基于高效复习的高三复习课教学立意

陈志广

[摘  要] 基于高效复习的高三复习课需以知识巩固与能力培养为立意，具体来说，就是要立足教材例习题，深化知识理解;重视“一题多解”，扩宽解题思路;聚焦变式题组，打通学生思维;关注题后反思，实现高效解题.

[关键词] 高效复习;高三复习课;思维

随着高考的日渐逼近，高三数学复习课会随之到来. 这个阶段的数学学习除去复习和巩固之外，还需进行知识的延伸和拓展，以提升学生的解题能力和思维能力. 鉴于此，这时的复习容易陷入“刷题—批改—讲评—再刷题”这样不断循环的怪圈之中，学生一丝不苟地在题海中苦苦挣扎的过程中，深深地感慨：“知识还是那些知識，方法还是那些方法，会的还是会，不会的依旧不会. ”显然，能力的提升成了一纸空谈. 而在这个模式下，不仅教师感觉很累，学生更是苦不堪言. 作为一名基层的数学教师，笔者一直思考着如何改变眼下这种“高能耗”的教与学模式，提升复习效率，让所有的学生都能学有所得. 本文主要从以下四个方面简要阐述，以期为建构优质高效的高三数学复习课找寻出路.

■立足教材例题、习题，深化知识理解

教师往往会通过对历年高考试题的深度研究，去反思自身的教学方式和教学过程，进而有目的地适当调整和改进课堂教学的重心. 高考试题的设置在很大程度上起到了教学导向的作用. 然而深究近几年的高考试题，易发现大部分试题都可以在教材中找寻到它的“影子”. 由此可见，教材是教与学活动的根本，而高考选拔人才正是依据这个“本”实施的. 因此，高三复习需立足教材例题、习题，让依“标”固“本”成为高三复习课的主题.

例1：已知圆C：x2+y2=r2，试求出过圆C上一点M（x■，y■）的切线方程.

以上问题的初始背景是一道教材例题，因此本例的难度较小，学生容易入手. 笔者设计此题的主旨在于让学生从熟悉的教材知识开始展开复习. 随后又以这道典型的好题指引“小题大做”，进行如下变式训练：

变式1：已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2，试求出过圆C上一点M（x■，y■）的切线方程.

变式2：已知圆C：x2+y2=r2，试求出过圆C外一点M（x■，y■）的切线方程.

变式3：已知点M（x■，y■）是圆C：x2+y2=r2内一点，且点M异于圆心，试判断直线x■x+y■y=r2与圆C的位置关系.

变式4：已知点M（x■，y■）是圆C：x2+y2=r2外一点，试判断直线x■x+y■y=r2与圆C的位置关系.

变式5：已知点M（x■，y■）是圆C：x2+y2=r2外一点，过点M作圆C的切线，试求出过两个切点的直线方程.

以上案例中教师放低起点，从一道课本例题的探究开始，并关注到知识的延伸和拓展，做到不惜时力，牢牢把握“直线与圆位置关系”的本质属性，全面而准确地夯实学生的基本知识技能，提升解题能力;同时发展学生更高层次的数学思维，使得学生的数学理解能力更上一个台阶，以达到“增效减负”的效果.

■重视“一题多解”，扩宽解题思路

“一题多解”具有迁移和求异的本质，有着极其丰富的内涵和异常广阔的外延，为了达到巩固知识和提高效率的目的，为了解决高强度、低效率的复习模式，为了应付紧张且紧迫的高三复习，有必要提倡以“一题多解”的形式组织教学，向学生展示不同的思考过程，扩宽思路，培养思维的开放性，促进创新意识的发展. 当然，这里的题型选择需要紧紧围绕大纲，题目要有新颖的立意，且要具有典型性和代表性，最好可以覆盖多种数学思想和思路，这样才能吸引学生，提升他们的解题热情.

例2：已知tanα=2，试求■的值.

学生经过独立思考和自主探究，易得出以下多种多样的解法：

解法1（二倍角公式的变式）：原式=■=■=tanα=2.

解法2（逆用正切半角公式）：由■=tanα，■=tanα，可得原式=■=■=tanα=2.

解法3（万能公式统一函数名称）：设tanα=t，则由sin2α=■，cos2α=■，易解得原式=2.

解法4：由1+sin2α=（sinα+cosα）2，cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）·（cosα+sinα）获解.

解法5（转化）：将原式的分子与分母转化为sinα，cosα的二次齐式后，分子与分母同时除以cos2α，于是可得原式=■=■=2.

