小议分式方程“增根”与“无解”

江慎军

【摘要】伴随着教改活动的全面开展.初中学段数学课程的教改活动也在全面开展.解分式方程属于初中学段数学课程中数与代数部分较为关键的组成要素，在中考中的占比也较高，所以，一定要对分式方程的教学进行探析与研究.通常在对分式方程进行解答的时候，由于需要将分式方程转化为整式方程，要在方程两边同乘最简公分母，可是有时解得的未知数的值会使原分式方程中分式分母为零而无意义，这时方程会产生增根，原方程无解.由于学生对增根和无解两个概念理解不到位、不透彻，导致解决方程有增根或方程无解之类题目时出现困难，出错率较高.所以本文通过例题讲解与拓展应用的形式，分析了分式方程增根产生的原因、分式方程增根与无解的区别，对增根与无解的相关习题进行了较为详细的阐述，加深了对两个概念的理解.通过本文的探究，可增强学生解决增根、无解相关习题的能力.

【关键词】分式方程的增根;产生原因;增根与无解的区别;拓展应用

基于最近几年中考数学题目的探析能够获悉，关于分式方程这一知识点的考查，除了解分式方程、列分式方程解决实际问题外，试卷中也会频繁出现分式方程无解、有增根的题型.对于告知分式方程无解、有增根，进而求原分式方程中一些字母参数的取值问题，学生往往会产生畏难情绪，不会解，出错多，或无从下手，这样的情况会耗损学生很多时间与精力.如果在日常解题练习中能够对分式方程无解、有增根的概念理解正确，就能够提升学生的解题质量与成效，让学生对题目有更清晰的认知，考试中才能节省大量时间对其他问题进行有效解决.本文从几个方面分析了分式方程的“增根”与“无解”，相信能够帮助学生正确理解，熟练掌握，提高解题能力.

一、增根是如何产生的

分式方程中的增根、无解属于较为常见的内容，学生在学习了分式方程的相关知识以后，时常会将两个概念弄混，认为分式方程解答过程当中的无解与增根是一回事，然而实际上并非如此.解分式方程的基本思路是利用转化的思想，根据等式的基本性质，在分式方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，如果在方程两边同乘了一个使分母为零的整式，就会产生增根.

分式方程中，如果分式中分母的值为零，分式就没有意义.分式方程本身隐含着分母不为零的条件，当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制就被取消了，也就是说，未知数取值范围被扩大了.若整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根，即增根产生的原因就是去分母的时候两边同时乘以0了，致使未知数的数值范围被拓展了.

对于上面这些语言文字的解释，部分学生可能不易理解，下面通過一道例题的两种解法来体会一下产生增根的原因.

当x=2时，分式方程的分母为0，则方程无解.

解法一是利用分式的通分、约分来解，约分过程本身就是在分式分母不能为零的前提条件下进行的，所以这种解法找不到一个x的值使 1-x x-2 = 1 2-x -2成立，说明原方程根本不成立.

解法二是利用等式的基本性质，方程两边都乘x-2，从而去掉分式方程的分母，将分式方程转化为整式方程，而这一操作恰好是在方程两边同乘了0，使得原方程成立.此时x=2使原分式方程中分式的分母为零，所以x=2是分式方程经过去分母转化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根，是产生的增根.

通过两种解法对比，相信学生会对增根产生的原因更加明白，理解上变得容易、深刻.

二、分式方程增根与无解的区别

将分式方程增根和无解之间存在的区别与联系进行明确，有助于提升分式方程解答的正确性，在方程解是否正确的判断方面具有极为重要的指导意义.

1.分式方程有增根：解方程时，把分式方程通过去分母转化为整式方程的变形过程中，根据等式的基本性质，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而把未知数的取值范围扩大，此时解出的未知数的值有可能使原分式方程的分母为零.

2.分式方程无解：未知数无论取何值，方程两边的值都不相等，包含以下两种情况.

（1）原分式方程经过去分母转化成的整式方程无解.

例3 解方程： x-1 x+2 = 3-x 2+x +2.

