概率离散模型的应用研究——以商品的价格定位为例

邹乐强

（河南工业和信息化职业学院 基础部，河南 焦作 454000）

0 引 言

数学模型是近些年发展起来的新学科,是数学理论与实际问题相结合的一门科学.它将现实问题归结为相应的数学问题,并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究,从而从定性或定量的角度来刻画实际问题,并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。 离散模型，也叫作基于选择的结合分析模型（Choice-Based Conjoint Analysis,CBC），是一种非常有效且实用的市场研究技术。该模型是在实验设计的基础上，通过模拟所要研究产品/服务的市场竞争环境，来测量消费者的购买行为，从而获知消费者如何在不同产品/服务属性水平和价格条件下进行选择。这种技术可广泛应用于新产品开发、市场占有率分析、品牌竞争分析、市场细分和价格策略等市场营销领域。同时离散模型也是一种处理离散的、非线性的定性数据的复杂高级多元统计分析技术，它采用Multinomial Logit Model进行数据统计分析。这项技术最初是由生物学家发明的，生物学家利用这种方法研究不同数量的杀虫剂对昆虫是否死亡的影响。本文以商品价格为例，建立商品的销售概率模型进行分析，从而得出期望价格为最优价格的结论。

1 价格的销售概率离散模型

在商品的销售中，影响销售的因素有很多，除了商品的质量、消费者的需求、销售商的优质服务态度和生产企业良好的售后服务保障体系外，商品的价格往往起着主导作用。实际上，商品的价格能否完全被消费者接受都是事先不能完全确定的，由此带来商品销售和销售收益的随机性，这表明商品的价格以一定的概率产生相应于销售的需求量。因此，不同的价格将会导致不同的需求概率，也必须承担定价引起的风险。

正常买卖活动中，商家可制定出n个从小到大不同的价格：p1,p2,p3,…,pn，经过市场调查，以这些价格销售时的销售量依次为：n(p1),n(p2),n(p3),…,n(pn),记这些不同价格下的销售量总和为：N=n(p1)+n(p2)+n(p3)+…+n(pn)。假定商家制定出的任一价格为p,以pr(p=pi)表示价格pi下的销售概率。由频率近似代表概率的定义：，于是就得到价格的销售概率离散模型，如表1所示。

表1 价格的销售概率离散模型

定义销售量最大价为pi0，此时即：。

那么pr(p=pi0)＞pr(p=pi)，这说明当价格取pi0时，销售概率也是最大的，由此得出结论：销售概率最大价就是销售量最大价。一般来说，价格越低销量越大，但是最低价也有可能不是销售概率最大价，这是由某些商品的性质决定的，比如服装、电器等，价格太低就让人感觉商品的质量有问题反而不去买，这里得出的价格只能由实际数据来决定，而不是凭直觉。根据一般常识，人们总是希望商品买得越多越好，利润越大越好，那么销量最大时是否就是利润最大、这两种情况下的价格关系等问题需要探讨。

2 销售概率最大价与利润最大价的关系

2.1 销售利润的定义

设pi1为利润最大价，商品批发价格q，销售价格p，p≥q显然成立。非批发成本c，价格p下的销售量为g(p)，则销售利润：w(p)=(p-q)g(p)-c

2.2 讨论销售概率最大价与利润最大价大小关系

根据销售利润的定义，分别将销售概率最大价p和利润最大价w代入销售利润公式。

①p=pi0，即以销售概率最大价出售商品时，总体利润如下。

②p=pi1，即以利润最大价出售商品时，总体利润如下。

由于以销售概率最大价出售时，销售量最大，故

又由以利润最大价出售时利润最大，得

由公式（1）（2）（3）（4）联立可得：(pi1-q)g(pi1)-c≥(pi0-q)g(pi0)-c，化简上式即得：(pi1-q)g(pi1)≥(pi0-q)g(pi0)。再由g(pi0)≥g(pi1)得pi1-q≥pi0-q，即得出pi1≥pi0。这就为价格的定位提出了一个理论依据：利润最大价要高于销售概率最大价。单从利润最大化的角度来看，仿佛到这里就找到了最优价格，即利润最大价，且这个价格不要求销售量最多，而是在销量正盛时提价，这就意味着企业要失去一部分客户，承担一定的风险。

3 期望价格与定价风险

3.1 期望价格及方差

3.2 价格风险函数

由金融数学知识可知方差是风险的度量，那么期望价格的风险。进一步推广价格变量方差的定义，引入：相应于价格p的销售概率分布，给一价格变量ξ，定义其风险函数f(ξ)=Dξ p=E(p-q)2=E(p2-2pξ+ξ2)，化简上式得f(ξ)=Ep2-2pξ+ξ2。可知风险是给出的价格变量ξ的二次函数，由二次函数的性质得到期望价格的风险是极小值且为最小值。

3.3 比较销售概率最大价与利润最大价的风险大小

再由pi1≥pi0可得：①利润最大价风险≥销售概率最大价风险；②利润最大价风险≤销售概率最大价风险；③，待定。

由以上讨论可知，在理论上销售概率最大价与利润最大价的风险大小有3种情况，但是可以明确的是风险都比期望价格的风险要大。事实上，要比较两种价格的风险大小，有一个简单的公式，假设两个价格变量pj，pj并令pi≥pj。由风险函数入手，显然pi-pj≥0，当时，f(pi)≥f(pj)，价格pj的风险较高；反之，价格pj的风险较高。

4 关于风险意义的分析与最优价的选取

4.1 风险的另一种表达

当商家提高价格时，他所顾虑的是销售量的下降，还有客源的减少，可以称之为销售风险，记为p；当商家降低价格时，单价利润就会下降，虽然销售风险会减小，但又要承担利润下滑的尴尬，可以称之为利润风险，记为p。在这里，设定s为负值，p为正值，总体风险设为R，价格因素以外的风险称为固有风险，设为Ir，那么R=Ir+|s+p|。由上节知道，期望价格的风险最小，即当时 ,|s|=|p|，，化简得：。由此可知固有风险的大小，一般来自政治、自然等外在影响。

5 结 语

现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。因商品的销售受多从因素的影响，本文从商品的价格对商品的影响来分析，建立了概率模型，求得销售概率最大价、利润最大价及期望价格，利用金融数学中方差决定风险的理论对三种价格进行风险分析，并与现代商业经营理念相结合，得出期望价格为最优价格的结论。