从“发现与生成”，看“情境与现象”

摘要：抽象的知识都是人脑中建立起来的“意义”，都是人类赋予大自然的“说法”。因此，知识只能生成，而不能发现，这就是情境教学必然要走向现象教学的深层原因。情境教学重在“发现”，现象教学重在“生成”，二者天然相通，操作中的区别主要在于学习材料的真实性。情境教学的一切优秀成果都可以被现象教学所继承，改进的只是对待知识的态度，而不在于具体的一招一式。未来的教育很可能是知识教学、情境教学、现象教学共存的局面，而在高年龄段中，现象教学应该是主流形式。

关键词：数学教学知识教学情境教学现象教学

课堂上的多数情境，提供的是对知识的解释，学生听懂了就便于记住。认为学生从中“发现”了知识，其实是一种误解。抽象的知识只能生成，而不能发现，因为它不在自然界中，这就是情境教学必然要走向现象教学的深层原因。知识—情境—现象，教学一步一步向大自然靠近。通过对现象的思考而形成对世界的认识，人类摆脱了对知識的崇拜（比如，数学家摆脱了数字拜物教）。学习不是为了继承知识，而是为了认识世界。

一、 知识是生成的，不是发现的

抽象的知识都是人脑中建立起来的“意义”，都是人类赋予大自然的“说法”。

比如，从一堆苹果和几只兔子那里能发现1、2、3吗？苹果和兔子是能发现的，但1、2、3则是头脑生成的，而不是感官发现的。

首先，1、2、3不是实际的物体，不具有形状，不占有空间，既不发出，也不反射光线，因而不能被看见;其次，在我们说或写1、2、3的时候，其中并不含有苹果、兔子的颜色、温度等物质性因素，一切可感的都剥离掉了;再次，1、2、3能被记在脑子里，又能被说或写出来，人们能够随时认出它，在谈论它时彼此都明白其含义。

由此可知，1、2、3虽然不是自然界的实体，却显然也是一种稳定的存在。它甚至比苹果和兔子更稳定（苹果和兔子还可以变形和消失，1、2、3却始终在那里），所谓“天不变，道亦不变”。可以说，1、2、3什么别的也不是，就是它自己。它甚至不是说出来的那个声音或写出来的那个样子：那只是一种形式，换作另外的形式也是可以的，而其意义却不变。

考察一下幼儿头脑中1、2、3从无到有的产生过程，也许会对我们认识1、2、3有所帮助。母亲在教幼儿学数数的时候，使用的语言是异于成人的。她们专有一套被学者称为“母婴语言”的话语体系，大致是这样的：“看，这是几个苹果？”“看，这是几个兔子？”“看，这是几个书？”……此时，她们指着的苹果、兔子、书等，其实全是“1个”。还有，她们说的是“几个兔子”“几个书”，而不是“几只兔子”“几本书”，为的是更加突出“几个”的意义。就这样，在无数次发问和叮咛中，幼儿“领会”了“1个”的含义。此后，母亲再教“2个”“3个”等。“3”在幼儿那里是个坎，跨过了“3”，再认识4—9就容易了。在母亲指着“1个”说“几个”的时候，她们的头脑里有“数”的意义，而幼儿是没有的。母亲把自己头脑里的抽象意义具体化，这样可以贴近幼儿的实际，使他们能够领会得到——母亲天生就是教育家。幼儿呢？不是“发现”数，而是“生成”了它。母亲的诱导帮助了这个生成，而不是告诉他，让他发现。

具体的物体可以提供对知识的解释。比如，苹果和兔子是对1、2、3的解释。母亲头脑里有了1、2、3，用苹果和兔子来解释，孩子懂了这个解释后接受了，这就是教学。但我们一直忽略了的是，当孩子把1、2、3从苹果和兔子那里迁移到人、树、桌子、椅子、房屋、国家、海洋等的时候，他们头脑里1、2、3的意义已经与母亲当初所教的不同了。新的、泛化了的意义是哪儿来的？是孩子自己生成的。母亲不可能把1、2、3的外延全都告诉孩子，因此也就不能把它的真实内涵全部告诉他。孩子最后能够知道这些，靠的是自己的头脑（即所谓的“悟”）。

