“解决问题的策略”的意义探寻与教学建构

蔡霞

摘  要：在小学数学学习中，策略是一种介于思想和方法之间的概念。对于学生而言，“解决问题的策略”不仅具有工具性价值，而且具有心智性价值、效能性价值。在教学中，教师要引导学生进行数学化表征、数学化建模和数学化反思。通过解决问题的策略的教学，提升学生解决问题的能力、提升学生解决问题的素养。

关键词：小学数学;问题解决;意义探寻;教学建构

策略，从学习心理学视角看，是指有目标指向的、解决问题的心理操作，是一种认知技能，属于一种较为高阶的认知方式。在小学数学学习中，策略是一种介于思想和方法之间的概念。在解决问题的过程中，教师要引导学生表征问题、分析问题，对问题做出一定的假设，并通过深度思考、探究、验证等进行数学化活动。对于小学数学教学来说，我们需要重点思考、实践两个方面的问题：其一是“解决问题的策略”意义何在？其二是“怎样进行解决问题的策略”教学？

■一、對“解决问题的策略”的意义探寻

“解决问题的策略”作为一个专题，在目前更大版本教材中均有所体现。但对于学生的数学学习来说，“解决问题的策略”教学应当贯穿数学学习始终。从小学低段数学学习开始，教师在数学教学中就必须有意识地渗透一些解决问题的策略方面的知识，比如画图的策略、假设的策略、转化的策略等。对于学生来说，“解决问题的策略”学习至少有以下三点意义：

1. 工具性价值

解决问题的策略有助于学生有效地解决数学问题，是学生解决数学问题的有效的数学工具。比如“画图策略”“列表策略”等对学生解决问题的作用是非常大的。对于这些策略，不仅要让学生形成策略意识，更要让学生形成策略技能。比如，如何画图才能有效地表征题意？如何列表才能将题目中的数学信息进行有效表征？在“解决问题的策略”教学之中，首当其冲的就是让学生掌握这些策略性的工具。通过让学生掌握一些策略性工具，帮助学生形成一些策略性技能，让学生掌握解决问题的策略，以便让这些策略更好地、更适合地为学生解决问题而服务。

2. 心智性价值

学生学习解决问题的策略有助于发展学生的心智。过去，许多教师在数学教学中往往采用“题海战术”，企图通过多练、多讲等方法到达熟能生巧的解题境界。这样的教学方式，不仅不能让学生熟能生巧，更为重要的是往往让学生“熟能生笨”。真正发展学生的心智、提升学生解决问题能力的方法、路径是让学生掌握解决问题的策略。在学习理论看来，策略是一种“以少胜多”“以简驭繁”的解决一类问题的模型。通过让学生掌握一定的“解决问题的策略”，就能让学生在解决问题时左右逢源、游刃有余。在解决问题的过程中，学生的心智得到锻炼、发展。

3. 效能性价值

如果说，“工具性价值”是解决问题的策略学习的外在性价值，那么，“心智性价值”就是解决问题的策略学习的内在性价值。而无论是这种外在的工具性价值还是内在的心智性价值，都必须通过学生的有效学习来体现。因而，“解决问题的策略”的教学还具有效能性价值。换言之，“解决问题的策略”的学习能有效地提升学生数学学习的效率、效能。在《现代汉语词典》中，“策略”的阐释是“计谋”“谋略”，它是一个人面对一个具体的问题时所做出的基本判断、基本解决问题的思路。显然，学生学习解决问题的策略，不仅仅是掌握这些策略本身，更是通过这些策略的学习，去解决其他的一些数学问题。从这个意义上说，“解决问题的策略”教学具有普适性的意义和价值。

■二、对“解决问题的策略”的实践建构

“解决问题的策略”的学习，不能脱离学生解决问题的实践。换言之，“解决问题的策略”的学习是基于“解决问题”、为了“解决问题”。学生“解决问题的策略”的智慧也一定是在解决问题的实践中生成的。作为教师，要引领学生经历解决问题的策略的过程，对解决问题的策略进行反思、提炼，形成一定的具体的问题解决策略。教学中，教师不仅要重视解决问题的策略的建构，更要重视解决问题的策略的迁移、应用，重视对学生解决问题的策略的监控。

1. 数学化表征：导引解决问题的策略

学生学习解决问题的策略，首先要学会对问题进行数学化表征。作为教师，要引导学生对问题进行观察、分析，提炼其中的数学信息，或者将非数学信息转化为数学信息。只有能对具体的问题进行数学化表征，才能导引解决问题的策略。一般来说，影响学生对一个具体问题进行数学化表征的因素既有外在刺激，更有内在心智的支持。

