把课堂交给学生 把学生推到台前——评一节数学习题课

孙群安（湖北省武汉市财贸学校）

一、教学过程点评

在本节课前，教师进行了一个检测，主要考查等差数列的教师教学与学生学习效果，共两道解答题。本节课教师准备就检测题的解题思路进行分析，采用学生自主探究的形式。

在大多数情况下，课堂导入是课堂开始吸引学生注意力、引导学生思考的重要环节。本节课是一节习题讲评课，因此课堂导入非常简单，直奔主题，课堂导入根据课堂需要进行了灵活处理。

1.学生演示，发现自身不足

题目1已知等差数列{an} 中，a2=4，Sn=n2+λn，求an。

生1：因为a1=S1=12+λ×1=λ+1，S2=4+2λ=a1+a2=a1+4，a1=2，λ=1。所以……

师：同学们听懂了吗？

生：没有。

师：为什么？

生：条理和逻辑不清晰。

【点评】数学表达能力是学生学习数学的目标之一，也是学生数学思维形成的有效方式之一。生1的数学表达所反映的问题给教师提供了很好的素材，使生1对照自己总结经验，学会反省，达到自我优化的目的，其他学生从中吸取教训，避免类似问题的出现。

2.对比示范，理解正确表达

师：那么怎样才能做到条理和逻辑清晰呢？下面我们再让一名学生介绍下自己的思路。

生2：当n=1时，S1=12+λ×1=λ+1=a1；当n=2时，S2=4+2λ=a1+a2。所以S2-S1=(4+2λ)-(λ+1)=a2，且a2=4。 所以λ=1，a1=2，d=a2-a1=2。

此时大部分学生表示已经理解了。

【点评】数学思想方法的教学需要较长时间的坚持才能有效，是潜移默化、润物细无声的“慢工”，体现在不断变化的课堂进行中。本节课通过两名学生不同解题思路的分析、对比，学生掌握了此题的解题思路，知道了如何用正确的数学方式去表达，也体会到了清晰的数学表达的好处。

3.引导学生小结，促进思维形成

师：请同学们想一想，解决这道题的关键是什么？

学生思考，沉默。

师：这道题的已知条件涉及了哪些知识？

生3：有等差数列、等差数列的项、等差数列的前n项和，等等。

师：所以这道题的解题关键是要建立什么关系？

生3：关键在于建立等差数列的项与前n项和之间的关系。

师：哪名学生说一下等差数列的项与前n项和之间有哪些关系呢？

生4：求和公式：还有an=Sn-Sn-1。

【点评】教师在课堂中是观察者和引导者，在学生自主学习的过程中，观察学生对数学知识和数学问题的理解情况，并设计恰当的问题，引导学生深入思考。

这道题学生通过等差数列的项与前n项和之间的关系，分析找到了解题的突破口，在教师的引导下，总结出一类问题的解题思路，实现了数学思维的形成。

4.练习提高，检验探究成果

师：非常好！下面我们来看下一道题。

题目2已知等差数列{an}中，2an+1-an=2n+3，求数列的通项公式an。

生5：由 2an+1-an=2n+3，且{an}为等差数列可得，当n=1时，2a2-a1=2×1+3=5，即2(a1+d)-a1=5；当n=2时，2a3-a2=2×2+3=7，即2(a1+2d)-(a1+d)=7。联立，得解得所以an=2n-1。

【点评】在教师细心、及时的引导下，学生开始注意数学表达的清晰、准确，从而提高了学生自主学习的效率。

5.及时阶段小结，形成数学思维

师：这个解法的数学思维方法的特点是什么？

生：代数运算。

师：除了代数运算，生5通过取n=1和n=2两种特殊情况求通项公式an，体现了什么数学思想？

生：从特殊到一般。

【点评】学生自主学习探究过程中的提炼、总结，可以逐步帮助学生提高数学学科核心素养，最终达到巩固和升华。在这个环节中，教师的引导作用得到凸显。

6.开拓解题思路，激发学习兴趣

师：同学们还有没有其他解法？

生6：因为{an}为等差数列，且2an+1-an=2n+3，所以an+1+an+1-an=2n+3。而an+1-an=d，所以an+1+d=2n+3，即an+2=2n+3。设函数f(n+2)=2n+3，则f(n)=2n-1。所以an=2n-1。