20世纪50年代，云南还有一些民族不会数比3更大的数。现在他们会了，但是南美洲雨林里和澳洲海岛上依然有“不会”的民族存在。由此可知生成的不易和教育的重要。

【案例1】“椭圆对称性”的情境教学

《椭圆的几何性质》展示课上，执教教师采用了下面的教学方式：

先让学生画出椭圆x2 4+y2=1的图像，然后挑选一位学生的作品（如图1），实物投影。学生在这张图上“发现”了明显的错误：第三象限的图像“瘪进去了”，而第二象限的则“画得很好”。学生欣欣然，教师则开心一笑，他们在轻松气氛中完成了椭圆对称性的“发现”。

课后，听课教师也对这样的教学赞不绝口，称这是发现法教学的成功案例。

其实，学生能“发现”椭圆“瘪进去了”，恰恰是因为他们头脑里先就有了“椭圆是对称图形”的观念。同样地，他们“发现”第二象限的“画得很好”，也是这个原因。至于这个观念的来源，可能是实际的生活经验，也可能仅仅出于美感上的考虑。如果没有“椭圆对称”这个观念，他们不可能有瘪与不瘪的发现。因此，这是一个“伪探究”“伪发现”。

学生画这个椭圆，只能采用描点法。正常来说，他们先能够标出与坐标轴相交的四个点（此时学生还没有“椭圆顶点”的概念），剩下的就只能找特殊值代入运算。最简单的取点可能是1 2，15 4，1，3 2，3 2，7 4，这三个点描起来可不容易。这还只是第一象限的，在不知道对称性的情况下，其他象限的也只能描点。所以，我不认为其余学生会把图画得比这位学生更高明。

总之，这里学生不是因为看见了而建构，而是因为建构了而看见。当然，因此，对“描点画椭圆、观看对称性”这样的教学设计，我不敢苟同。后来，执教教师跟学生一起详细分析“这个发现是否合理”以及“怎样给出严格证明”，最后完成了真正意义上的“对称性”意义建构，这是我所赞赏的。

更为显然的是，不能以为看了书本就能吸收里面的知识，如果没有头脑中的意义建构，书本就不能给人带来任何实际的知识。也不能以为听了老师的讲课就能懂得里面的意思，如果没有主动的分析和整合，无论多优美的话语都与噪音无异。讲授教学在某些时候的成功，不在于教师讲了，而在于教师所讲的内容以及所用的讲法恰好与学生头脑里的认知结构契合，学生能够也愿意去同化这些内容。脱离了学生的学习意愿，或者脱离他们的同化能力，无论怎么讲，都将是无济于事的。言者谆谆而听者藐藐的情况，实非鲜见。

二、 情境与现象各有什么作用

情境教学最著名的一个例子可能就是多米诺骨牌，它是“数学归纳法”的教学宝典。

【案例2】“数学归纳法”的情境教学

推倒第一个牌九（实物或动画），让后续牌九一个个倒下。然后告诉学生，这就是一个可见的模式，第一个倒下了，以后是一个接一个倒下，用数学的形式写出来是什么样的呢？由此介绍“这就是数学归纳法”，并进入规范步骤的操练。

这个情境的作用是什么？真的能从这里生成数学归纳法的意义吗？

第一，真实的历史是什么样的？事实上，数学归纳法不是从多米诺骨牌中发现的;相反，多米诺骨牌因为数学归纳法而流传开来。帕斯卡首创数学归纳法是在1659年，直到195年后的1854年，多米诺才从中国的牌九（一种骨牌游戏）中发现了该效应并介绍到西方。直到现在，很多人也是到了学习“数学归纳法”的时候才从老师那里听说多米诺骨牌。所以，多米诺骨牌是用以解释数学归纳法的，它把艰深的知识通俗化，把抽象的知识可视化，因而为“认识”数学归纳法提供了一个“模板”。