比如教学“解决问题的策略——列举”（苏教版五年级上册），面对这样的一个条件——“22根1米长的木条围成一个长方形花圃”——教师必须引导学生进行数学思辨，从而将这样的文字进行数学化表征。教学中，有学生认为，这个条件说明“不管怎样围，也不管围成什么形状的长方形，反正22米是长方形花圃的周长”;有学生认为，这个条件说明“围成的长方形的长和宽都是整米数，因为这些木条都是1米长”;有学生认为，通过这个条件还能间接地推导出“长方形的长和宽的和是11米”，等等。根据学生的数学思辨，学生能对这样的数学条件进行有效的数学化表征，即“a+b=11”。有了这样的数学化表征，学生就能对算式中的“a”与“b”一一列举。通过数学化表征，学生就能有效地解决问题。

数学化表征，就是要对数学问题中的条件做出数学化的描述、刻画，从而为学生的数学化分析奠定基础。教学中，教师要引导学生审题，引导学生把握问题的重点、难点和关键之所在，对题目中的有关信息进行等效转化，等等。通过这样的一系列数学化操作，让学生完成对相关条件的数学化表征。

2. 数学化建模：形成解决问题的策略

策略不能直接从外部输入，而只有通过亲身经历体验。建构学生解决问题的策略，必须让学生经历数学化的活动。只有经历完整的数学化活动，学生对问题策略的感受与体验才会深刻。对于学生的数学化建模，教师必须给学生搭建“脚手架”，让学生经历解决问题的策略的形成过程。只有在数学化活动中，学生才能领悟策略的内涵。

在学生解决问题的过程中，教师要引导学生观察、操作、交流，从而体验策略的内涵、操作要义。要鼓励学生积极地建构、创造，而不能包办、代替学生的问题解决过程或者将策略作为一种结论性、概念性的定论灌输给学生。比如教学“解决问题的策略——假设”（苏教版六年级上册），对于这样的条件——“小杯容量是大杯容量的3/1”——教师不仅要引导学生理解，更要引导学生操作。比如将一个大杯“替换”成三个小杯，或者将三个小杯“替换”成一个大杯。通过实物替换操作，学生能深刻地感受到“將所有的杯子都假设成小杯”或者“将所有的杯子都假设成大杯”的策略。这里，其实就是借助两个变量之间的关系，将两个变量转化成一个变量的过程。有了这样的操作过程，学生就能建构出“解决问题的策略——假设”的数学化模型。比如“如果假设其中一个小杯的容量为未知数x，那么大杯的容量就是3x”;比如“总的果汁如果全部倒入大杯，一共可以倒几个大杯”;比如“总的果汁如果全部倒入小杯，一共可以倒几个小杯”，等等。

形成“解决问题的策略”的过程，就是引导学生将已有知识和目标情境联系起来的过程。在数学教学中，教师要引导学生用数学的眼光来打量，用数学的大脑来考量，引导学生积极地尝试。策略不是通过灌输所能奏效的，而是需要感受、体验、感悟的。只有引导学生经历从对问题的数学化表征到对问题的数学化分析的全过程，才能逐步形成解决问题的策略。

3. 数学化反思：超越解决问题的策略

“解决问题的策略”的教学不仅要引导学生经历数学化的建模过程，还要引导学生进行数学化的反思，追求“解决问题的策略”的最优化，甚至超越“解决问题的策略”。具体而言，就是在实际的数学学习中，学生解决同一个数学问题，可能会有不同的策略。作为教师，要引导学生进行策略比较、策略鉴别，对不同的策略做出最优化的判断和选择。通过数学化反思，让学生形成对“解决问题的策略”的元认知，进而超越具体的“解决问题的策略”。

比如教学“解决问题的策略——假设”（苏教版六年级下册），学生在遇到经典的“鸡兔同笼”问题时，就面临着诸多的问题解决策略。比如“鸡和兔一共有8只，它们的腿有22条。鸡和兔各有多少只？”面对这样的一个问题，有学生主张“画图”，有学生主张“一一列举”，有学生主张采用“方程法”，有学生主张运用“假设法”，等等。对于“鸡兔同笼”问题而言，不同的策略有着不同的优缺点。这里，教师要注意引导学生比较不同策略的优劣，从而帮助学生克服自身的思维定式。比如对于“鸡兔同笼”问题而言，用“列举”来解决问题的效率显得比较低，而且这里还有一个如何列举的策略问题。可以引导学生从中间数据开始列举，比如先假设鸡和兔各有4只;可以引导学生先估算范围，比如粗略地估计是鸡多还是兔多，然后进行假设，这样就能减少列举的步骤，等等。这里，就将“假设”与“列举”的策略有机结合。在解决问题的过程中，还要注意不仅要从数学的视角去考量，而且要从生活的视角去优化、甄别，等等。

数学化的反思，有助于学生超越具体“解决问题的策略”。只有借助反思，才能使其思维真正深入到数学化过程之中。数学的反思，有助于学生形成对“解决问题的策略”的元认知能力的提升，从而便于学生在解决问题的过程中对问题解决过程进行自我评价、调控，从而达到提升学生解决问题的能力、提升学生解决问题的素养的目的。