基于小波变换的彩色图像FISTA去噪

程凡强，朱永贵

(中国传媒大学数据科学与智能媒体学院，北京 100024)

1 引言

线性逆问题在天体物理学、光学、信号/图像处理和统计学等学科建设中应用广泛，反问题的跨学科性质通过大量的文献得以证明并迅速发展。本文使用快速迭代收缩阈值算法(FISTA)结合小波变换得到一种新的算法，使用该算法对彩色图像进行去噪处理。对于这一类问题，在研究之前，需要从一个基本的线性逆问题入手，但此问题需要离散化以后才能进行，下面就对该问题进行离散化。这个离散的线性系统的形式为

Ax=b+w

(1.1)

当A∈Rm×n和b∈Rn已知时，w是未知噪声(扰动)向量，x是待估计的未知真信号/图像。例如，在图像模糊问题中，b∈Rn代表模糊图像，x∈Rn是未知真图像，假设其大小与b相同，即m=n。b和x都是通过列字典序的方式形成的。在这些应用中，矩阵A代表了模糊算子，由观测到的模糊噪声图像b估计真图像x的问题称为图像去模糊问题。

1.1 背景

解决问题(1.1)的经典方法是最小二乘法(LS)[1]，用以下公式使数据误差达到最小化，即

当m=n(如图像处理应用中的特殊情况)以及A是非奇异矩阵时，LS只是辅助解A-1b。在图像去模糊中，A经常是病态的[2]，在这种情况下，LS的解通常有一个巨大的范数，因此导致所得到的解毫无意义。为了克服这个困难，需要用正则化方法使原问题变成“良态”问题，从而使解稳定、唯一。正则化的基本思想是用一个“邻近的”条件良好的问题来代替原来的条件不好的问题，则该问题的解就近似于所需要的解。其中最开始流行的一种正则化是由Tikhonov提出的，后来被命名为Tikhonov正则化[3]，又称为L2正则化方法，其实质就是加了二范数的平方，即

(1.2)

上述最小化问题中的第二项是控制解的范数的正则化项。正则化参数λ>0在测量的保真度和噪声灵敏度之间提供了一个权衡。L最常见选择是接近一阶或二阶导数算子的恒等式或矩阵；可以参见文献[4，5，6]。

后来，在研究图像或信号处理中，人们又发现了另一种正则化项，叫作L1正则化，它的形式是

(1.3)

1.2 贡献

凸优化问题(1.3)可通过内点法求解[11]。然而，在大多数应用中，问题几乎都是大规模的密集的矩阵数据，这基本排除了使用复杂的内点法。因为这些问题的存在，推动了人们对求解(1.3)的更简单的算法搜索。经过多年探索，人们找到了一种公认的效果较好的方法，那就是迭代收缩阈值算法，其中每次迭代都涉及矩阵向量乘法，并且涉及和之后是收缩软阈值步骤；请参见文献[12，13，14，15]。

2 基本事实

在给出这个优化算法之前，先给出一些基于梯度的基本事实。

2.1 梯度方法

考虑连续可微函数f∈Rn→R的无约束最小化问题，如下

(U) min{f(x)：x∈Rn}

解决(U)的最简单方法之一是梯度法，其生成序列{xk}是由

x0∈Rn，xk=xk-1-tk▽f(xk-1)

(2.1)

其中tk>0是一个合适的步长。梯度迭代(参见文献[16，17])可以被看作线性化函数f在xk-1处的近似正则化[18]，并且等价为

2.2 迭代收缩阈值算法(ISTA)

在求解拥有L1正则化项的问题时(这是这类问题的一种特殊情况)，最常用的方法就是ISTA方法，它被看作是梯度法的扩展，因此，ISTA方法所采用的思想与梯度法基本一致。在每次迭代时都用到矩阵向量乘法，然后涉及和之后就是软阈值步骤。

下面给出ISTA的一般步骤是

xk+1=Γλt(xk-2tAT(Axk-b))

(2.2)

其中Γ是一个合适的步长，且Γα：Rn→Rn是由下式定义的运算符

Γα(x)i=(|xi|-α)+sgn(xi)Γ

(2.3)

在众多的优化文献中，ISTA的收敛性分析已经在不同的文献中得到了很好的研究，包括各种修改与改进；可以参见文献[7，9，19]，它的重点是确定序列{xk}收敛到(1.3)解的条件。ISTA的优点在于它的简单性；但却忽视了本身收敛的缓慢性。

这就是该算法的核心部分，那么接下来给出完整的ISTA算法：

ISTA算法:输入:L:=L(f) - ▽f的Lipschitz常数第零步:给定初始值x0∈Rn.第k(k≥1)步:计算xk=pL(xk-1)(2.4)

其中pL(·)是更一般的ISTA方法。

在下一节中，将给出本文所做的具体贡献，在原有算法的基础上进行改进，对彩色图像进行处理，得到的效果很是不错。

3 彩色图像处理

在给出彩色图像处理的程序与效果图之前，我们还需要知道以下基本事实。

ISTA方法的出现，对于求解线性逆问题是一个极大的突破，很好的解决了“病态”问题，能够使这类问题都有唯一解。然而，美中不足的就是收敛速度确实太慢，所以后人又在此基础上进行了改进，发现并提出了很多种方法，但是应用较多的或者是最常用方法就是FISTA。

当正则化项为零时，模型(1.2)或(1.3)和ISTA就简化为梯度法。这是一种“最优”的一阶方法。值得注意的是，文献[20]中开发的方法在每次迭代时不需要多一个梯度评估(即与梯度方法相同)，只是进行了一次巧妙的选择，找到了一个易于计算的附加点而已。