第二，数学归纳法的合理性在哪里？其教育价值又在哪里？可见的是：数学归纳法的第一步验证了（比如n=1），第二步假设了（k时成立）并由此证明了（k+1时成立）。那么，还会有下面的疑问：只验证一个行吗？要不要多验证几个？既然是证明，怎么可以先假设？既然是假设，怎么又可以作为后续证明的依据？是不是因为k+1时成立，所以命题就成立了？……很明显，如果没有这些追问以及回答，数学归纳法就只能是手工操作的一个程序，动手的人只能是奉命而为，仅仅是因为“听话”而得到了“满分”。因此，掌握这些“技能”的人不是独立的人，只是稍微高级一点的工具而已。

数学归纳法的合理性在于第一步的验证和第二步的递推。验证一次足够。至于“假设k并证明k+1”，根本之处在于完成了“从k到k+1的递推”。有了基础，有了递推，命题便在正整数集上达到了永恒成立。

注意，上述最初的追问以及最后回答的意义（逻辑结构），都不是眼睛看到的结果，而是在头脑中逐步生成的——在生成后，它才有了实在的意义。而教师往往会以为它本来就是实在的（因为他们的头脑里有），学生眼里的“实在性”则很可能仅仅指那几个具体的证明步骤（因为这可见）。无奈的是，标准化的卷面考试中不能对“实在性”的意义加以甄别，“听话的”和“意义生成的”获得了同样的分数。

第三，多米诺骨牌对数学归纳法意义的生成究竟有多大的促进作用？我们不能因为历史上它出现在后面就否定其逻辑上的因果关系，教师频繁地使用这个素材肯定不是没有道理的。学生只知道自己推了一下，然后看着后面的骨牌一个个倒下。但是，骨牌是有限的，学生能不能“看到”或“想到”无限就很难说了。有一点可以肯定，能够想到无限的人都是头脑里本来就有无限的人。

当然，教学时有教师在，他们会启发学生：第一块是真的倒下了，后来的前一块又导致了后一块的倒下，由此一直可以达到“无穷远”……这里，我们究竟是用多米诺骨牌说明了数学归纳法，还是用数学归纳法说明了多米诺骨牌，已经分不清了（教师往往认为是前者）。但是，如果让一个没学过数学归纳法的人看多米诺骨牌，他并不能讲出这些“道道”来。相反，学过数学归纳法的人，即使只看一眼多米诺骨牌，也能把里面的“道道”说得清清楚楚。

第四，数学归纳法应该从哪里产生？答案是：从数学现象里产生。比如，华罗庚先生的《从数学归纳法谈起》就是从1+2+…+n=n（n+1） 2开始的。华先生谈了“验证”“不验证”“递推”“非递推”“假递推”等，一直到很高深的学术形态。

有了对验证和递推的逻辑结构的理解，再来看数学归纳法，就绝不是简单的操作流程了。不但如此，我们还可以发现，那个流程其实并不那么重要，那些步骤掌握起来丝毫没有困难。非但如此，我们还将产生如下的认识：数学归纳法也可以从k到k+2，只要验证两个（比如n=1和n=2）;也可以k到2k，也就是先完成n=2k型数的证明，再把2k和2k+1之间的数补证一下就可以了——这就是“第二数学归纳法”（相应地，前述的称为“第一数学归纳法”）……毫无疑问，这些都不可能从多米诺骨牌里生成，只有在数学现象的“土壤”上才能长出这样茂密的“森林”。

三、 情境教学与现象教学的关系

情境教学重在“发现”，现象教学重在“生成”，这就是情境教学与现象教学的区别。但是，“真实的情境就是现象”，因此，情境教学与现象教学天然相通，操作中的区别主要在于学习材料的真实性。情境教学的一切优秀成果都可以被现象教学所继承，改进的只是对待知识的态度，而不在于具体的一招一式。然而，就是态度上的这一点改进，影响却是巨大的，因为观念才是具有根本的决定意义的。观念是形而上的，招式是形而下的，因此，在“培养什么样的人”这一问题上，现象教学有根本上有不同于情境教学的地方。

