偏序集的内蕴拓扑连通性

徐罗山, 唐照勇

(1.扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002;2.扬州大学广陵学院,江苏扬州225127)

§1 引 言

按Bourbaki学派的观点,序结构,拓扑结构和代数结构是数学中的三大母结构,这些结构相互交叉与渗透且可派生更多的数学结构[1-2].Domain理论[2],或更一般的连续偏序集理论主要研究偏序集,体现了序,代数与拓扑的相互渗透.其中一个基本而重要的的结果是:一个偏序集是连续的当且仅当它上面的Scott拓扑是完全分配格[3-4].这说明,一方面利用内蕴拓扑可研究偏序结构,另一方面利用偏序结构也可研究相关的拓扑结构[3-6].Domain理论受到了计算机科学和数学领域诸多学者的关注,且不断地向信息科学,逻辑学,分析学及各种应用学科渗透.

偏序集的连通性直观性很强,这一性质在文献[7]和[8]中有所研究.这些研究纯粹是从序的方面直接考量的,称这种连通为序连通.本文则从序与拓扑的交叉考虑,进一步研究偏序集在多种内蕴拓扑下的连通性和局部连通性.结果表明,偏序集的序连通与它的Alexandrov拓扑连通,它的Scott拓扑连通均是等价的.本文还证明了每一偏序集赋予Alexandrov拓扑和赋予Scott拓扑均是局部连通的.构造了反例说明偏序集的下拓扑连通不能保证偏序集本身是序连通的.

§2 预备知识

下面给出预备知识,具体内容详见文献[2],[9]和[10].

设P为集合,则P上的自反,反对称且传递的二元关系称为P上的偏序关系,记作.设为P上一个偏序关系,则称(P,)为一个偏序集,此时也简称P为偏序集.P的对偶偏序集(P,)记为Pop.

设P为偏序集.D为P的非空子集.若对任意a,b∈D,存在c∈D使ac且bc,则称D为P的定向集.

设A⊆P,记↓A={y∈P|∃x∈A,yx},↑A={y∈P|∃x∈A,xy}.如果A=↑A,则称A为上集;如果A=↓A,则称A为下集.简记↓{y}为↓y及↑{y}为↑y,并分别称之为P中由y决定的主理想和P中由y决定的主滤子.元素z∈P称为A的一个下界,若A⊆↑z.集A的全体下界之集记作lb(A).对偶地,称z∈P为A的一个上界,若A⊆↓z.集A的全体上界之集记作ub(A).用supPA或A表示A在P中的最小上界(也称上确界),简记为A或sup A.对偶地,P用infPA或PA表示A在P中的最大下界(也称下确界),简记为A或inf A.若偏序集P中任意有限子集都有下确界(上确界),则称P是交半格(并半格).若P中任意有限子集都有下确界和上确界,则称P是格.

引理2.1设P是偏序集,U⊆P为非空上集,A⊆U.则supUA=supA.

证当supUA存在时,supUA为A在P中的上界.又若A在P中另有上界y∈P,则由U⊆P为上集知y∈U为A在U中的上界,从而supUA6y.这说明supUA是A在P中的最小上界,即supA=supUA.

类似地,当supA存在时也有supUA存在且supUA=supA.

定义2.1[2,9]设P为是偏序集,A⊆X.如果(1)A=↓A;(2)对任意定向集D⊆A,当上确界supD存在时便有supD∈A,则称A为P的Scott闭集.P上的全体Scott闭集记为σ∗(X).P上Scott闭集的补集称为Scott开集,P上全体Scott开集形成的拓扑称为P的Scott拓扑,记作σ(P).

易知U⊆P为Scott开集当且仅当:(1)U=↑U;(2)对P中任一定向集D,当supD存在且supD∈U时,有D∩U∅.偏序集上的Scott拓扑均为T0拓扑.又若P是有限偏序集,则σ(P)={↑A|A⊆X}为P的全体上集构成.

引理2.2设P是连续偏序集,U⊆P为非空Scott开集.则U上的Scott拓扑与U继承的P的Scott子空间拓扑相等,即σ(U)={U∩V|V∈σ(P)}.

证设V∈σ(P),W=U∩V,要证W∈σ(U).若W=∅,则W∈σ(U).下面设W∅.作为两上集的交,W自然是上集.又对U的任一定向集D当supUD∈W=U∩V时,由引理2.1,supD=supUD∈W=U∩V,特别supD∈V∈σ(P).于是D∩V∅,从而由D⊆U得D∩V=(D∩U)∩V=D∩W6∅.这说明W∈σ(U),故σ(U)⊇{U∩V|V∈σ(P)}.

反过来,设W∈σ(U),要证W∈σ(P).首先(1)由U⊆P为上集且W⊆U又为U的上集知,W也为P的上集.又对P的任一定向集D,当supD∈W⊆U时,由U∈σ(P)得D∩U∅,从而D∩U为U中定向集且有sup(D∩U)=supD∈W.由引理2.1,supU(D∩U)=sup(D∩U)∈W.由W∈σ(U)得(D∩U)∩W=D∩W∅,故Scott开集条件(2)对W也成立.于是W∈σ(P),从而W=U∩W∈{U∩V|V∈σ(P)}.综合得σ(U)={U∩V|V∈σ(P)}.

