以元认知引领高中学生数学深度学习的实践

汤鸿

[摘  要] 深度学习主要强调学生在学习的过程中必须理解所学内容，要能够在学科内容的学习中掌握学科思想方法，形成一定的问题解决能力，形成一定的批判性与创新性，而且能够将形成的能力迁移到新的领域当中. 从认知的角度来看，深度学习不仅关注学生的认知建构，更关注的是如何建构这些知识，这实际上就是关于认知的认知，也就是元认识. 在高中数学教学中要想让深度学习发生，最关键的就是抓住学生的思维，只有学生的思维活跃起来，并且有明确的目标指向，那这样的学习过程就会具有深度学习的几乎全部特征.

[关键词] 高中数学;深度学习;元认知

今天的高中数学教学，面临着新的形势，主要形式在于数学学科核心素养的培育. 当前已经形成了一个基本共识，那就是核心素养作为教学的目标，其实现需要具体的途径. 在探究数学学科核心素养的落地途径的过程中，人们发现深度学习是最好的选择之一. 对于深度学习的理解与实践，要超越经验层面，不能认为深度学习就是有难度的学习，实际上深度学习最初来源于人工智能领域，计算机专家在研究机器的学习过程中，借助于学习科学理论，对机器的学习设计了一套完整的程序，相对于一般的学习而言，這样的程序运用之下机器学习表现出了高度的智慧特征，因而被认为是深度学习. 将这样的思想迁移到教育领域，人们发现在面向学生的学习时，也可以形成一套深度学习的理论. 就当前的理解而言，深度学习主要强调学生在学习的过程中必须理解所学内容，要能够在学科内容的学习中掌握学科思想方法，形成一定的问题解决能力，形成一定的批判性与创新性，而且能够将形成的能力迁移到新的领域当中.

很显然深度学习不止指向学习结果，更指向学习过程，从认知的角度来看，深度学习不仅关注的是学生的认知建构，更关注的是如何建构这些知识，这实际上就是关于认知的认知，也就是元认识. 在高中数学教学中，用元认知来引导高中学生的数学深度学习，是一个值得探究的话题.

■高中数学深度学习过程中的元认知价值探究

具体到高中数学学科当中，数学深度学习可以被认为是包含深度分析、深度设计、深度实践、深度评价等四个维度的学习. 结合具体的数学知识的构建过程，从学生的思维出发，创设教学情境，促进学生在数学知识构建的过程中完成能力的培养与迁移，是深度学习四个维度的重要体现. 在教学实践当中要想体现出这四个维度，关键在于数学教师要利用深度学习的理念去指导高中数学教学，需要教师认识到数学知识构建的复杂性，认识到需要尊重学生的认知规律，认识到数学体验需要的情境性.

以“空间中直线与直线之间的位置关系”为例，笔者注意到对于这一内容的教学而言，有两个基本的教学环节：一是学生大脑当中要有清晰的空间中直线与直线之间的位置表象，二是学生要能够用数学语言描述空间中直线与直线之间的位置关系. 从元认知的角度来看，教学中必须让学生认识到这两点，只有学生自己认识到这两点，他们才会意识到自己的认识，对于某一个具体数学知识的建构起着什么样的作用. 这实际上是一个引导学生认识数学学习过程中元认知价值的过程. 在这样一个过程里，教师不必强调具体的元认知或者深度学习的概念，但是可以让学生生成一些朴素的想法. 比如“高中数学学习过程中，既要‘学会更要‘会学，前者是面向学习结果的，后者是面向学习过程的，如果不能做到会学，那就很难说能够做到学会”，还可以跟学生强调“在高中数学学习的过程中，只有关注自身的能力形成，才能让数学难题在自己（学生）面前迎刃而解”……这些教育与引导，往往可以让学生对深度学习以及元认知产生直接的认识.