【点评】一题多解可以开拓学生思路，激发学生兴趣，是很好的培养学生创新思维的方法。本节课特别注重对学生思维的开发，鼓励学生不同思维的碰撞。

7.反思思维过程，巩固数学思想

师：这个解法的思维方法的特点是什么？

生7：运用了等差数列an+1与an这种前后项之间的关系，即an+1-an=d。

师：这就是递推关系的本质，还有呢？

学生沉默思考。

师：由an+2=2n+3到f(n+2)=2n+3，再到f(n)=2n-1，这是什么数学思想？

生8：函数思想。

师：对，函数思想是一种重要的数学思想。

【点评】课堂小结不仅是课堂结束后做的事情，每一个教学环节结束后的思维过程的反思也更有针对性。

8.拓展学生思维，培养创新意识

师：大家想想，还有什么方法可以解决这个问题？

学生讨论，但是没有结果。

师：大家试试看，由2an+1可以联想到什么？

学生继续讨论。

生9：由2an+1联想到等差中项，即2an+1=an+an+2。把2an+1-an=2n+3变成an+2+an-an=2n+3，也可以得到an+2=2n+3。

【点评】本节课两道题的解答思路都不唯一，体现了教师设计问题的深思熟虑，以及科学性和严谨性，让学生对每道问题从不同方面进行解读和思考，不仅可以收到同样的效果，还帮助学生避免陷入题海战术的陷阱，使学生的思维得到拓展，创新意识逐步形成。

二、教学亮点分析

1.科学、细致地学情分析

本节课从两道等差数列的问题入手，全过程体现了学生的主体性，解题思路的讲解、思维方法的归纳、小结和点评都由学生完成，教师只在课堂推进过程中出现问题时，以及在每一次转换环节才加以引导。

著名作家、演说家肯·罗宾逊说过，人的潜能犹如矿产资源，埋得很深。由此可见，教师对学生有充分的信任，开展学生自主探究学习，最大的困难在于课堂节奏的控制，课堂效率的掌握，这都要求教师对学生非常了解。对学生自主学习过程中可能出现的问题有一个基本的判断，整节课教师看似参与很少，实际上教师对课堂的进程和节奏胸有成竹。教师的自信来自对学生学情的充分分析与准确把握。

2.合理利用课堂教学中出现的状况

数学教学需要教学理论的支撑和经验的积累，需要逐步提升教学应变能力，合理利用教学过程中出现的任何状况，把它变成我们的教学资源和教学契机。

本节课在第一道题生1的回答中出现了一些情况，这并不是事先设计出来的，如果教师能有效利用，对教学来说并不一定是坏事，与经过事先设计的正确的解题示范相比，效果会更好。本节课教师把握住了教学机会，加以利用这一情况，很好地促进了教学目标的达成。在教学过程中，常常会有许多意想不到的事情发生，有经验的教师反而会借力打力。

3.充分发挥学生的主体性

本节课充分发挥了学生的主体性，所有问题的解决要么是学生独立思考，要么是合作讨论得出，在必要的环节和内容转换时教师才适时出现。在整个过程中，教师以观察为主，引导时机把握得恰到好处，有效培养了学生的数学学科核心素养，为学生的可持续发展和终身学习创造了条件。

教师更多的时候是观察者和引导者。在学生自主学习的过程中，观察学生对数学知识和数学问题的理解情况，并设计恰当的问题，引导学生深入思考，实时小结，开展合作学习等，根据学生的发展情况，构建基于核心素养的各种活动。例如，在学生出现数学表达问题时，教师并没有直接给出，而是引导学生说出；在学生不能直接总结出题目1解题的思维关键时，教师立刻设置一个台阶，引导学生发现问题的答案。在学生没有发现2an+1=an+an+2对题目2的解题思路的帮助时，教师设计问题，引导学生去发现。

4.注重学生数学思想方法的形成

学生数学思想方法的形成是一个渐进的过程，考验着教师的耐心和毅力，它蕴藏在数学的每一个细节中，都需要较长时间的坚持才能奏效。数学学习不仅是解数学题，而是通过解决数学问题，帮助学生领会数学思想方法，每一个思维过程的小结都是一个非常好的帮助学生提升数学学习能力、培养数学思维的手段。本节课通过学生解决两道数学问题的步步推进，特别注意在课堂上渗透、提炼与概括。例如，通过解答题目2的第一种解法的解题思路分析，了解了从特殊到一般的数学思想方法，通过解答题目2的第二种解法的解题思路分析，了解了函数思想在数列的应用，在不断变化的课堂进程中，帮助学生逐步掌握数学思想方法。数学思想是灵活运用数学知识解决问题的支撑。

本节课教师努力创造学生自主学习的氛围，真正做到了把课堂交给学生，把学生推到前台，通过师生之间问题的探讨、思想的碰撞、情感的交融，达到学生的共同成长和个性发展，避免出现一切完全都是在教师控制之下虚假的“自主”学习。