上例中，教师与学生花了较长的时间对本题的求解做出了深入探讨，让学生经历了思考、分析、讨论、争辩、辨析和总结的过程，得出了以上五种解法，并从思维的切入和运算的繁简等方面对比解法的优劣性. 这样的探究过程，其立意是学生探究能力和思维能力的培养，让学生的思维更具发散性和延展性. 学生完成以上五种解法，应该说让学生对这一类题目的全貌有了一个准确的认识;同时又通过解法的比较，多角度探究思考的方向，使学生探明了不同解法的切入点，从而实现解法的优化，有效提升了对这一类题目的求解能力.

■聚焦变式题组，打通学生的思维

由于高三复习中的“题海”缺乏新信息的刺激，学生的思维易疲劳，逐渐沦为“解题机器”;同时抑制了思维的发散，使得好奇心、想象力和创造力日渐削弱，这样的复习效率可想而知. 变式题组就是借助对例题、习题的引申或变式，去改变原题的条件或结论等，形成系列小题或是构成一个题组的教学方式. 聚焦变式题组，可以为学生创立最佳的学习情境，有效调动学生的积极性，打通学生的思维，培养学生的分析能力、解题能力和数学素养.

例3：试作出不等式组-x+y-2≤0，x+y-4≤0，x-3y+3≤0所表示的平面区域.

本题是一道线性规划问题，主要考查二元一次不等式组所表示的线性区域，学生一旦掌握“在平面直角坐标系中表示二元一次不等式所在线性区域”的方法，则可以很快获解. 之后，笔者以本题为指引设计了以下变式题组：

变式1：若点P（x，y）的坐标满足不等式组-x+y-2≤0，x+y-4≤0，x-3y+3≤0，试求出x2+y2的取值范围. （距离问题）

变式2：若点P（x，y）的坐标满足不等式组-x+y-2≤0，x+y-4≤0，x-3y+3≤0，试求出■的取值范围. （斜率问题）

變式3：若点P（x，y）的坐标满足不等式组-x+y-2≤0，x+y-4≤0，x-3y+3≤0，试求出z=3x+2y的取值范围. （截距问题）

上例的复习中，教师关注到考试资源的有效整合，从学生的具体学情出发涉猎到具有典型性的题型，设计变式题组，打通学生的思维，有效拓宽学生的视野，让学生真正理解该题的本质，使其在解题过程中懂得灵活变通，取胜高考.

■关注题后反思，实现高效解题

反思和总结是促进知识内化和能力提升的有效手段，可以这样说，没有经历过题后反思的数学解题是低效的，甚至是无效的. 有效的题后反思可以使解题经验升华和理论化，从而达到质的飞跃，实现学一题而懂一片，学一片而会一面的目标，最终实现高效解题，这才是高三复习中解题教学的最终归宿，否则就好似“入宝山而空返”，错失复习巩固的有效时机.

例4：已知函数f（x）=2x2-8x+t，g（x）=2x3+3x2-12x，且t∈R.

（1）若对任意x∈[-2，2]，都有f（x）≤g（x）成立，试求出实数t的取值范围;

（2）若存在x∈[-2，2]，使f（x）≤g（x）成立，试求出实数t的取值范围;

（3）若对任意x■，x■∈[-2，2]，都有f（x■）≤g（x■）成立，试求出实数t的取值范围;

（4）若对任意x■∈[-2，2]，存在x■∈[-2，2]使得f（x■）≤g（x■）成立，试求出实数t的取值范围.

本题是考查恒成立与有解的问题，可以从问题出发构造函数，并利用函数思想解析本题（详解略）. 解析完成后，笔者通过提问的形式引领学生进行如下反思：其一，第一问和第二问分别是什么问题？有何相同点和不同点？其二，第一问和第三问分别是什么问题？有何相同点和不同点？其三，第四问是什么问题？与前三问相比有何相同点和不同点？

教师作为课堂的“向导”，其主导作用的发挥在很大程度上体现在“反思与提升”的水平和质量上. 上例中通过题后反思揭示出问题之间的联系，将这一类知识进行整合，将不易理解和掌握的知识规律化印入学生的脑海中，以达到随时提取的效果，实现培养学生迁移能力的目的，最终提升学生的解题境界.

总之，笔者一线教学多年感受到学生做题的数量一年多于一年，教师的课堂容量也一年增于一年，但教师对教学的研究却一年少于一年，创新的、有深度的教学越来越少，这样的教学定然是营养不良的、加之残缺的. 面对现状，要使高三复习课真正增质提效，需要我们教师重新认识教学内容和学习本质，追回教学的智慧，摆脱传统的题海复习模式，找寻到与新课改教学相符合的高效复习模式，有效回避知识罗列的枯燥乏味，活化学生的思维，使其高效复习，培养出基础扎实、思维活络的优秀学习者.