解 两边都乘x+2，得

x-1=3-x+2（x+2），

解得-1=7.

∵此一元一次方程无解，

∴原分式方程无解.

（2）原分式方程经过去分母转化后的整式方程有解，但这个未知数的值使原分式方程的分母为零，它是原方程的增根，从而原方程无解.（此种情况如例2）

3.分式方程无解，但不一定就一定有增根.

如上面例3，分式方程转化为整式方程后，整式方程本身就无解，当然原分式方程就无解了，但这种情况下分式方程没有产生增根.

4.分式方程有增根，但分式方程不一定无解.

例4 解方程： x-5 x2-1 + 2 x-1 =1.

解 两边都乘x2-1，得

经检验，x=1是增根，x=2是原分式方程的解.

当然，初中阶段不考查例4这种类型的分式方程，即把分式方程去分母后转化成了一元二次方程.

所以，分式方程有增根，说明x的取值肯定有使分母为零的根，这时有两种情况，一种是原方程就只有这些使分母为零的根，方程就无解，如例题2;第二种情况是除了有使分母为零的根之外，还有其他使原方程成立的根，这时原方程就有解，如例4.而分式方程无解，则也会有两种情况：一种是分式方程就只有使分母为零的增根，没有其他根， 这时无解就和有增根一致;第二种是分式方程连增根也没有，此时就是无解，如例3.

三、拓展应用

通过前面的叙述，相信大家已经对增根和无解有了较深的认识与理解，下面通过一道例题及其变式加深一下印象.

例5 a为何值时，关于x的方程 2 x-2 + ax x2-4 = 3 x+2 ……① 有增根？

解 两边都乘（x+2）（x-2），得

2（x+2）+ax=3（x-2），

（a-1）x=-10……②.

∵原分式方程有增根，

∴x=2或x=-2是方程②的根，

∴把x=2，-2分别代入方程②，得a=-4或a=6，

∴当a=-4或a=6时，原方程有增根.

例5变式 a为何值时，关于x的方程 2 x-2 + ax x2-4 = 3 x+2 ……①无解？

解 两边都乘（x+2）（x-2），得

2（x+2）+ax=3（x-2），

（a-1）x=-10……②.

因为原方程无解，所以分两种情形.

第一种情形：

当a-1=0（即a=1）时，方程②为0x=-10，该整式方程无解，所以原分式方程无解.

第二种情形：

如果方程②的解为x=2或x=-2，则未知数x=±2使分式方程的分母为零，是分式方程的增根，此时由例5可知，a=-4或a=6.

综上所述，当a=1或 a=-4或a=6时，原方程无解.

通过以上分析，我们深刻体会到对数学概念的理解有多么重要，所以深刻把握住概念的本質才能轻松应对概念考查的题目，而对概念的掌握单纯靠语言文字的描述是不够的，要结合题目才能理解透彻、到位.也就是说，基于上述例题能够获悉，当分式方程化去分母之后转变为一个一元一次的整式方程，其解刚好能够让最简公分母变成零，这个根实际上就是增根，因为一元一次方程的根通常只有一个，因此，这个原分式方程就是无解的，如果转变后的整式方程属于一元二次方程，则状况就并不相同.

四、结束语

总而言之，分式方程存在增根与无解问题中包含非常多的数学知识与思维方法，其中包含学生对数学概念的理解，以及对题目条件的解读和处理，还包含隐藏条件的分析、应用转化思想、分类策略等，思维含量比较高，对学生思维能力方面的严谨性、全面性等有严格要求.学生在分式方程增根与无解问题的解答过程中，大多数都会产生似懂非懂的情况，也就是说，想要彻底弄清此类问题，就要对增根、无解出现的原因进行追溯.掌握了分式方程增根、无解的相关知识，解题时就不用依靠死记硬背，学生能够带着理解进行深入探析，对题目中条件背后的含义进行精准解读，对问题进行严谨有序的解答.

【参考文献】

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[4]陈爱军.深刻理解教学内容，践行“学材再建构”：从“分式方程增根问题”教学说起[J].中学数学，2018，000（022）：19-20.