知抛物线定点是（0，3.5），验证可知最高点在定义域内，所以可知道球运行的最大高度是3.5m。对于第二题，可构建上图坐标系，然后求出运动员位置横坐标即可得到答案。篮筐处高度y=3.05m，X=1.5（x≥0），再因运动员投出手高度y=2.25，则求出x=-2.5（x≤0），因而可得出运动员距篮筐水平距离是4m。

四、结语

总的来说，构造法毋庸置疑是一种十分灵活且具有创造性的数学思想方法，其能培养学生的发散思维、创造能力和观察意识。学生只有充分掌握构造法的技巧，才能在面对各种问题时熟练使用，从而强化数学解题能力。

参考文献：

[1]俞秋明. 构造法在初中数学解题中的运用[J]. 中学教学参考，2016（35）：48.

[2]徐向明. 例析构造法在初中数学解题中的应用[J]. 数理化解题研究，2016（08）：32-33.

[3]杜少锋. 浅谈构造法在初中数学解题中的应用[J]. 中学教学参考，2015（14）：43.

[4]朱美芬. 构造法在初中数学解题中的妙用[J]. 高考，2018（30）：208.