定义2.2[2,9]拓扑空间X上的特殊化序s定义为xsy当且仅当x∈{y}−,其中{y}−为独点集{y}的闭包.当X为T0空间时,s是X上一个偏序,称偏序集(X,s)为X的特殊化偏序集.

易知,在特殊化序下,拓扑空间X的开集一定是上集;闭集一定为下集;点x的主理想就是该点的闭包{x}−.

定义2.3[2,9]设P为偏序集.则P的全体上集形成P的一个拓扑,称为P的Alexandrov拓扑,记作α(P).而P的全体下集形成的拓扑称为对偶Alexandrov拓扑,记作α∗(P).P的以集族{P−↑x|x∈P}(分别地,{P−↓x|x∈P})为子基生成的拓扑称为P的下拓扑(分别地,上拓扑),记作ω(P)(分别地,ν(P)).

定义2.4[10]设X是拓扑空间.如果X中不存在两个非空闭集A,B使A∪B=X且A∩B=∅,则称X是连通空间.如果X的子集A作为子空间是连通空间,则称A是X的连通子集.

众所周知,拓扑空间X是连通空间当且仅当X中不存在两个非空开集A,B使得A∪B=X且A∩B=∅.

§3 偏序集的序连通性

文献[7-8]研究了偏序集的连通性,为了与后文的拓扑连通性区分,称偏序集的这种连通性为序连通性.本节对序连通性做进一步探讨.

定义3.1[8]设P是偏序集,a∈P.集合列称为a的步集列.令,并称为a在P中的序连通分支.

定义3.2[8]设P是偏序集,如果每一a∈P,a的序连通分支,则称P是序连通的.不是序连通的偏序集称为不连通偏序集.

命题3.1设P是偏序集,a,b∈P.则

(3)偏序集P是序连通的充要条件为其对偶偏序集Pop是序连通的;

(4)如果偏序集P有最小元,或有最大元,则P是序连通的;

(5)如果偏序集P是一个交半格,或并半格,则P是序连通的;特别任一全序集,任一格均是序连通的.

证(1)设.则存在i使得,这样,从而得知是下集.对偶地可得也是上集.

(3)对任意a∈P,由定义3.1,在对偶偏序集Pop=(P,)中定义的与在(P,6)中定义的相等,故结论(3)成立.

(4)若a∈P为P的最小元,则,从而成立,故P是序连通的.如果P有最大元,则Pop有最小元从而是序连通的.由(3)知P是序连通的.

(5)以交半格为例证之.若偏序集P是一个交半格,则任意a,b∈P,存在由(2),知,即P只有一个序连通分支,故P是序连通的.

定理3.1设P是偏序集.则P不序连通当且仅当存在P的两个非空子集A,B⊆P使得A∩B=∅,A∪B=P且A,B既是上集又是下集.

证=⇒:设P不序连通.任取a∈P,令则A,B均为P的真子集,A∩B=∅,A∪B=P.由命题3.1(1),知A既是上集又是下集,作为A的补集,B也既是上集又是下集.

⇐=:设P有两个非空子集A,B使得A∩B=∅,A∪B=P且A,B既是上集又是下集.任取a∈P,则a∈A或a∈B.不妨设a∈A.则,从而由a∈P的任意性得P不序连通.

§4 内蕴拓扑的连通性

本节考虑偏序集赋予诸如(对偶)Alexandrov拓扑,Scott拓扑,上拓扑,下拓扑等内蕴拓扑后所得拓扑空间的连通性.

定理4.1设P是偏序集.则下列各条件等价.

(1)P序连通;

(2)(P,α(P))连通;

(3)(P,α∗(P))连通;

(4)(P,σ(P))连通.

证(1)⇒(2):用反证法.如(P,α(P))不是连通空间,则存在两个非空开集A,B⊆P使得A∩B=∅,A∪B=P.则A,B均是上集.此时,易证A,B也均是下集.于是由定理3.1得P不序连通,矛盾于(1).

(2)⇔(3):直接由拓扑空间连通性的一般刻画定理推得.

(3)⇒(4):用反证法.如(P,σ(P))不是连通空间,则存在两个非空Scott闭集A,B⊆P使得A∩B=∅,A∪B=P.此时作为Scott闭集,A,B均是下集,矛盾于(3).

(4)⇒(1):用反证法.若P不序连通,由定理3.1得P中存在两个非空子集A,B⊆P使得A∩B=∅,A∪B=P且A,B既是上集又是下集.此时,对A中任一定向集D,当supD存在时,由A是上集得supD∈A.又由A也是下集得A是Scott闭集.同理B是Scott闭集,这样便得(P,σ(P))不连通,矛盾于(4).

