线性代数在几何研究中的应用探究

刘明昊 朱莉媛 王晓曼 李之健

摘  要：本文对目前高校几何课程的教学和研究与线性代数理论之间的联系进行了分析。在多年对代数与几何学习研究的基础上，探究了线性代数的理论如何给几何问题的研究带来便利，对如何改变线性代数与几何学课堂教学的现状和提高教学效果有一定的启发，对提高学生对代数与几何的理解与关联以及培养高校学生创新意识和发散性思维有着非常重要的意义。

关键词：线性代数  矩阵  解析几何  高等几何  微分流形

中图分类号：0151                               文献标识码：A                    文章编号：1674-098X（2020）09（c）-0215-03

Abstract： The authors analyze the relationship between the current teaching and research of geometry courses in colleges and the theory of linear algebra. Based on years of research and learning of algebra and geometry， we have explored how the theory of linear algebra can bring convenience to the study of geometric problems. It has some inspirations on how to change the current status of classroom teaching on linear algebra and geometry and improve teaching effect. It is of great significance for undergraduates to cultivate the innovative consciousness and divergent thinking.

Key Words： Linear algebra; Matrix; Analytic Geometry; Higher geometry; Differential manifold

目前，线性代数是各大高校理工科、经济学等专业的大学生需要学习的重要公共基础课程之一。它的基本知识和理论在解决我们生活中的问题，特别是线性问题时，有很多重要的应用。作为大学数学的基础课程之一，线性代数的传统教学模式是从抽象的定义出发，给出定理和推论的证明，然后使用定理的结论去做形式计算与推导。由于它的概念和定理具有高度抽象性，使得很多同学只停留在逻辑推理和形式计算能力层面的提升中，对概念和知识点的整体性把握不强，在学习中犹如盲人摸象，容易产生困惑迷茫，从而逐渐丧失学习的兴趣和动力;无法去深入了解线性代数中概念和定理的渊源，也更不能体验和感受它抽象的美。

为了改变这种教学弊端，很多高校教师在线性代数教学中尝试采用几何直观化教学方法。因此，线性代数的基本概念及定理与几何直观之间的联系也逐渐成为诸多高校教师教学研究的焦点。这种方法在一定程度上确实有意义，直观模型便于学生对知识点的理解，从而既提高了教学效果，也使学生更好地把握住知识点。但是，对一门课程的学习不能仅仅满足于学懂，学习知识的最高层次应该是使用知识。因此，在课堂教学中注重线性代数的应用是非常必要的。这和高校培养人才的目标也是一致的，高校培养大学生的目的是为社会提供服务。尽管目前社会对人才的需求具有多样性，但无论是通才教育还是专业型人才培养，人才最终都要面向社会，应用所学知识为社会服务。要把知识变成源泉和力量，就要不断地去实践，去应用所学的知识，在应用中尝试、突破和创新。

通过几何专业课程的学习研究，我们注意到线性代数的理论已经渗入几何学中的每个角落。事实上，代数和几何两个学科间的渊源很深，就如拉格朗日所说：“只要代数和几何沿着各自的途径去发展，它们的进展将是缓慢的，它们的应用也是很有限的。但是，当这两门学科结成伴侣，它们都将从对方身上获得新鲜的活力，因此，以快速的步伐猛进，趋于完美。”随着知识应用意识的增强，学科与学科之间进行联系教学势必成为当前教学研究的热点。下面我们就对几何学中如何运用线性代数的理论，作几点简单的探索与思考。

1  线性代数在几何中的应用

1.1 线性代数是几何教材中常用的语言工具

我们在学习线性代数抽象概念时喜欢引入几何直观化解释，这样可以有助于深刻理解线性代数中的抽象概念。反过来，掌握了线性代数的知识，对我们后面大学高年级和研究生几何课程的学习也是很有帮助。事实上，二者相辅相成，几何学也离不开代数学。线性代数也是几何教材里常用的语言工具，几何学里的很多概念的描述离不开线性代数。通过线性代数的基本概念和理论可以很好地去理解掌握几何中很抽象生涩的概念。

