以全等三角形的知识为出发点，引导学生探索几何入门之路

刘美娣

【内容摘要】初中数学中，根据题目条件和图形，运用熟悉的三角形全等判定定理，灵活利用不同方法寻找相应三角形全等的条件，从而根据条件运用对应边相等、对应角相等的原理可以应用它们综合解决相关问题。因此，数学教师要加强对全等三角形判定的重视，从而更好地促进学生几何水平的提高。

【关键词】学情 条件 图形 定理 证明 应用

全等三角形的证明对于那些刚接触几何证明知识且基础比较差的初中生来说，确实是一件非常困難的事情。因此，数学教师应该根据不同学生不同的数学水平，制定科学合理的教学计划，由浅入深牵引学生积极探索几何的入门之路。

一、了解学情——引导学生明白几何证明知识的障碍有哪些

1.学生对概念、定理不熟练或者就算能滚瓜烂熟背得出来但不会灵活去利用。

2.学生对已知条件不会展开联想，不会利用己知条件索求结论，不够耐心尝试探寻结论。

3.证明过程表达格式由原来的数字语言转变成几何语言。对于书写证明过程更是无从下手，老师分析引导时还说得出来，但独立书写时就无能为力了，动笔书写过程时就懵了，无处下笔，不知哪步先写、哪步后写、怎么写。

二、化腐朽为神奇——引导学生掌握几何证明的基本招数

1.不遗余力让学生熟知概念、定理、公理

要充分掌握几何证明的本领，学生需要对几何概念及定理、公理烂熟于心。学习过程中，概念、定理、公理应该熟练掌握。老师可以通过课前布置任务、学习小组互相竞赛、课堂检测等方法检查学生的掌握情况;还可以配合图形对概念、定理、公理用浅显的文字进行解读。例如，什么叫内错角？内，就是夹在两直线里面的角;错，就是两个角错开来的（即不是同侧的角）。对于基础比较差的学生来说，这样去理解内错角的定义、判断是否内错角就容易多了。又例如，什么叫同旁内角？有了前面内错角的理解，理解同旁内角就容易多了。同旁，就是同侧（即同左或同右的角）;内角，就是夹在两条直线里面的角;再通过图形画一画角，学生就掌握了，比记那些抽象的概念效果更好。另外，在三角形全等条件的判定过程中，需要充分利用图形的辅助功能，否则学生运用这个定理去证明时容易混淆，到底哪个是夹角最易错。当学生熟练理解了概念、定理、公理等工具后，我们老师才能够顺利开展几何证明的教学工作。

2.耐心细致引导学生理解题目中的已知条件和求证部分

学生反复读完一道题后，要明确题目中给出了哪些条件？这些条件可以引出什么样的结论？引出的结论中哪些是对本题有用的？哪些是没用的？如下题：

如图1所示，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AC=DF.

（1） 根据条件分析可以得出如下结论：

根据“两直线平行，内错角相等”的判定定理，可以作出以下推断：

由FB=CE可推出BC=EF（FB+FC=CE+FC）;

由AB∥ED可推出∠B=∠E;

由AC∥FD可推出∠ACB=∠EFD，

再根据三角形两角和一边对应相等的全等判定条件，得出两个三角形全等。

（2） 结论与条件之间的关系的思路：要证明两条边相等，那么结合图形我们可以看出，只要证出△ABC和△DEF这两个三角形全等即可;在全等三角形判定过程中，可以使用的判定定理有AAS、ASA、SAS、SSS、HL，通过充分分析题中所给的条件，看还缺少什么条件需要证明。这样思考下去，我们就找到了解题的思路，然后把过程写出来就可以了。

3.反反复复引导学生掌握规范书写解题的步骤

几何题的证明过程，其实就是把大脑中的思路再现到纸上的过程。让学生熟练书写证明过程的解题步骤，相当于建楼房做好框架结构，只要熟练了步骤，学生才不会觉得无从下笔。步骤如下：

（1）准备条件：弄清楚三角形全等的条件，并把这些条件一一列举出来，用画图的方式表示出来。

（2）证明两个三角形全等的书写四步骤：

① 间接条件的要先证明出来

② 写明要证明哪两个三角形全等;

③ 最后用大括号罗列出三角形全等的条件;

④ 写出全等的结论。

如下题：

如图2所示，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E，求证：BC=DC.

证明：

∵∠BCE=∠DCA

∴∠BCE+∠ECA=∠DCA+∠ECA

即∠BCA=∠DCE

在△ABC和△DCE中

∠A=∠E     （已知）

∠BCA=∠DCE  （已证）

EC=AC      （已知）∴△ABC≌△EDC （AAS）

∴ BC=DC

三、知识延伸——引导学生对求证部分进行拆分，使问题简单化

对求证部分进行拆分，使问题简单化即将原题的一个问题拆成几个问题来让学生完成，这样学生在完成解题就容易多了。

如图3：已知点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C。 求证：AB=DC.

这道题可将“求证：AB=DC”这个问题拆成其它两个问题来分步解决：

①求证 △ABF≌△DCE;②求证AB=CD

通过引导的方式，使学生能够知道全等三角形在几何证明题中的重要作用，从而用更好的方式对全等三角形的运用融会贯通。

又如图4：已知AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC。

求证： AB//DC

这道题可就将“求证： AB//DC” 这个问题拆成其它三个问题来分步解决：

①求证△ABO≌△DCO ②求证∠B=∠C或∠A=∠D ③AB//DC

证明两条直线平行的方法有很多，从图中观察发现，只出现了内错角∠B与∠C及∠A与∠D，所以要证明AB//DC，只要证明出∠B=∠C或∠A=∠D，因此学生们可以知道，证明两角相等的方法也可以用证明全等三角形的方式。

这样一来，再加上平时练习多训练，学生在书写证明题时难度降低了，准确率也提高了。

以证明两个三角形全等为基础和出发点，再牵引出相关的数学知识，用来解决数学问题。这种教学方法的优点是促进学生迅速提高读题审题的能力，能够使学生从更多的角度去思考数学问题，从而使学生掌握几何证明题的解题技巧，使学生的解题能力进一步提高。

【参考文献】

[1]沈小军.例析几何证明中逻辑推理典型错误——以“全等三角形”为例[J].初中数学教与学，2019， 401（5）：11-12.

[2]曾泽群，林江文.伸头伸脚“话”变式，添头添脚“悟”证法——以“全等三角形判定定理的应用”的教学为例[J].中学数学（初中版）下半月，2016（4）：36-37.

（作者单位：广东省韶关市翁源县铁龙学校）