在本节中，将会呈现新方法，既然作为ISTA的改进版，它必须保持原有的计算简单性，而且还有比原来更快的收敛速度，显然这些都已经满足。

3.1 小波去燥模型

在各种各样的模型中，小波去燥模型是研究的重中之重，这种模型的离散化形式如下

(3.1)

其中B∈Rm×n是观测到的模糊噪声图像，W：Rm×n→Rm×n是小波变换，X是原始图像(“真”图像)，λ是正则化参数。

处理L1范数正则化准则的基本原理是大多数图像在小波域中具有稀疏表示。在去噪领域中，小波理论受到了许多学者的重视，他们应用小波进行去噪并获得了非常好的效果。这样就不得不说一下小波变换所具备的特点：

(1)低熵性。小波系数的稀疏分布，使得图象变换后的熵降低，从而更好的刻画细节特征；

(2)多分辨率。由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好的刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖点、断点等；

(3)去相关性。因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更有利于去噪；

(4)选基灵活性。由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同应用场合，对不同的研究对象，可以选用不同的小波母函数，以获得最佳的效果。

由于其特点，在后来的去噪模式中，逐步取代了傅里叶变换的地位。小波去噪的方法主要包括三个基本的步骤：第一，对含噪声信号/图像进行小波变换；第二，对变换得到的小波系数进行某种处理，以去除其中包含的噪声；第三，对处理后的小波系数进行小波逆变换，得到去噪后的信号。

注：小波去噪方法的不同之处集中在第一步。

3.2 快速迭代收缩阈值算法(FISTA)

当求解问题(3.1)时，采用ISTA方法是个较为不错的方法，只是迭代较为缓慢，因此，在此基础上进行了改进，找到一个加速因子，把它应用到ISTA方法中，得到的这个新的方法在计算量上并没有增加多少，但是收敛速度成几何倍增加，效果也令人满意。

下面就给出FISTA算法：

FISTA算法:输入:L:=L(f) - ▽f的Lipschitz常数第零步:给定初始值y1=x0∈Rn,t1=1.第k(k≥1)步:计算xk=pL(yk)(3.2)tk+1=1+1+4t2k2(3.3)yk+1=xk+(tk-1tk+1)(xk-xk-1)(3.4)

上述算法与ISTA的主要区别在于迭代收缩算子pL(·)不仅只用前一个点xk-1，而是使用前两个点，即xk-2，xk-1，这样，就能得到这个算法中的点yk。显然这两个方法的主要计算工作量并没有发生变化，即在运算符pL(·)中。而(3.3)和(3.4)中tk+1，yk+1对所需的额外计算就显得微不足道了。

4 算法代码及实验结果

在本节中，将给出基于小波去噪的彩色图像FISTA的算法及对应实验结果。为了更好的表现所给代码的去噪效果，我们把原图一起进行比较，比较结果如下：

clc

close all

clear all

addpath(‘utils’)；

X=

double(imread(‘images/woman1.jpg’))；%double(imread(‘images/Lena.bmp’))；%double(imread(‘images/cameraman.pgm’))/255；

X=X/255；

subplot(1，3，1)

imshow(X，[ ])，title(‘Original Image’)；

sigma=0.1；

Bobs=X+sigma*randn(size(X))；

B=Bobs；

subplot(1，3，2)

imshow(B，[ ])，title(‘Noised Imgae’)

iwav=@(x)Wavedb1Phi(x，1)；% Inverse Wavelet Transform

wav=@(x)Wavedb1Phi(x，0)；% Wavelet Transform

pars.MAXITER=20；

alpha_1=12；%1e-4；

X_out=

denoise_wavelet_FISTA(B，wav，iwav，1/alpha_1，pars)；%denoise_wavelet_FISTA(B，wav，iwav，1e-4，pars)；

u=X_out；

subplot(1，3，3)

imshow(u，[])，title(‘Denoised Results’)；

Rel=norm(u(：)-X(：))*100/norm(X(：))

SNRValue=SNRZHU1(X，u)

SNRValue1=snr(u，X)

图1 Rel=15.0587

图2 SNRValue=16.4443

图3 SNRValue1=12.5203

从上面的图片1-3中不难看出，去噪效果还是很明显的，而且很好的保留了原图像的细节，图1为原始图像、图2加噪图像和图3去噪图像，上述结果分别为去噪图像与原始图像的差、去噪图像与原始图像的信噪比(两种方法)，一般来说，信噪比指的是放大器的输出信号与同时输出的噪声的比。信噪比越大，说明混在信号里的噪声越小，声音回放的音质量越高，否则相反。

5 总结

在图像处理应用中，我们不能直接作用于图像，或者说通常意义下的图片，因此需要将其模型化处理，这样就与线性反问题联系到一起了。在解决这类问题的时候，用传统的方法(即最小二乘法)解决起来非常麻烦，而且经常求不出解，这就是我们所说的“病态”问题，为了得到最优解，我们需要将方程进行处理，然后得到我们需要的结果。目前较为流行的方法就是加正则项，使原来的“病态”问题变成“良态”问题，这样就能求解了，而且解也是唯一的。当然正则化项是多种多样的，如本文提到的L1、L2正则化项，还有未涉及到的TV正则化项，等，这些都是根据不同情况加上的正则化项。

本文解决的问题是在小波变换下对含有L1正则化项的反问题，通过FISTA算法处理彩色图像，从主观来说，基于小波去噪的彩色图像FISTA算法修复效果更好，具有更强的竞争力。这种方法的出现使得图像处理变得更加简单、高效、清晰。