【案例3】“椭圆几何性质”的现象教学

直接让学生比画或观察椭圆图形，可以结合画图的过程，感受拉线的不同位置（如图2，每一条拉线都可以处于四个对称的位置），或者结合圆的变换（压扁后还对称）等途径。学生非常容易感觉到它是对称的，于是把“椭圆”纳入“对称图形”中，这就是把椭圆同化了。但“感觉”是不可靠的，还要证明。证明的途径有两条：几何的和代数的。

先看几何途径。根据椭圆定义，回顾图形的形成过程——拉线法作图（从它来的地方认识它），很轻松地就可以知道：拉线的任何一个位置，都有与之对应的3个位置（只有4个特殊的点除外）。这个能不能作为证明呢？目前还不能。因为几何上证明对称性，首先要有对称轴（中心）的存在，然后证明图形上任意一点的对称点仍然在该图形上。现在这个图，对称轴（中心）还没有找出来，因此证明过程无法清晰有序地展开。

再看代数途径。椭圆还有另一种表达形式，即方程。从（x，y）到（-x，y）、（x，-y）、（-x，-y）的变换等，也可以研究其性状。其优点是：坐标轴和原点是天然存在的，代数運算又浓缩了逻辑推理过程，因而简洁明了。

在教学过程中，以上两种方法都应该让学生感受一下，让他们自己选择（基本都会选择代数法）。这样，他们的数学体验是自由而真实的，解析几何的核心观念（用代数方法研究几何问题）也就变成了学生的自觉实践，情感态度价值观得到了充分的表达和强化。

在真实的现象面前，人的思考也是真实的。椭圆先有图像，图像怎么形成？拉线法作图或者圆的压伸变换，两者都可以清晰地形成椭圆的形象。在椭圆的形象建立起来以后，它就成了我们面对的现象，对它的思考就是实在的了。而对性质的清晰认识，又加强了学生对椭圆实在性的感知，使他们头脑里的认知结构更加清晰与稳固。

相应地，还有一种“更原始”的教学方法，那就是知识教学：教师告诉学生（或由学生看书本），椭圆是有对称性的，然后证明给学生看（或者师生共同探究证明路径）。这种方法曾经是教学的唯一方式，但学生只是记住了名词，而不是生成了意义。

四、 未来的教育怎么样

有用的知识一定不是孤立的，它表现为“知识+结构”。而结构一定不是发现的，它只能在人的头脑中生成出来。我们所能“看见”的东西非常有限也非常肤浅，更多的知识不是看到的而是想到的。特别是在抽象知识的学习上，发现是无用的，必须借助于生成。

20世纪伟大的数学家、哲学家怀特海说：“在教师的意识里，孩子们是被送到望远镜前来观察星星的;在儿童的心目中，教师给了他璀璨星空的自由通路”，“教育应该在研究中开始，在研究中结束”。可是，有多少教育是在记忆中开始，在记忆中结束的？出于改变的渴望，人们推行了情境教学法，也获得了不菲的收益。但是很快又发现，那些用于解释知识的情境虽然引发了思考，但是思考的还是知识，情境则成了用过即扔的跳板。从这个意义上说，以情境开场的教学极容易退回到知识教学中去，这也是目前实践中呈现出的常态。必须有一种更为真实的、通向世界的教学，现象教学也就应运而生了。与知识教学、情境教学相比，现象教学追求对真实材料的思考，对一切自己不明白的知识都保持审慎的追问。这种精神上的独立和超然对观念的解放，才是最值得称道的。由此，能够更好地促进思想的自由以及创造力的激发。

【案例4】“二面角”能够教学的三种样态

第一种，知识教学。

告訴学生太阳运行的轨道面（黄道）与地球运行的轨道面（赤道）相交成二面角，地球上的经度也是指二面角（均提供图形）。然后指出二面角是有大有小的，用以测量其大小的是二面角的平面角。最后给出严格的定义，并通过练习加以巩固。