例如，微分流形上的一点的切空间和余切空间都是向量空间，流形之间光滑映射的微分就是从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射;还有，像黎曼流形（M，g）上的黎曼度量张量g，其实是以光滑依赖于流形每点的方式让每点的切空间成为欧式向量空间，就可以把它理解成光滑依赖于流形每点的切空间上的一个内积，选定好局部坐标系后就看成光滑且正定的一个矩阵值函数。如果将光滑依赖改为解析依赖，对应的正定矩阵还满足Hermit矩阵条件时，对应的流形我们就称为Hermit流形。再如，解析几何中的仿射变换、不同坐标系之间的坐标变换关系式和正交变换都是一些可逆的线性变换;射影平面上的射影变换在齐次坐标下也是一个非退化的线性变换;射影平面上二阶曲线的代数定义就是线性代数中我们常見的一个三元的二次型。在解析几何、高等几何、微分流形和黎曼几何等几何课程里还有许多像这些离不开线性代数语言的概念。可见，熟练掌握线性代数的概念和理论对几何课程中的几何概念的深刻理解很有益处。

1.2 线性代数可以用来简化几何问题

众所周知，线性代数里的很多概念都有它的几何背景，比如二阶行列式可以理解成平行四边形的有向面积，三阶行列式可以看成三维欧式空间中平行六面体的有向体积等。因此，几何问题自然就成为线性代数理论得以充分发挥的用武之地。适当地运用线性代数的理论可以使得几何问题化繁为简。

例如，线性代数中的矩阵理论常常和几何中局部化方法能结合起来处理几何问题。由于微分流形的局部微分同胚于欧式空间的局部，局部化方法是微分几何和微分流形学习中我们常常用到技巧。应用正定矩阵和单位矩阵的合同关系，就可以在微分流形上每点的领域内选取恰当的局部坐标系，使得黎曼度量在该点处为单位矩阵，这样的局部坐标系就是所谓的自然标架，利用自然标架使得黎曼流形上很多与局部坐标系选取无关的几何量计算变得简单。还有，在射影几何中，我们常常关心的点共线和线共点问题，可以通过向量的线性相关性去解释。在射影平面上三点的齐次坐标构成的向量组线性相关时，这三点就是共线关系;同理，当三条直线的齐次线坐标构成的向量组线性相关时，这三条直线一定相交于同一个点。利用射影变换在射影坐标系下的系数矩阵的特征值和特征向量，我们可以很容易求出射影变换的不变元素。射影平面上的二阶曲线的定义和二次型对应起来，利用二次型的标准型理论，从而得到它的退化就等价于它所对应的系数行列式为零。再比如，利用二次型的标准型理论，可以把解析几何中二次曲线和二次曲面的方程进行分类化简;通过坐标系的变换，我们常常会将二次曲线和二次曲面变成标准方程去处理，从而使得相关的复杂问题计算起来简化。特别是，在解析几何中二次曲线方程中的不变量常常写成矩阵的迹和行列式，就会让我们便于记忆。

正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”许多几何中的问题在线性代数的理论照射下便清晰透彻了，变得不再那么晦涩，不再那么难于下手。

1.3 線性代数也是几何研究中常见的技巧

线性代数的理论和方法不仅仅只是用来化简几何中的问题，它在几何专业的学术论文中也常常看到它的身影。下面我们来看两个巧妙地使用矩阵不等式解决几何问题例子。

第二个例子是曹怀东在1992年证明凯勒里奇流的Harnack不等式的论文[12]里的引理4.1：设A、B和C是n阶实矩阵，满足矩阵是对称且半正定的，则。（注：引理4.1事实上是在莫毅明的论文中证明过。本文使用的表述和证明是哈密尔顿在多年前给出的）。利用该不等式可以证明文中一个很重要的不等式：，从而抛物方程的最大值原理得以使用，最终完成主要定理的证明。事实上，论文中在引理4.1下面也声明了同样的矩阵不等式已经多次在几何专业论文中使用过。

可见，线性代数的方法和理论对几何学家在做学术研究时也是一个很得心应手的工具。正如法国数学家达朗贝尔所说：“代数学是慷慨大方的，它给予人的往往比人们对它所要求的还要多。”

2  结语

关注交叉学科之间如何联系与影响的教学方式越来越成为当今大学数学教学研究的重点。线性代数课堂教学中运用几何直观化教学方法是目前高校教学中常见的技巧。但是，如果我们多从几何学的教学与研究中去追溯线性代数理论的应用，研究线性代数在几何学中的应用技巧，更能具体地反映代数学与几何学的历史渊源。一方面，我们可以借助几何直观的概念和方法来解决线性代数的相关问题;另一方面，也可以用线性代数的理论去解决几何研究中的一些问题。将教学的重点放在数学知识的运用上，可以弥补高校数学传统教学模式的不足，培养学生的发散性思维和创新能力。希望本文能对今后线性代数与几何学课程的教学模式改革及研究能起到一个抛砖引玉的作用。

参考文献

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[12] Huai Dong Cao.On Harnack's inequalities for the Khler-Ricci flow， Invent. Math.， 109（1992）， no. 2， 247-263.