例谈高职数学中不定积分的应用

杜珍珍，周 同

（铜陵职业技术学院，安徽 铜陵 244000）

0.引言

高等数学是高职院校各专业的一门基础课程，而不定积分是高职高等数学的教学重点之一，它是微积分学的基础内容，起着承上启下的作用，对后续定积分的学习非常重要。我们常常需要解决一个重要的问题是，如何在只知道一个函数导数或微分的情况下，将这个函数“复原”出来。这就需要用到微分的逆运算——不定积分。下面将通过实例介绍不定积分在数学其他分支和实际生活中的应用，为起点低、基础薄弱的高职学生提供一定的借鉴作用。

1.不定积分在解微分方程中的应用

微分方程是人们解决各类实际问题的有效工具之一。它在几何、物理、经济、自动控制、生命科学等领域有着广泛的应用。下面通过一些例子来说明不定积分在解常微分方程中的应用。

例1：求微分方程y'=4xy的通解。

这是可分离变量的微分方程，且y(0)=100,y(24)=900。

例2：细菌的增长率与总数成正比，如果培养的细菌总数在24小时内由100增长为900，那么前12小时后细菌总数是多少？

解：用y(t)表示细菌总数，则由导数的定义及题意可得

2.不定积分在几何中的应用

在微分学中，已知一条曲线方程f(x)，利用导数便能求出这条曲线上任意一点切线的斜率。但如果已知曲线在任一点切线的斜率，如何求出这条曲线方程呢？这类曲线方程的求解问题就可以用不定积分知识来解决。

例 3：已知某曲线经过点（1，3），且曲线上任一点的切线的斜率为该点横坐标的4倍，求这条曲线的方程。

解：设该曲线的方程为y=f(x)

由题意及导数的几何意义可知：f＇(x)=4x

两边取不定积分，得：∫f＇(x)dx=∫4xdx

积分后，得：f(x)=2x2+C

又因为曲线经过点(1，3)，代入上式，故3=2×12+C 得 C=1

于是所求曲线的方程为：f(x)=2x2+1。

3.不定积分在物理中的应用

在物理学中，善于应用积分知识解决问题是非常重要的，如经常会遇到已知物体运动的速度求位移，已知物体运动的加速度求速度等问题。此类问题可以使用不定积分知识来解决。

例4：一辆小汽车以速度为30km/h正常行驶，当距离交通路口10m处突然发现黄灯亮起，司机立刻刹车制动，如果制动后的速度ν=7.5－2.5t（单位：(m/s），问制动距离是多少？

解：令速度为零，先计算出制动所用时间，即当7.5－2.5t=0，得 t=3s。

设汽车制动后路程函数为 s=s(t)，由 s＇(t)=ν(t)，

两边求不定积分，得：

s(t)=∫ν(t)dt=∫(7.5－2.5t)dt=7.5t－1.25t2+C

根据题意，当t=0时，s=0，代入上式得C=0

于是得到的制动路程函数为s=s(t)=7.5t－1.25t2将t=3代入上式计算出制动距离为s=7.5×3－1.25×32=11.25(m)。

两边取不定积分，得：

i(t)=∫(6t－0.09t2)dt=3t2－0.03t3＋C

将t=0时，i=3A代入上式得C=3

故电流 i关于时间 t的函数为 i（t）=3t2－0.03t3＋3。

诸如此类的问题还有很多，如质子运动的速度、液体流速、太阳能的能量、天然气的产量、石油的消耗量等等，都可以用不定积分的知识加以解决。

4.不定积分在工程中的应用

在工程技术日益发达的今天，数学已经成为研究工程问题的一个重要工具。而高等数学中的积分知识在工程技术中应用十分广泛，如桥梁合理拱轴问题、建筑构件的冷却时间问题等等。

例6：建筑构件开始的温度为100℃,放在20℃的空气中，开始的600s温度下降到60℃。问从100℃下降到25℃需要多长时间？

分析：高温物体的冷却是遵循冷却定律的，冷却定律为：

某物体放置于温度为T0的环境中，其温度变化率正比于物体的温度与T0的差，若t时刻物体的温度为 T，则有。

解：设物体温度为T(t)，冷却系数k＞0，由冷却定律可知，该问题的方程及初始条件为：

方程中的负号是因为介质温度20℃＜T，物体放热是降温过程，此时。

该方程是可分离变量的微分方程，也是一阶线性非齐次微分方程。其解为：

又因为开始的600s下降到60℃，即T(600)=60,代入上式，得：。

即2400s后物体温度下降到25℃。

5.不定积分在经济中的应用

积分在经济学中有着广泛的应用，并且内容很丰富。在经济问题中，可以通过积分求原经济函数问题，如知道边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数、边际需求函数等可以求成本函数、收入函数、利润函数及需求函数；还可以通过积分由变化率求总量问题等。下面我们以几个具体的例子来探讨。

例7：某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本函数为。设固定成本是10000万元。试求此工厂的成本函数和收入函数。

又因为固定成本是10000万元，即C(0)=10000，故：

两边取不定积分，得收入函数：

又因为当产品 q=0时，收入为0，即R（0）=0，故：

人们将实际的经济现象结合数学知识建立相应的经济数学模型，如广告支出与利润、商品的销售量、如何确定商品价格浮动的规律等等都可以进行类似的研究并加以解决。

6.结束语

由上面的例子可以看出，不定积分是高等数学的重要内容，它在实际生活中应用非常广泛。高职数学教师在课堂教学中要注重案例讲授，一方面可以培养学生学习数学的兴趣，另一方面也让学生明白生活中很多实际问题是可以用所学的数学知识解决的。