第二种，情境教学。

向学生展示容易看懂的材料，如笔记本电脑、书本、门等的开合，让学生“发现”这里是有角的，接着“发现”这些角是有大有小的。告知他们用二面角的平面角来度量其大小，然后是巩固练习比，包括变式练习。

第三种，现象教学。

让学生拿出一张纸（矩形），完成下列活动：

（1） 你能不能把这张纸折成90°的角？——这时，学生还没有“二面角”的概念，但是事实证明，他们能够折出“90°的角”。这就是人的直觉，数学符合直觉，哪怕是最高深的数学，最初也都来源于直觉。

（2） 你能不能把这张纸折成60°的角？——同样，学生也能完成。

（3） 你怎么确保折成的角就是所要求的度数（如90°或60°）？或者你怎样证明折出的角符合要求？——学生会去度量矩形与折痕垂直的那一边被折成的角的度数，他们的折痕普遍地与矩形的这个边垂直，因此他们度量的其实就是二面角的平面角。

（4） 再折出120°、150°的角，可以吗？——学生会有困难，但是还算“顺手”。

（5） 请把纸撕成不规则的形状，比如树叶型，重复上面的活动。——这时，已经没有现成的、与棱垂直的线可用，也就是说，没有现成的“平面角”。而正是在这个更原始的材料中，学生感知到要度量的是什么角。在他们把塑料三角板插入折过的纸片里的时候，就已经真实地触摸到了二面角的平面角。用90°、60°和45°完成真实感知后，再用120°、150°和135°加以强化，前者是可以实测的，后者则必须“作出与棱垂直的线”，这就已经是很清晰的“平面角”概念了。然后进行严密的数学化，形成概念。

（6） 在树叶型纸片上把二面角的平面角制作出来。——把树叶型纸片沿与棱垂直的线折起，沿折痕剪开。剪口就是与棱垂直的两条线，翻折时剪口的边沿始终是二面角的平面角。

第一种教学中，教师提供的素材都是人类已有的知识，可以说是真实的，但是离学生的生活经验太远，因而无法被真切地感知。其意义只能由教师告诉学生，学生的反应是：“哦，知道了。”

第二种教学中，教师所给的材料都是规范化的图形，因为用以代表半平面的是矩形，有现成的边与棱垂直。也就是说，二面角的平面角已经在那里，学生也能用那个角进行度量，几乎没有思维量。学生没有形成二面角的平面角的机会，他们的反应是：“哦，看到了。”

二面角教学的关键在于“平面角”意义的建构。学生能够看见二面角，但是二面角的平面角只能是抽象意义的生成。那两条与棱垂直的线，不是“发现”的，而是“生成”的。后来头脑里生成了它，眼睛才看见了它。矩形纸张、笔记本电脑等的开合都已经有了现成的图形，会把学生的视线引向它们的边沿，这就干扰了学生的概念生成。这些在情境教学里被认为是很好的材料，在现象教学里却被认为是不合适的。第三种教学中，用树叶型纸张折叠，并在其中“凭空”产生两条与棱垂直的线，这才是思维的创造，是意义的自然生成。学生的反应是：“嗨，想到了！”

三种教学样态，其教学目标、教学方式、学习方式以及知识观、学生观、课程观等都是不一样的（详见表1）。

事实上，“现象”一词早在20世纪30年代就已是哲学名词，思想家们研究它已接近一个世纪。目前，“现象学”是最出成果的学术领域之一。重大思想总是首先进入哲学领域，然后才进入科学领域。如此说来，“现象教学”的提出也符合学术发展的一般规律。作为哲学上“现象学”的具体应用，现象教学的前途很可期待。未来的教育很可能是知识教学、情境教学、现象教学共存的局面，而在高年龄段中，现象教学应该是主流形式。劳作在人类认识前沿的思想家，所愿意面对的就只有现象，所有的现有知识都在他们的审视之列。

（孙四周，江苏省苏州市吴江盛泽中学数学教师，特级教师，正高级教师。著有《思维的起源》《现象教学》《现象教学案例选》等。）