■以元认知引导高中学生数学深度学习的实践

当教师与学生同时关注到元认知以及深度学习的作用之后，那么对于教师而言，主要的任务就是用元认知引导高中学生数学深度学习的实践. 一般认为，深度学习指向思维的深刻性，高中数学教学中通过有效情境的创设，通过问题的撬动，可以让学生在数学知识构建的过程中思维的参与度变得更高. 基于这样的认识，笔者在“空间中直线与直线之间的位置关系”的教学中，进行了这样几步设计：

一是向学生提出问题：要想清晰地认识到空间中直线与直线之间的位置关系，你觉得你的大脑当中应当具有什么样的图景？事实证明，学生在回答这个问题的时候，能够结合生活中的一些实际情形去思考. 比如有学生思考教室里的日光灯的关系——黑板前的日光灯是南北走向的，头顶上的日光灯是东西走向的;也有学生举出生活中电线杆的例子——电线杆是竖直方向的，电线是水平方向的……学生能够举出这些例子，说明上述问题驱动学生进行了一个默会的思考：要想知道空间中直线与直线之间的位置关系，那么大脑当中就必须有相应的图景. 这个认识实际上就是元认知的产物，从学习心理学的角度来看：学习空间中直线与直线之间的位置关系时，学生从文字表述上获得的是抽象的理解，要想让这个理解真正生成，学生在教师的问题引导之下，认识到必须有一个形象的表象作为支撑. 正是因为这一认识，他们会下意识地到生活中寻找素材，而找到了相应的素材之后，建构空间中直线与直线之间的位置关系就变得更加容易了. 这样一个从抽象到形象、再由形象到抽象的过程，是在学生表象加工的基础上，形成数学认识的过程，是一个理解学习，也是元认知驱动下的深度学习的基本表现.

二是对表象加工的结果进行分类. 实际上在学生举例的过程当中就已经发现，空间中直线与直线之间的位置关系并不是唯一的，有时候两条直线在同一平面上，有时候两条直线在不同的平面上，即使两条直线在同一平面上，也有相交与不相交两种情形. 这样的认识首先是建立在表象基础之上的，其后再是用数学语言去描述的. 此过程中教师可以提问：如果让你们将空间中两条直线的位置关系进行一个完整的分类描述，你们会如何描述？学生在回答这个问题的时候，会思考什么叫完整的分类描述. 一番自主思考与合作交流之后，他们会理解笔者的意图：所谓完整就是没有遗漏，而所谓分类关键是找到一个分类标准. 这实际上就是一个引导学生生成元认知的过程，它会让学生认识到要描述空间中直线与直线之间的位置关系，就必须进行完整的分类. 而一旦认识到这一点，学生的思维就能够活跃起来，空间中的两条直线要么在同一个平面，要么不在同一个平面——转换为数学语言，就变成了共面直线与异面直线（由于有了前面的思维作为基础，这两个概念的得出变得非常自然）……

如果站在学生思维的角度看这样一个教学过程，就会发现知识是学生自主总结出来的，从表象的建立到加工，再到用数学语言去进行描述，当学生能够自主完成这一过程时，是可以认定深度学习已经发生了. 而深度学习之所以能够顺利发生，本质上就是因为学生的元认知在发挥作用.

■元认知与深度学习同时指向学生的深度思维

在上面的分析当中可以发现，在高中数学教学中要想让深度学习发生，最关键的就是抓住学生的思维，只有学生的思维活跃起来，并且有明确的目标指向，那这样的学习过程就会具有深度学习的几乎全部特征. 学生的思维要想活跃，那就必须有明确的加工对象，在上面的例子当中让学生形成表象，就是这个目的. 而很显然，表象的形成可以由学生的元认知来驱动，从这个角度来看，元认知实际上也是指向学生的思维的. 由此也可以认为，在深度学习的环境当中，元认知与深度学习同时指向学生的思维，而且是深度思维. 比如在上面的例子当中，有学生提出：要认识空间两条直线的位置关系，还可以寻找到更好的模型（学生此时明确说出了模型的概念，殊为不易，这不仅是数学学科核心素养中数学建模素养要素落地的充分体现，同时还是元认知的一种体现）. 这个模型就是长方体，只要把长方体的棱看作直线，那就能够找到好多组共面直线与异面直线，这样理解起来更加便捷……

很显然这个学生的思路，就是对空间两条直线的位置关系的理解，建立在长方体这一模型的基础之上. 这种自主思考的结果，依然具有深度学习的特征，自然更是学生元认知的产物.

由此也可以发现，深度学习实际上是基于学生自身动机，对富有价值意义的数学知识进行系统的、完整的、深刻的学习，是一种阶梯性的学习方法. 在这样一个阶梯上，学生的思维螺旋上升、不断发展，数学知识的建构与数学思想方法的掌握不断实现，数学问题的解决会越来越顺利. 如此坚持下去，学生就会适应元认知驱动之下的深度学习的实践方式，从而使数学学科核心素养的落地途径更加坚实.