集合X上拓扑τ粗于η是指τ⊆η,此时也称η细于τ.细的拓扑连通则较粗的拓扑必连通.

命题4.1设P是偏序集,若(P,σ(P))连通,则空间(P,ν(P))和(P,ω(P))均连通,反之不成立.

证由定理4.1, 当(P,σ(P))连通时,(P,α(P))和(P,α∗(P)均连通.由于α(P)和α∗(P)分别细于ν(P)和ω(P),故(P,ν(P))和(P,ω(P))均连通也都连通.但反之不成立.取两个平行放置的开线段H={0}×(0,1)∪{1}×(0,1)作成偏序集使得不同线段上的两点不可比较,同一线段上的两点按第二坐标决定大小.则显然H不是序连通的,从而由定理4.1,(H,σ(H))不是连通空间.然而,注意到非空的ν(H)−开集均含有两平行开线段的上部的一小段,从而两非空开集均相交不空.于是(H,ν(H))是连通空间.同理,(H,ω(H))也是连通空间.

当P是有限偏序集时,由定理4.1及命题4.1立得:

推论4.1设P是有限偏序集.则下列各条等价.

(1)P序连通;

(2)(P,α(P))连通;

(3)(P,α∗(P))连通;

(4)(P,σ(P))连通;

(5)(P,ν(P))连通,和(或)(P,ω(P))连通.

定理4.2设(X,τ)是拓扑空间,s是空间X上的特殊化序.若偏序集(X,s)是序连通的,则拓扑空间(X,τ)是连通的.

证用反证法.如(X,τ)不是连通空间,则存在两个非空开集A,B⊆X使得A∩B=∅,A∪B=X.此时作为开集,A和B均是特殊化偏序集(X,s)的上集.这样关于偏序集(X,s),Alexandrov空间(X,α(X))便不连通.从而由定理4.1得(X,s)不序连通,矛盾.

需要注意的是,如果拓扑空间(X,τ)是连通的,一般得不到特殊化偏序集(X,s)序连通.例如实数空间是连通的,而其特殊化序是离散序,不是序连通的.

§5 内蕴拓扑的局部连通性

本节考虑偏序集赋予诸如(对偶)Alexandrov拓扑,Scott拓扑等内蕴拓扑后所得拓扑空间的局部连通性.

定义5.1[10]设(X,τ)是拓扑空间,x∈X,如果x的任一邻域均含有x的一个连通邻域,则称拓扑空间(X,τ)在x处局部连通.如果(X,τ)在每点都局部连通,则称(X,τ)是局部连通空间.

按这一定义,连通空间不必局部连通.值得注意的是,虽然细的拓扑连通能得到粗的拓扑一定连通,但细的拓扑(例如离散拓扑)局部连通却推不到粗的拓扑也局部连通.

定理5.1任一偏序集P,空间(P,α(P))和(P,α∗(P))是局部连通的.

证以空间(P,α(P))为例证之.对任一x∈P及任一含x的上集U,有↑x⊆U且↑x有最小元从而是序连通的.又由定理4.1,赋予Alexandrov拓扑↑x是连通的,从而(P,α(P))在X处是局部连通的.由x的任意性得空间(P,α(P))局部连通.

为研究偏序集赋予Scott拓扑的局部连通性,先回忆一下连通分支的概念和性质.

定义5.2[10]设(X,τ)是拓扑空间,x,y∈X,如果存在X的一个连通集A使x,y∈A,则称点x,y在拓扑空间(X,τ)中是连通的.容易证明X中点的上述连通关系是X上的等价关系,这个等价关系的每个等价类称为空间X的连通分支.

引理5.1[10]设(X,τ)是拓扑空间.则下列结论成立.

(1)空间X的连通分支是X的极大连通子集;

(2)空间X的每一连通分支都是X的闭集;

(3)空间X的不同连通分支不相交,且X的全体连通分支之并为X.

定理5.2任一偏序集P,空间(P,σ(P))是局部连通的.

证对任一x∈P及任一含x的Scott开集U,由引理2.2,(U,σ(U))是(P,σ(P))的开子空间.设子空间(U,σ(U))的连通分支全体为{Ci}i∈J.由引理5.1(3),存在i使得x∈Ci.再由引理5.1(1)得Ci⊆U是U的含x的连通子集,从而也是空间(P,σ(P))的连通子集.又任一y∈Ci及z∈P,当yz时,由U是上集得z∈U.这样存在(U,σ(U))的连通分支Cj使z∈Cj.由引理5.1(2)得Cj为U的闭集,从而是U的下集,于是y∈Cj成立.再由不同连通分支不相交知z∈Ci∩Cj=Cj=Ci.这说明Ci为上集.又对P的任一定向集D,当supD存在且supD∈Ci⊆U时,由U是Scott开集,得D∩U∅.取y∈D∩U,则ysupD∈Ci.由Ci为U的闭集从而是下集得y∈Ci⊆U.这说明Ci⊆U为P的含x的连通的Scott开集.于是(P,σ(P))在任一点x处局部连通,从而是局部连通空间.